Банк задач по математике

Задача 2.1.1

Существует ли бесконечная $\sigma$ -алгебра, у которой лишь счётное число элементов?

?

Задача 2.1.2

Докажите аналог теоремы 1.8 для $n$ функций.

?

Задача 2.1.3

Докажите, что если $f$ — действительная функция на измеримом пространстве $X$ , такая что $\left\{ x: f(x) \geq r\right\}$ измеримо для каждого рационального $r$ , то $f$ измерима.

?

Задача 2.1.4

(a)(b)(c)

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ и $\left\{ b_{n}\right\}$ — последовательности в $[-\infty , \infty ]$ , докажите следующие утверждения:

?

(a)

\underset {n \rightarrow \infty }{\lim \sup }\left(-a_{n}\right) = -\underset {n \rightarrow \infty }{\lim \inf } a_{n}

(b)

\underset {n \rightarrow \infty }{\lim \sup }\left(a_{n}+b_{n}\right) \leq \underset {n \rightarrow \infty }{\lim \sup } a_{n}+\underset {n \rightarrow \infty }{\lim \sup } b_{n}

при условии, что ни одна из сумм не имеет вида $\infty -\infty$ .

(c)

Если $a_{n} \leq b_{n}$ при всех $n$ , то

\underset {n \rightarrow \infty }{\lim \inf } a_{n} \leq \underset {n \rightarrow \infty }{\lim \inf } b_{n}

Покажите на примере, что в (b) может выполняться строгое неравенство.

Задача 2.1.5

(a)(b)

?

(a)

Пусть $f: X \rightarrow [-\infty , \infty ]$ и $g: X \rightarrow [-\infty , \infty ]$ измеримы. Докажите, что множества

\left\{ x: f(x) < g(x)\right\} ,\left\{ x: f(x) = g(x)\right\}

измеримы.

(b)

Докажите, что множество точек, в которых последовательность измеримых действительнозначных функций сходится (к конечному пределу), измеримо.

Задача 2.1.6

Пусть $X$ — несчётное множество, пусть $\mathfrak {M}$ — совокупность всех множеств $E \subset X$ таких, что либо $E$ , либо $E^{c}$ не более чем счётно, и определим $\mu (E) = 0$ в первом случае, $\mu (E) = 1$ во втором. Докажите, что $\mathfrak {M}$ — $\sigma$ -алгебра в $X$ и что $\mu$ — мера на $\mathfrak {M}$ . Опишите соответствующие измеримые функции и их интегралы.

?

Задача 2.1.7

Пусть $f_{n}: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима при $n = 1,2,3, \ldots$ , $f_{1} \geq f_{2} \geq f_{3} \geq \cdots \geq 0$ , $f_{n}(x) \rightarrow f(x)$ при $n \rightarrow \infty$ для каждого $x \in X$ , и $f_{1} \in L^{1}(\mu )$ . Докажите, что тогда

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{X} f_{n} d \mu = \int _{X} f d \mu

и покажите, что это заключение не следует, если условие « $f_{1} \in L^{1}(\mu )$ » опустить.

?

Задача 2.1.8

Положим $f_{n} = \chi_{E}$ , если $n$ нечётно, $f_{n} = 1-\chi_{E}$ , если $n$ чётно. Какое отношение этот пример имеет к лемме Фату?

?

Задача 2.1.9

Пусть $\mu$ — положительная мера на $X$ , $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ измерима, $\int_{X} f d \mu = c$ , где $0 < c < \infty$ , и $\alpha$ — константа. Докажите, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{X} n \log \left[1+(f / n)^{\alpha }\right] d \mu = \begin{cases} \infty & \text{ если } 0 < \alpha < 1 \\ c & \text{ если } \alpha = 1 \\ 0 & \text{ если } 1 < \alpha < \infty \end{cases}

Указание: Если $\alpha \geq 1$ , подынтегральные функции мажорируются $\alpha f$ . Если $\alpha < 1$ , можно применить лемму Фату.

?

Задача 2.1.10

Пусть $\mu (X) < \infty$ , $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность ограниченных комплексных измеримых функций на $X$ , и $f_{n} \rightarrow f$ равномерно на $X$ . Докажите, что

\lim _{n = \infty } \int _{X} f_{n} d \mu = \int _{X} f d \mu

и покажите, что условие « $\mu (X) < \infty$ » нельзя опустить.

?

Задача 2.1.11

Покажите, что

A = \bigcap _{n = 1}^{\infty } \bigcup _{k = n}^{\infty } E_{k}

в теореме 1.41, и, следовательно, докажите эту теорему, не обращаясь к интегрированию.

?

Задача 2.1.12

Пусть $f \in L^{1}(\mu )$ . Докажите, что для каждого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что $\int_{E}\left|f\right| d \mu < \epsilon$ , как только $\mu (E) < \delta$ .

?

Задача 2.1.13

Покажите, что предложение 1.24(c) верно также при $c = \infty$ .

?

Абстрактное интегрирование