Гармонические функции

Пусть $u$ и $v$ — действительные гармонические функции в плоской области $\Omega$. При каких условиях $uv$ гармонична? (Заметьте, что ответ существенно зависит от того, что вопрос касается действительных функций). Покажите, что $u^{2}$ не может быть гармонической в $\Omega$, если только $u$ не постоянна. Для каких $f \in H(\Omega )$ функция $\left|f\right|^{2}$ гармонична?

Пусть $f$ — комплексная функция в области $\Omega$, и обе функции $f$ и $f^{2}$ гармоничны в $\Omega$. Докажите, что либо $f$, либо $\bar{f}$ голоморфна в $\Omega$.

Если $u$ — гармоническая функция в области $\Omega$, что можно сказать о множестве точек, в которых градиент $u$ равен 0? (Это множество, на котором $u_{x} = u_{y} = 0$).

Докажите, что каждая частная производная каждой гармонической функции гармонична. Проверьте непосредственным вычислением, что $P_{r}(\theta -t)$ является, при каждом фиксированном $t$, гармонической функцией от $r e^{i \theta }$. Выведите отсюда (не ссылаясь на голоморфные функции), что интеграл Пуассона $P[d \mu ]$ каждой конечной борелевской меры $\mu$ на $T$ гармоничен в $U$, показав, что каждая частная производная $P[d \mu ]$ равна интегралу от соответствующей частной производной ядра.

Пусть $f \in H(\Omega )$ и $f$ не имеет нуля в $\Omega$. Докажите, что $\log \left|f\right|$ гармонична в $\Omega$, вычислив её лапласиан. Есть ли более простой способ?

Пусть $f \in H(U)$, где $U$ — открытый единичный диск, $f$ взаимно однозначна в $U$, $\Omega = f(U)$, и $f(z) = \sum c_{n} z^{n}$. Докажите, что площадь $\Omega$ равна

Указание: Якобиан $f$ равен $\left|f^{\prime }\right|^{2}$.

Пусть $\Omega$ — область, $f_{n} \in H(\Omega )$ при $n = 1,2,3, \ldots$, $u_{n}$ — действительная часть $f_{n}$, $\left\{ u_{n}\right\}$ сходится равномерно на компактных подмножествах $\Omega$, и $\left\{ f_{n}(z)\right\}$ сходится хотя бы при одном $z \in \Omega$. Докажите, что тогда $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится равномерно на компактных подмножествах $\Omega$.

Пусть $u$ — измеримая по Лебегу функция в области $\Omega$, и $u$ локально принадлежит $L^{1}$. Это означает, что интеграл от $\left|u\right|$ по любому компактному подмножеству $\Omega$ конечен. Докажите, что $u$ гармонична, если она удовлетворяет следующей форме свойства среднего значения:

всякий раз, когда $\bar{D}(a ; r) \subset \Omega$.

Пусть $I = [a, b]$ — интервал на действительной оси, $\varphi$ — непрерывная функция на $I$, и

Покажите, что

существует для каждого действительного $x$, и найдите его через $\varphi$. Как изменится результат, если предположить лишь, что $\varphi \in L^{1}$? Что тогда происходит в точках $x$, в которых $\varphi$ имеет правый и левый пределы?

Пусть $I = [a, b], \Omega$ — область, $I \subset \Omega , f$ непрерывна в $\Omega$, и $f \in H(\Omega -I)$. Докажите, что на самом деле $f \in H(\Omega )$.

Замените $I$ некоторыми другими множествами, для которых можно сделать тот же вывод.

(Неравенства Гарнака) Пусть $\Omega$ — область, $K$ — компактное подмножество $\Omega$, $z_{0} \in \Omega$. Докажите, что существуют положительные числа $\alpha$ и $\beta$ (зависящие от $z_{0}, K$ и $\Omega$) такие, что

для каждой положительной гармонической функции $u$ в $\Omega$ и для всех $z \in K$.

Если $\left\{ u_{n}\right\}$ — последовательность положительных гармонических функций в $\Omega$, и если $u_{n}\left(z_{0}\right) \rightarrow 0$, опишите поведение $\left\{ u_{n}\right\}$ в остальной части $\Omega$. Сделайте то же самое, если $u_{n}\left(z_{0}\right) \rightarrow \infty$. Покажите, что предположение о положительности $\left\{ u_{n}\right\}$ существенно для этих результатов.

Пусть $u$ — положительная гармоническая функция в $U$, и $u(0) = 1$. Насколько большим может быть $u\left(\frac{1}{2}\right)$? Насколько малым? Получите наилучшие возможные оценки.

Для каких пар прямых $L_{1}, L_{2}$ существуют действительные функции, гармонические на всей плоскости, равные 0 во всех точках $L_{1} \cup L_{2}$, но не обращающиеся в нуль тождественно?

Пусть $u$ — положительная гармоническая функция в $U$, и $u\left(r e^{i \theta }\right) \rightarrow 0$ при $r \rightarrow 1$ для каждого $e^{i \theta } \neq 1$. Докажите, что существует константа $c$ такая, что

Вот пример гармонической в $U$ функции, не тождественно равной 0, но все радиальные пределы которой равны 0:

Докажите, что эта $u$ не является интегралом Пуассона никакой меры на $T$ и что она не является разностью двух положительных гармонических функций в $U$.

Пусть $\Phi$ — множество всех положительных гармонических функций $u$ в $U$ таких, что $u(0) = 1$. Покажите, что $\Phi$ — выпуклое множество, и найдите крайние точки $\Phi$. (Точка $x$ выпуклого множества $\Phi$ называется крайней точкой $\Phi$, если $x$ не лежит ни на каком отрезке, оба конца которого лежат в $\Phi$ и отличны от $x$). Указание: Если $C$ — выпуклое множество, элементами которого являются положительные борелевские меры на $T$ полной вариации 1, покажите, что крайние точки $C$ — это в точности те $\mu \in C$, носители которых состоят лишь из одной точки $T$.

Пусть $X^{*}$ — двойственное пространство банахова пространства $X$. Говорят, что последовательность $\left\{ \Lambda_{n}\right\}$ в $X^{*}$ слабо сходится к $\Lambda \in X^{*}$, если $\Lambda_{n} x \rightarrow \Lambda x$ при $n \rightarrow \infty$ для каждого $x \in X$. Заметьте, что $\Lambda_{n} \rightarrow \Lambda$ слабо, как только $\Lambda_{n} \rightarrow \Lambda$ по норме $X^{*}$. (См. упражнение 8, гл. 5). Обратное не обязано быть верным. Например, функционалы $f \rightarrow \hat{f}(n)$ на $L^{2}(T)$ стремятся к 0 слабо (по неравенству Бесселя), но каждый из этих функционалов имеет норму 1.

Докажите, что $\left\{ \left\| \Lambda_{n}\right\| \right\}$ обязательно ограничена, если $\left\{ \Lambda_{n}\right\}$ сходится слабо.

Пусть $E \subset T, m(E) = 0$. Докажите, что существует $f \in H^{\infty }$ с $f(0) = 1$, для которой

в каждой точке $e^{i \theta } \in$ E. Указание: Найдите полунепрерывную снизу $\psi \in L^{1}(T), \psi > 0, \psi = +\infty$ в каждой точке $E$. Существует голоморфная $g$, действительная часть которой равна $P[\psi ]$. Пусть $f = 1 / g$.

Определим $f \in H(U)$ и $g \in H(U)$ формулами $f(z) = \exp \left\{ (1+z) /(1-z)\right\} , g(z) = (1-z) \exp \left\{ -f(z)\right\}$. Докажите, что

существует в каждой точке $e^{i \theta } \in T$, что $g^{*} \in C(T)$, но что $g$ не принадлежит $H^{\infty }$.

Указание: Зафиксируем $s$, положим

Для некоторых значений $s$, $\left|g\left(z_{t}\right)\right| \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \infty$.

Пусть $u$ гармонична в $U$, и $\left\{ u_{r}: 0 \leq r < 1\right\}$ — равномерно интегрируемое подмножество $L^{1}(T)$. (См. упражнение 10, гл. 6). Видоизмените доказательство теоремы 11.30, чтобы показать, что $u = P[f]$ для некоторой $f \in L^{1}(T)$.

Положим $\theta_{n} = 2^{-n}$ и определим

при $z \in U$. Покажите, что $u$ — интеграл Пуассона некоторой меры на $T$, что $u(x) = 0$, если $-1 < x < 1$, но что

неограничена при убывании $\epsilon$ до 0. (Таким образом, $u$ имеет радиальный предел, но не имеет нетангенциального предела, в точке 1). Указание: Если $\epsilon = \sin \theta$ мало и $z = 1-\epsilon +i \epsilon$, то

Пусть $D_{n}(t)$ — ядро Дирихле, как в разделе 5.11, определим ядро Фейера формулой

положим $L_{N}(t) = \min \left(N, \pi^{2} / N t^{2}\right)$. Докажите, что

и что $\int_{T} L_{N} d \sigma \leq 2$. Используйте это, чтобы доказать, что средние арифметические

частичных сумм $s_{n}$ ряда Фурье функции $f \in L^{1}(T)$ сходятся к $f\left(e^{i \theta }\right)$ в каждой точке Лебега $f$. (Покажите, что $\sup \left|\sigma_{N}\right|$ мажорируется $Mf$, затем действуйте, как в доказательстве теоремы 11.23).

Если $1 \leq p \leq \infty$ и $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}^{1}\right)$, докажите, что $\left(f * h_{\lambda }\right)(x)$ — гармоническая функция от $x+i \lambda$ в верхней полуплоскости. ($h_{\lambda }$ определена в разделе 9.7; это ядро Пуассона для полуплоскости).