Элементарные свойства голоморфных функций

Следующий факт молчаливо использовался в этой главе: если $A$ и $B$ — непересекающиеся подмножества плоскости, если $A$ компактно, а $B$ замкнуто, то существует $\delta > 0$ такое, что $\left|\alpha -\beta \right| \geq \delta$ для всех $\alpha \in A$ и $\beta \in B$. Докажите это с произвольным метрическим пространством вместо плоскости.

Пусть $f$ — целая функция, и в каждом степенном ряде

хотя бы один коэффициент равен 0. Докажите, что $f$ — многочлен. Указание: $n!c_{n} = f^{(n)}(a)$.

Пусть $f$ и $g$ — целые функции, и $\left|f(z)\right| \leq \left|g(z)\right|$ для каждого $z$. Какой вывод можно сделать?

Пусть $f$ — целая функция, и

для всех $z$, где $A, B$ и $k$ — положительные числа. Докажите, что $f$ обязательно многочлен.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — равномерно ограниченная последовательность голоморфных функций в $\Omega$ такая, что $\left\{ f_{n}(z)\right\}$ сходится для каждого $z \in \Omega$. Докажите, что сходимость равномерна на каждом компактном подмножестве $\Omega$.

Указание: Примените теорему о мажорируемой сходимости к формуле Коши для $f_{n}-f_{m}$.

Существует область $\Omega$ такая, что $\exp (\Omega ) = D(1 ; 1)$. Покажите, что $\exp$ взаимно однозначна в $\Omega$, но что существует много таких $\Omega$. Зафиксируем одну из них и определим $\log z$, для $\left|z-1\right| < 1$, как то $\dot{w} \in \Omega$, для которого $e^{w} = z$. Докажите, что $\log^{\prime }(z) = 1 / z$. Найдите коэффициенты $a_{n}$ в

и, следовательно, найдите коэффициенты $c_{n}$ в разложении

В каких ещё дисках это можно сделать?

Если $f \in H(\Omega )$, формула Коши для производных $f$,

верна при определённых условиях на $z$ и $\Gamma$. Сформулируйте их и докажите формулу.

Пусть $P$ и $Q$ — многочлены, степень $Q$ превосходит степень $P$ по крайней мере на 2, и рациональная функция $R = P / Q$ не имеет полюса на действительной оси. Докажите, что интеграл $R$ по $(-\infty , \infty )$ равен $2 \pi i$, умноженному на сумму вычетов $R$ в верхней полуплоскости. Какое аналогичное утверждение для нижней полуплоскости? Используйте этот метод, чтобы вычислить

Вычислите $\int_{-\infty }^{\infty } e^{i t x} /\left(1+x^{2}\right) d x$ для действительного $t$ методом, описанным в упражнении 8. Сверьте свой ответ с теоремой обращения для преобразований Фурье.

Пусть $\gamma$ — положительно ориентированная единичная окружность, и вычислите

Пусть $\alpha$ — комплексное число, $\left|\alpha \right| \neq 1$, и вычислите

интегрируя $(z-\alpha )^{-1}(z-1 / \alpha )^{-1}$ по единичной окружности.

Вычислите

Вычислите

Пусть $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$ — плоские области, $f$ и $g$ — непостоянные комплексные функции, определённые в $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$ соответственно, и $f\left(\Omega_{1}\right) \subset \Omega_{2}$. Положим $h = g \circ f$. Если $f$ и $g$ голоморфны, мы знаем, что $h$ голоморфна. Предположим, мы знаем, что $f$ и $h$ голоморфны. Можем ли мы сделать какой-либо вывод о $g$? А что если мы знаем, что $g$ и $h$ голоморфны?

Пусть $\Omega$ — область, $\varphi \in H(\Omega ), \varphi^{\prime }$ не имеет нуля в $\Omega , f \in H(\varphi (\Omega )), g = f \circ \varphi , z_{0} \in \Omega$, и $w_{0} = \varphi \left(z_{0}\right)$. Докажите, что если $f$ имеет нуль порядка $m$ в $w_{0}$, то $g$ также имеет нуль порядка $m$ в $z_{0}$. Как это изменится, если $\varphi^{\prime }$ имеет нуль порядка $k$ в $z_{0}$?

Пусть $\mu$ — комплексная мера на пространстве с мерой $X$, $\Omega$ — открытое множество на плоскости, $\varphi$ — ограниченная функция на $\Omega \times X$ такая, что $\varphi (z, t)$ измерима по $t$ для каждого $z \in \Omega$, и $\varphi (z, t)$ голоморфна в $\Omega$ для каждого $t \in X$. Определим

для $z \in \Omega$. Докажите, что $f \in H(\Omega )$. Указание: Покажите, что каждому компакту $K \subset \Omega$ соответствует константа $M < \infty$ такая, что

Определите области, в которых следующие функции определены и голоморфны:

Указание: Либо используйте упражнение 16, либо объедините теорему Мореры с теоремой Фубини.

Пусть $f \in H(\Omega ), \bar{D}(a ; r) \subset \Omega$, $\gamma$ — положительно ориентированная окружность с центром в $a$ и радиусом $r$, и $f$ не имеет нуля на $\gamma^{*}$. При $p = 0$ интеграл

равен числу нулей $f$ в $D(a ; r)$. Каково значение этого интеграла (через нули $f$) при $p = 1,2,3, \ldots$? Каков ответ, если $z^{p}$ заменить произвольной $\varphi \in H(\Omega )$?

Пусть $f \in H(U), g \in H(U)$, и ни $f$, ни $g$ не имеют нуля в $U$. Если

найдите ещё одно простое соотношение между $f$ и $g$.

Пусть $\Omega$ — область, $f_{n} \in H(\Omega )$ при $n = 1,2,3, \ldots$, ни одна из функций $f_{n}$ не имеет нуля в $\Omega$, и $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ равномерно на компактных подмножествах $\Omega$. Докажите, что либо $f$ не имеет нуля в $\Omega$, либо $f(z) = 0$ для всех $z \in \Omega$.

Если $\Omega^{\prime }$ — область, содержащая каждое $f_{n}(\Omega )$, и если $f$ непостоянна, докажите, что $f(\Omega ) \subset \Omega^{\prime }$.

Пусть $f \in H(\Omega ), \Omega$ содержит замкнутый единичный диск, и $\left|f(z)\right| < 1$, если $\left|z\right| = 1$. Сколько неподвижных точек должна иметь $f$ в диске? То есть сколько решений имеет уравнение $f(z) = z$ там?

Пусть $f \in H(\Omega ), \Omega$ содержит замкнутый единичный диск, $\left|f(z)\right| > 2$, если $\left|z\right| = 1$, и $f(0) = 1$. Обязательно ли $f$ имеет нуль в единичном диске?

Пусть $P_{n}(z) = 1+z / 1!+\cdots +z^{n} / n!, Q_{n}(z) = P_{n}(z)-1$, где $n = 1,2,3, \ldots$. Что можно сказать о расположении нулей $P_{n}$ и $Q_{n}$ при больших $n$? Будьте настолько конкретны, насколько возможно.

Докажите следующую общую форму теоремы Руше: пусть $\Omega$ — внутренность компактного множества $K$ на плоскости. Пусть $f$ и $g$ непрерывны на $K$ и голоморфны в $\Omega$, и $\left|f(z)-g(z)\right| < \left|f(z)\right|$ для всех $z \in K-\Omega$. Тогда $f$ и $g$ имеют одинаковое число нулей в $\Omega$.

Пусть $A$ — кольцо $\left\{ z: r_{1} < \left|z\right| < r_{2}\right\}$, где $r_{1}$ и $r_{2}$ — заданные положительные числа.

Требуется разложить функцию

в ряд вида $\sum_{-\infty }^{\infty } c_{n} z^{n}$. Сколько существует таких разложений? В какой области верно каждое из них? Найдите коэффициенты $c_{n}$ явно для каждого из этих разложений.

Пусть $\Omega$ — горизонтальная полоса, определённая неравенствами $a < y < b$, скажем. Пусть $f \in H(\Omega )$, и $f(z) = f(z+1)$ для всех $z \in \Omega$. Докажите, что $f$ имеет разложение Фурье в $\Omega$,

которое сходится равномерно в $\left\{ z: a+\epsilon \leq y \leq b-\epsilon \right\}$ для каждого $\epsilon > 0$. Указание: Отображение $z \rightarrow e^{2 \pi i z}$ превращает $f$ в функцию в кольце.

Найдите интегральные формулы, с помощью которых коэффициенты $c_{n}$ можно вычислить из $f$.

Пусть $\Gamma$ — замкнутая кривая на плоскости с интервалом параметра $[0,2 \pi ]$. Возьмём $\alpha \notin \Gamma^{*}$. Приблизьте $\Gamma$ равномерно тригонометрическими многочленами $\Gamma_{n}$. Покажите, что $\operatorname {Ind}_{\Gamma_{n}}(\alpha ) = \operatorname {Ind}_{\Gamma_{m}}(\alpha )$, если $m$ и $n$ достаточно велики. Определим это общее значение как $\operatorname {Ind}_{\Gamma }(\alpha )$. Докажите, что результат не зависит от выбора $\left\{ \Gamma_{n}\right\}$; докажите, что лемма 10.39 теперь верна для замкнутых кривых, и используйте это, чтобы дать другое доказательство теоремы 10.40.

Определим

Покажите, что $f(z) = \bar{z}$, если $\left|z\right| < 1$, и что $f(z) = 1 / z$, если $\left|z\right| \geq 1$. Таким образом, $f$ не голоморфна в единичном диске, хотя подынтегральное выражение — голоморфная функция $z$. Заметьте контраст между этим, с одной стороны, и теоремой 10.7 и упражнением 16, с другой.

Указание: Вычислите внутренний интеграл отдельно для $r < \left|z\right|$ и для $r > \left|z\right|$.

Пусть $\Omega$ — плоскость без двух точек, и покажите, что некоторые замкнутые пути $\Gamma$ в $\Omega$ удовлетворяют предположению (1) теоремы 10.35, не будучи нуль-гомотопными в $\Omega$.