Интеграл Римана—Стилтьеса

Предположим, $\alpha$ возрастает на $[a, b]$, $a \leq x_{0} \leq b, \alpha$ непрерывна в $x_{0}, f\left(x_{0}\right) = 1$, и $f(x) = 0$, если $x \neq x_{0}$. Докажите, что $f \in \mathscr {R}(\alpha )$ и что $\int f d \alpha = 0$.

Предположим, $f \geq 0, f$ непрерывна на $[a,b]$, и $\int_{a}^{b} f(x) d x = 0$. Докажите, что $f(x) = 0$ для всех $x \in [a, b]$. (Сравните это с Упражнением 1).

Определим три функции $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ следующим образом: $\beta_{j}(x) = 0$, если $x < 0, \beta_{j}(x) = 1$, если $x > 0$, при $j = 1,2,3$; и $\beta_{1}(0) = 0, \beta_{2}(0) = 1, \beta_{3}(0) = \frac{1}{2}$. Пусть $f$ — ограниченная функция на $[-1,1]$.

Если $f(x) = 0$ для всех иррациональных $x, f(x) = 1$ для всех рациональных $x$, докажите, что $f \notin \mathscr {R}$ на $[a, b]$ ни для каких $a < b$.

Предположим, $f$ — ограниченная действительная функция на $[a, b]$, и $f^{2} \in \mathscr {R}$ на $[a, b]$. Следует ли отсюда, что $f \in \mathscr {R}$? Изменится ли ответ, если предположить, что $f^{3} \in \mathscr {R}$?

Пусть $P$ — канторово множество, построенное в разд. 2.44. Пусть $f$ — ограниченная действительная функция на $[0,1]$, непрерывная в каждой точке вне $P$. Докажите, что $f \in \mathscr {R}$ на $[0,1]$. Указание: $P$ можно покрыть конечным числом отрезков, суммарную длину которых можно сделать сколь угодно малой. Действуйте, как в Теореме 6.10.

Предположим, $f$ — действительная функция на $(0,1]$ и $f \in \mathscr {R}$ на $[c, 1]$ для каждого $c > 0$. Определим

если этот предел существует (и конечен).

Предположим, $f \in \mathscr {R}$ на $[a, b]$ для каждого $b > a$, где $a$ фиксировано. Определим

если этот предел существует (и конечен). В этом случае мы говорим, что интеграл слева сходится. Если он также сходится после замены $f$ на $\left|f\right|$, говорят, что он сходится абсолютно.

Предположим, что $f(x) \geq 0$ и что $f$ монотонно убывает на $[1, \infty )$. Докажите, что

сходится тогда и только тогда, когда

сходится. (Это так называемый «интегральный признак» сходимости рядов).

Покажите, что интегрирование по частям иногда можно применить к «несобственным» интегралам, определённым в Упражнениях 7 и 8. (Сформулируйте подходящие гипотезы, сформулируйте теорему и докажите её). Например, покажите, что

Покажите, что один из этих интегралов сходится абсолютно, а другой — нет.

Пусть $p$ и $q$ — положительные действительные числа такие, что

Докажите следующие утверждения.

Пусть $\alpha$ — фиксированная возрастающая функция на $[a, b]$. Для $u \in \mathscr {R}(\alpha )$ определим

Предположим, $f, g, h \in \mathscr {R}(\alpha )$, и докажите неравенство треугольника

как следствие неравенства Шварца, как в доказательстве Теоремы 1.37.

Пользуясь обозначениями Упражнения 11, предположим, $f \in \mathscr {R}(\alpha )$ и $\varepsilon > 0$. Докажите, что существует непрерывная функция $g$ на $[a, b]$ такая, что $\left\| f-g\right\|_{2} < \varepsilon$.

Указание: пусть $P = \left\{ x_{0}, \ldots , x_{n}\right\}$ — подходящее разбиение $[a, b]$, определим

если $x_{i-1} \leq t \leq x_{i}$.

Определим

Разберитесь аналогичным образом с

Покажите, что

и что

где $\left|r(x)\right| < C e^{-x}$ при некоторой константе $C$.

Пусть $f$ — действительная непрерывно дифференцируемая функция на $[a, b]$, $f(a) = f(b) = 0$, и

Докажите, что

и что

Для $1 < s < \infty$ определим

(Это дзета-функция Римана, имеющая большое значение при изучении распределения простых чисел). Докажите, что

Пусть $\alpha$ монотонно возрастает на $[a, b]$, $g$ непрерывна, и $g(x) = G^{\prime }(x)$ при $a \leq x \leq b$. Докажите, что

Указание: Без ограничения общности считайте $g$ действительной. Для заданного $P = \left\{ x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}\right\}$ выберите $t_{i} \in \left(x_{i-1}, x_{i}\right)$ так, чтобы $g\left(t_{i}\right) \Delta x_{i} = G\left(x_{i}\right)-G\left(x_{i-1}\right)$. Покажите, что

Пусть $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ — кривые на комплексной плоскости, заданные на $[0,2 \pi ]$ формулами

Покажите, что эти три кривые имеют одинаковый образ, что $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ спрямляемы, что длина $\gamma_{1}$ равна $2 \pi$, что длина $\gamma_{2}$ равна $4 \pi$, и что $\gamma_{3}$ не спрямляема.

Пусть $\gamma_{1}$ — кривая в $\mathbb {R}^{k}$, заданная на $[a, b]$; пусть $\phi$ — непрерывное взаимно однозначное отображение $[c, d]$ на $[a, b]$, такое что $\phi (c) = a$; и определим $\gamma_{2}(s) = \gamma_{1}(\phi (s))$. Докажите, что $\gamma_{2}$ является дугой, замкнутой кривой или спрямляемой кривой тогда и только тогда, когда то же самое верно для $\gamma_{1}$. Докажите, что $\gamma_{2}$ и $\gamma_{1}$ имеют одинаковую длину.