Банк задач по математике

Задача 1.9.1

Если $S$ — непустое подмножество векторного пространства $X$ , докажите (как утверждалось в разделе 9.1), что линейная оболочка $S$ является векторным пространством.

?

Задача 1.9.2

Докажите (как утверждалось в разделе 9.6), что $BA$ линейно, если $A$ и $B$ — линейные преобразования. Докажите также, что $A^{-1}$ линейно и обратимо.

?

Задача 1.9.3

Пусть $A \in L(X, Y)$ и $A \mathbf{x} = 0$ только при $\mathbf{x} = 0$ . Докажите, что тогда $A$ взаимно однозначно.

?

Задача 1.9.4

Докажите (как утверждалось в разделе 9.30), что нуль-пространства и образы линейных преобразований являются векторными пространствами.

?

Задача 1.9.5

Докажите, что каждому $A \in L\left(\mathbb {R}^{n}, \mathbb {R}^{1}\right)$ соответствует единственный $\mathbf{y} \in \mathbb {R}^{n}$ такой, что $A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ . Докажите также, что $\left\| A\right\| = \left|\mathbf{y}\right|$ .

Указание: При определённых условиях в неравенстве Шварца достигается равенство.

?

Задача 1.9.6

Если $f(0,0) = 0$ и

f(x, y) = \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} \quad \text{ если }(x, y) \neq (0,0)

докажите, что $\left(D_{1} f\right)(x, y)$ и $\left(D_{2} f\right)(x, y)$ существуют в каждой точке $\mathbb {R}^{2}$ , хотя $f$ не является непрерывной в $(0,0)$ .

?

Задача 1.9.7

Пусть $f$ — действительнозначная функция, определённая на открытом множестве $E \subset \mathbb {R}^{n}$ , и пусть частные производные $D_{1} f, \ldots , D_{n} f$ ограничены на $E$ . Докажите, что $f$ непрерывна на $E$ .

Указание: Действуйте, как в доказательстве теоремы 9.21.

?

Задача 1.9.8

Пусть $f$ — дифференцируемая действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb {R}^{n}$ , и пусть $f$ имеет локальный максимум в точке $\mathbf{x} \in E$ . Докажите, что $f^{\prime }(\mathbf{x}) = 0$ .

?

Задача 1.9.9

Если $\mathbf{f}$ — дифференцируемое отображение связного открытого множества $E \subset \mathbb {R}^{n}$ в $\mathbb {R}^{m}$ , и если $\mathbf{f}^{\prime }(\mathbf{x}) = 0$ для каждого $\mathbf{x} \in E$ , докажите, что $\mathbf{f}$ постоянно на $E$ .

?

Задача 1.9.10

Если $f$ — действительная функция, определённая на выпуклом открытом множестве $E \subset \mathbb {R}^{n}$ , такая что $\left(D_{1} f\right)(x) = 0$ для каждого $\mathbf{x} \in E$ , докажите, что $f(\mathbf{x})$ зависит только от $x_{2}, \ldots , x_{n}$ .

Покажите, что выпуклость $E$ можно заменить более слабым условием, но что некоторое условие всё же необходимо. Например, если $n = 2$ и $E$ имеет форму подковы, утверждение может быть неверным.

?

Задача 1.9.11

Если $f$ и $g$ — дифференцируемые действительные функции на $\mathbb {R}^{n}$ , докажите, что

\nabla (f g) = f \nabla g+g \nabla f

и что $\nabla (1 / f) = -f^{-2} \nabla f$ всюду, где $f \neq 0$ .

?

Задача 1.9.12

(a)(b)(c)(d)

Зафиксируем два действительных числа $a$ и $b$ , $0 < a < b$ . Определим отображение $\mathbf{f} = \left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right)$ из $\mathbb {R}^{2}$ в $\mathbb {R}^{3}$ по формулам

\begin{aligned} & f_{1}(s, t) = (b+a \cos s) \cos t \\ & f_{2}(s, t) = (b+a \cos s) \sin t \\ & f_{3}(s, t) = a \sin s \end{aligned}

Опишите образ $K$ отображения $\mathbf{f}$ . (Это некоторое компактное подмножество $\mathbb {R}^{3}$ ).

?

(a)

Покажите, что существует ровно 4 точки $\mathbf{p} \in K$ такие, что

\left(\nabla f_{1}\right)\left(\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{p})\right) = \mathbf{0}

Найдите эти точки.

(b)

Определите множество всех $\mathbf{q} \in K$ таких, что

\left(\nabla f_{3}\right)\left(\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{q})\right) = \mathbf{0}

(c)

Покажите, что одна из точек $\mathbf{p}$ , найденных в пункте (a), соответствует локальному максимуму $f_{1}$ , одна — локальному минимуму, а две другие не являются ни тем, ни другим (это так называемые «седловые точки»).

Какие из точек $\mathbf{q}$ , найденных в пункте (b), соответствуют максимумам или минимумам?

(d)

Пусть $\lambda$ — иррациональное действительное число, и определим $\mathbf{g}(t) = \mathbf{f}(t, \lambda t)$ . Докажите, что $\mathbf{g}$ — взаимно однозначное отображение $\mathbb {R}^{1}$ на плотное подмножество $K$ . Докажите, что

\left|\mathbf{g}^{\prime }(t)\right|^{2} = a^{2}+\lambda ^{2}(b+a \cos t)^{2}

Задача 1.9.13

Пусть $\mathbf{f}$ — дифференцируемое отображение $\mathbb {R}^{1}$ в $\mathbb {R}^{3}$ такое, что $\left|\mathbf{f}(t)\right| = 1$ при каждом $t$ . Докажите, что $\mathrm{f}^{\prime }(t) \cdot \mathbf{f}(t) = 0$ .

Дайте геометрическую интерпретацию этому результату.

?

Задача 1.9.14

(a)(b)(c)(d)

Определим $f(0,0) = 0$ и

f(x, y) = \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} \quad \text{ если }(x, y) \neq (0,0)

?

(a)

Докажите, что $D_{1} f$ и $D_{2} f$ — ограниченные функции на $\mathbb {R}^{2}$ . (Следовательно, $f$ непрерывна).

(b)

Пусть $\mathbf{u}$ — произвольный единичный вектор в $\mathbb {R}^{2}$ . Покажите, что производная по направлению $\left(D_{\mathbf{u}} f\right)(0,0)$ существует и что её абсолютное значение не превосходит 1.

(c)

Пусть $\gamma$ — дифференцируемое отображение $\mathbb {R}^{1}$ в $\mathbb {R}^{2}$ (иными словами, $\gamma$ — дифференцируемая кривая в $\mathbb {R}^{2}$ ) с $\gamma (0) = (0,0)$ и $\left|\gamma^{\prime }(0)\right| > 0$ . Положим $g(t) = f(\gamma (t))$ и докажите, что $g$ дифференцируема при каждом $t \in \mathbb {R}^{1}$ .

Если $\gamma \in \mathscr {C}^{\prime }$ , докажите, что $g \in \mathscr {C}^{\prime }$ .

(d)

Несмотря на это, докажите, что $f$ не дифференцируема в $(0,0)$ .

Указание: Формула (40) не выполняется.

Задача 1.9.15

(a)(b)(c)

Определим $f(0,0) = 0$ и положим

f(x, y) = x^{2}+y^{2}-2 x^{2} y-\frac{4 x^{6} y^{2}}{\left(x^{4}+y^{2}\right)^{2}}

если $(x, y) \neq (0,0)$ .

?

(a)

Докажите для всех $(x, y) \in \mathbb {R}^{2}$ , что

4 x^{4} y^{2} \leq \left(x^{4}+y^{2}\right)^{2}

Заключите, что $f$ непрерывна.

(b)

Для $0 \leq \theta \leq 2 \pi ,-\infty < t < \infty$ определим

g_{\theta }(t) = f(t \cos \theta , t \sin \theta )

Покажите, что $g_{\theta }(0) = 0, g_{\theta }^{\prime }(0) = 0, g_{\theta }^{\prime \prime }(0) = 2$ . Следовательно, каждая $g_{\theta }$ имеет строгий локальный минимум при $t = 0$ .

Иными словами, сужение $f$ на каждую прямую, проходящую через $(0,0)$ , имеет строгий локальный минимум в $(0,0)$ .

(c)

Покажите, что тем не менее $(0,0)$ не является локальным минимумом для $f$ , поскольку $f\left(x, x^{2}\right) = -x^{4}$ .

Задача 1.9.16

Покажите, что непрерывность $f^{\prime }$ в точке $a$ необходима в теореме об обратной функции даже в случае $n = 1$ : Если

f(t) = t+2 t^{2} \sin \left(\frac{1}{t}\right)

при $t \neq 0$ , и $f(0) = 0$ , то $f^{\prime }(0) = 1$ , $f^{\prime }$ ограничена на $(-1,1)$ , но $f$ не является взаимно однозначной ни в какой окрестности 0.

?

Задача 1.9.17

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\mathrm{f} = \left(f_{1}, f_{2}\right)$ — отображение $\mathbb {R}^{2}$ в $\mathbb {R}^{2}$ , заданное формулами

f_{1}(x, y) = e^{x} \cos y, \quad f_{2}(x, y) = e^{x} \sin y

?

(a)

Каков образ $f$ ?

(b)

Покажите, что якобиан $f$ не равен нулю ни в одной точке $\mathbb {R}^{2}$ . Таким образом, каждая точка $\mathbb {R}^{2}$ имеет окрестность, в которой $f$ взаимно однозначно. Тем не менее, $f$ не является взаимно однозначным на $\mathbb {R}^{2}$ .

(c)

Положим $\mathbf{a} = (0, \pi / 3), \mathbf{b} = f(\mathbf{a})$ , пусть $\mathbf{g}$ — непрерывное обратное отображение к $\mathbf{f}$ , определённое в окрестности $\mathbf{b}$ , такое что $\mathbf{g}(\mathbf{b}) = \mathbf{a}$ . Найдите явную формулу для $\mathbf{g}$ , вычислите $\mathbf{f}^{\prime }(\mathbf{a})$ и $\mathbf{g}^{\prime }(\mathbf{b})$ , и проверьте формулу (52).

(d)

Каковы образы под действием $f$ прямых, параллельных координатным осям?

Задача 1.9.18

Ответьте на аналогичные вопросы для отображения, определённого формулами

u = x^{2}-y^{2}, \quad v = 2 x y

?

Задача 1.9.19

Покажите, что систему уравнений

\begin{array}{r} 3 x+y-z+u^{2} = 0 \\ x-y+2 z+u = 0 \\ 2 x+2 y-3 z+2 u = 0 \end{array}

можно разрешить относительно $x, y, u$ через $z$ ; относительно $x, z, u$ через $y$ ; относительно $y, z, u$ через $x$ ; но не относительно $x, y, z$ через $u$ .

?

Задача 1.9.20

Возьмите $n = m = 1$ в теореме о неявной функции и дайте графическую интерпретацию теоремы (а также её доказательства).

?

Задача 1.9.21

(a)(b)

Определим $f$ на $\mathbb {R}^{2}$ формулой

f(x, y) = 2 x^{3}-3 x^{2}+2 y^{3}+3 y^{2}

?

(a)

Найдите четыре точки в $\mathbb {R}^{2}$ , в которых градиент $f$ равен нулю. Покажите, что $f$ имеет ровно один локальный максимум и один локальный минимум в $\mathbb {R}^{2}$ .

(b)

Пусть $S$ — множество всех $(x, y) \in \mathbb {R}^{2}$ , при которых $f(x, y) = 0$ . Найдите те точки $S$ , у которых нет окрестности, в которой уравнение $f(x, y) = 0$ можно разрешить относительно $y$ через $x$ (или относительно $x$ через $y$ ). Опишите $S$ настолько точно, насколько сможете.

Задача 1.9.22

Проведите аналогичное рассмотрение для

f(x, y) = 2 x^{3}+6 x y^{2}-3 x^{2}+3 y^{2}

?

Задача 1.9.23

Определим $f$ на $\mathbb {R}^{3}$ формулой

f\left(x, y_{1}, y_{2}\right) = x^{2} y_{1}+e^{x}+y_{2}

Покажите, что $f(0,1,-1) = 0,\left(D_{1} f\right)(0,1,-1) \neq 0$ , и что, следовательно, существует дифференцируемая функция $g$ в некоторой окрестности $(1,-1)$ в $\mathbb {R}^{2}$ , такая что $g(1,-1) = 0$ и

f\left(g\left(y_{1}, y_{2}\right), y_{1}, y_{2}\right) = 0

Найдите $\left(D_{1} g\right)(1,-1)$ и $\left(D_{2} g\right)(1,-1)$ .

?

Задача 1.9.24

Для $(x, y) \neq (0,0)$ определим $\mathbf{f} = \left(f_{1}, f_{2}\right)$ формулами

f_{1}(x, y) = \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, \quad f_{2}(x, y) = \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}

Вычислите ранг $f^{\prime }(x, y)$ и найдите образ $f$ .

?

Задача 1.9.25

(a)(b)

Пусть $A \in L\left(\mathbb {R}^{n}, \mathbb {R}^{m}\right)$ , пусть $r$ — ранг $A$ .

?

(a)

Определим $S$ , как в доказательстве теоремы 9.32. Покажите, что $SA$ — проекция в $\mathbb {R}^{n}$ , нуль-пространство которой есть $\mathscr {N}(A)$ , а образ есть $\mathscr {R}(S)$ . Указание: По (68), $SASA = SA$ .

(b)

Используйте (a), чтобы показать, что

\operatorname {dim} \mathscr {N}(A)+\operatorname {dim} \mathscr {R}(A) = n

Задача 1.9.26

Покажите, что существование (и даже непрерывность) $D_{12} f$ не влечёт существования $D_{1} f$ . Например, пусть $f(x, y) = g(x)$ , где $g$ нигде не дифференцируема.

?

Задача 1.9.27

(a)(b)(c)

Положим $f(0,0) = 0$ и

f(x, y) = \frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}

если $(x, y) \neq (0,0)$ . Докажите, что

?

(a)

$f, D_{1} f, D_{2} f$ непрерывны на $\mathbb {R}^{2}$ ;

(b)

$D_{12} f$ и $D_{21} f$ существуют в каждой точке $\mathbb {R}^{2}$ и непрерывны всюду, кроме $(0,0)$ ;

(c)

$\left(D_{12} f\right)(0,0) = 1$ , и $\left(D_{21} f\right)(0,0) = -1$ .

Задача 1.9.28

Для $t \geq 0$ положим

\varphi (x, t) = \begin{cases} x & (0 \leq x \leq \sqrt{t}) \\ -x+2 \sqrt{t} & (\sqrt{t} \leq x \leq 2 \sqrt{t}) \\ 0 & (\text{ иначе })\end{cases}

и положим $\varphi (x, t) = -\varphi (x,\left|t\right|)$ , если $t < 0$ .

Покажите, что $\varphi$ непрерывна на $\mathbb {R}^{2}$ , и что

\left(D_{2} \varphi \right)(x, 0) = 0

при всех $x$ . Определим

f(t) = \int _{-1}^{1} \varphi (x, t) d x

Покажите, что $f(t) = t$ , если $\left|t\right| < \frac{1}{4}$ . Следовательно,

f^{\prime }(0) \neq \int _{-1}^{1}\left(D_{2} \varphi \right)(x, 0) d x

?

Задача 1.9.29

Пусть $E$ — открытое множество в $\mathbb {R}^{n}$ . Классы $\mathscr {C}^{\prime }(E)$ и $\mathscr {C}^{\prime \prime }(E)$ определены в тексте. По индукции $\mathscr {C}^{(k)}(E)$ можно определить следующим образом для всех положительных целых $k$ : сказать, что $f \in \mathscr {C}^{(k)}(E)$ , означает, что частные производные $D_{1} f, \ldots , D_{n} f$ принадлежат $\mathscr {C}^{(k-1)}(E)$ .

Пусть $f \in \mathscr {C}^{(k)}(E)$ , и покажите (последовательным применением теоремы 9.41), что производная $k$ -го порядка

D_{i_{1} i_{2} \ldots i_{k}} f = D_{i_{1}} D_{i_{2}} \ldots D_{i_{k}} f

не меняется при перестановке индексов $i_{1}, \ldots , i_{k}$ . Например, если $n \geq 3$ , то

D_{1213} f = D_{3112} f

для каждой $f \in \mathscr {C}^{(4)}$ .

?

Задача 1.9.30

(a)(b)(c)

Пусть $f \in \mathscr {C}^{(m)}(E)$ , где $E$ — открытое подмножество $\mathbb {R}^{n}$ . Зафиксируем $a \in E$ и предположим, что $\mathrm{x} \in \mathbb {R}^{n}$ настолько близко к 0, что точки

\mathbf{p}(t) = \mathbf{a}+t \mathbf{x}

лежат в $E$ при всех $0 \leq t \leq 1$ . Определим

h(t) = f(\mathbf{p}(t))

при всех $t \in \mathbb {R}^{1}$ , для которых $\mathrm{p}(t) \in E$ .

?

(a)

Для $1 \leq k \leq m$ покажите (последовательным применением цепного правила), что

h^{(k)}(t) = \sum \left(D_{i_{1} \ldots i_{k}} f\right)(\mathbf{p}(t)) x_{i_{1}} \ldots x_{i_{k}}

Сумма берётся по всем упорядоченным $k$ -наборам $\left(i_{1}, \ldots , i_{k}\right)$ , в которых каждое $i_{j}$ — одно из чисел $1, \ldots , n$ .

(b)

По теореме Тейлора (5.15),

h(1) = \sum _{k = 0}^{m-1} \frac{h^{(k)}(0)}{k!}+\frac{h^{(m)}(t)}{m!}

при некотором $t \in (0,1)$ . Используйте это, чтобы доказать теорему Тейлора для $n$ переменных, показав, что формула представляет $f(\mathbf{a}+\mathbf{x})$ в виде суммы её так называемого «многочлена Тейлора степени $m-1$ » плюс остаточный член, удовлетворяющий

\lim _{\mathbf{x} \rightarrow 0} \frac{r(\mathbf{x})}{\left|\mathbf{x}\right|^{m-1}} = 0

Каждая из внутренних сумм берётся по всем упорядоченным $k$ -наборам $\left(i_{1}, \ldots , i_{k}\right)$ , как в пункте (a); как обычно, производная нулевого порядка от $f$ есть просто $f$ , так что постоянный член многочлена Тейлора функции $f$ в точке $\mathbf{a}$ равен $f(\mathbf{a})$ .

(c)

Упражнение 29 показывает, что в многочлене Тейлора, записанном в пункте (b), возникают повторения. Например, $D_{113}$ встречается трижды, как $D_{113}, D_{131}, D_{311}$ . Сумму соответствующих трёх членов можно записать в виде

3\left(D_{1}^{2} D_{3} f\right)(\mathbf{a}) x_{1}^{2} x_{3}

Докажите (подсчитав, как часто встречается каждая производная), что многочлен Тейлора в (b) можно записать в виде

\sum \frac{\left(D_{1}^{s_{1}} \cdots D_{n}^{s_{n}} f\right)(\mathbf{a})}{s_{1}!\cdots s_{n}!} x_{1}^{s_{1}} \cdots x_{n}^{s_{n}}

Здесь суммирование ведётся по всем упорядоченным $n$ -наборам $\left(s_{1}, \ldots , s_{n}\right)$ таким, что каждое $s_{i}$ — неотрицательное целое число, и $s_{1}+\cdots +s_{n} \leq m-1$ .

Задача 1.9.31

Пусть $f \in \mathscr {C}^{(3)}$ в некоторой окрестности точки $\mathbf{a} \in \mathbb {R}^{2}$ , градиент $f$ равен 0 в $\mathbf{a}$ , но не все производные второго порядка $f$ равны 0 в $\mathbf{a}$ . Покажите, как по многочлену Тейлора $f$ в точке $\mathbf{a}$ (степени 2) можно определить, имеет ли $f$ в точке $\mathbf{a}$ локальный максимум, локальный минимум или ни то, ни другое.

Обобщите это на $\mathbb {R}^{n}$ вместо $\mathbb {R}^{2}$ .

?

Функции нескольких переменных