Дифференцирование

Пусть $f$ определена для всех действительных $x$, и предположим, что

для всех действительных $x$ и $y$. Докажите, что $f$ постоянна.

Предположим, $f^{\prime }(x) > 0$ на $(a, b)$. Докажите, что $f$ строго возрастает на $(a, b)$, и пусть $g$ — её обратная функция. Докажите, что $g$ дифференцируема и что

Предположим, $g$ — действительная функция на $\mathbb {R}^{1}$ с ограниченной производной (скажем, $\left|g^{\prime }\right| \leq M$). Зафиксируйте $\varepsilon > 0$ и определите $f(x) = x+\varepsilon g(x)$. Докажите, что $f$ взаимно однозначна, если $\varepsilon$ достаточно мало. (Можно определить множество допустимых значений $\varepsilon$, зависящее только от $M$).

Если

где $C_{0}, \ldots , C_{n}$ — действительные константы, докажите, что уравнение

имеет хотя бы один действительный корень между 0 и 1.

Предположим, $f$ определена и дифференцируема при каждом $x > 0$, и $f^{\prime }(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow +\infty$. Положим $g(x) = f(x+1)-f(x)$. Докажите, что $g(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow +\infty$.

Предположим

Предположим, $f^{\prime }(x), g^{\prime }(x)$ существуют, $g^{\prime }(x) \neq 0$, и $f(x) = g(x) = 0$. Докажите, что

(Это верно также для комплексных функций).

Предположим, $f^{\prime }$ непрерывна на $[a, b]$ и $\varepsilon > 0$. Докажите, что существует $\delta > 0$ такое, что

всякий раз, когда $0 < \left|t-x\right| < \delta , a \leq x \leq b, a \leq t \leq b$. (Это можно выразить, сказав, что $f$ равномерно дифференцируема на $[a, b]$, если $f^{\prime }$ непрерывна на $[a, b]$). Верно ли это также для векторнозначных функций?

Пусть $f$ — непрерывная действительная функция на $\mathbb {R}^{1}$, о которой известно, что $f^{\prime }(x)$ существует при всех $x \neq 0$ и что $f^{\prime }(x) \rightarrow 3$ при $x \rightarrow 0$. Следует ли отсюда, что $f^{\prime }(0)$ существует?

Предположим, $f$ и $g$ — комплексные дифференцируемые функции на $(0,1)$, $f(x) \rightarrow 0, g(x) \rightarrow 0$, $f^{\prime }(x) \rightarrow A, g^{\prime }(x) \rightarrow B$ при $x \rightarrow 0$, где $A$ и $B$ — комплексные числа, $B \neq 0$. Докажите, что

Сравните с Примером 5.18. Указание:

Примените Теорему 5.13 к действительной и мнимой частям $f(x) / x$ и $g(x) / x$.

Предположим, $f$ определена в окрестности $x$, и предположим, что $f^{\prime \prime }(x)$ существует. Покажите, что

Покажите на примере, что предел может существовать, даже если $f^{\prime \prime }(x)$ не существует. Указание: воспользуйтесь Теоремой 5.13.

Если $f(x) = \left|x\right|^{3}$, вычислите $f^{\prime }(x), f^{\prime \prime }(x)$ для всех действительных $x$ и покажите, что $f^{(3)}(0)$ не существует.

Предположим, $a$ и $c$ — действительные числа, $c > 0$, и $f$ определена на $[-1,1]$ по формуле

Докажите следующие утверждения:

Пусть $f$ — дифференцируемая действительная функция, определённая на $(a, b)$. Докажите, что $f$ выпукла тогда и только тогда, когда $f^{\prime }$ монотонно возрастает. Предположите далее, что $f^{\prime \prime }(x)$ существует для каждого $x \in (a, b)$, и докажите, что $f$ выпукла тогда и только тогда, когда $f^{\prime \prime }(x) \geq 0$ для всех $x \in (a, b)$.

Предположим, $a \in \mathbb {R}^{1}$, $f$ — дважды дифференцируемая действительная функция на $(a, \infty )$, а $M_{0}, M_{1}, M_{2}$ — точные верхние грани $\left|f(x)\right|,\left|f^{\prime }(x)\right|,\left|f^{\prime \prime }(x)\right|$ соответственно на $(a, \infty )$. Докажите, что

Указание: если $h > 0$, теорема Тейлора показывает, что

для некоторого $\xi \in (x, x+2 h)$. Следовательно,

Чтобы показать, что $M_{1}^{2} = 4 M_{0} M_{2}$ действительно может случиться, возьмите $a = -1$, определите

и покажите, что $M_{0} = 1, M_{1} = 4, M_{2} = 4$. Выполняется ли $M_{1}^{2} \leq 4 M_{0} M_{2}$ также для векторнозначных функций?

Предположим, $f$ дважды дифференцируема на $(0, \infty ), f^{\prime \prime }$ ограничена на $(0, \infty )$, и $f(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$. Докажите, что $f^{\prime }(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$.

Указание: устремите $a \rightarrow \infty$ в Упражнении 15.

Предположим, $f$ — действительная, трижды дифференцируемая функция на $[-1,1]$, такая, что

Докажите, что $f^{(3)}(x) \geq 3$ для некоторого $x \in (-1,1)$. Заметьте, что равенство достигается для $\frac{1}{2}\left(x^{3}+x^{2}\right)$. Указание: воспользуйтесь Теоремой 5.15 с $\alpha = 0$ и $\beta = \pm 1$, чтобы показать, что существуют $s \in (0,1)$ и $t \in (-1,0)$ такие, что

Предположим, $f$ — действительная функция на $[a, b], n$ — положительное целое число, и $f^{(n-1)}$ существует при каждом $t \in [a, b]$. Пусть $\alpha , \beta$ и $P$ такие же, как в теореме Тейлора (5.15). Определим

при $t \in [a, b], t \neq \beta$, продифференцируйте

$n-1$ раз при $t = \alpha$ и выведите следующий вариант теоремы Тейлора:

Предположим, $f$ определена на $(-1,1)$ и $f^{\prime }(0)$ существует. Предположим, $-1 < \alpha_{n} < \beta_{n} < 1$, $\alpha_{n} \rightarrow 0$, и $\beta_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Определим разностные отношения

Докажите следующие утверждения:

Сформулируйте и докажите неравенство, вытекающее из теоремы Тейлора, которое остаётся верным для векторнозначных функций.

Пусть $E$ — замкнутое подмножество $\mathbb {R}^{1}$. Мы видели в Упражнении 22, Гл. 4, что существует действительная непрерывная функция $f$ на $\mathbb {R}^{1}$, нулевым множеством которой является $E$. Можно ли для каждого замкнутого множества $E$ найти такую $f$, которая дифференцируема на $\mathbb {R}^{1}$, или такую, которая $n$ раз дифференцируема, или даже такую, которая имеет производные всех порядков на $\mathbb {R}^{1}$?

Предположим, $f$ — действительная функция на $(-\infty , \infty )$. Назовём $x$ неподвижной точкой $f$, если $f(x) = x$.

Функция $f$, определённая по формуле

имеет три неподвижные точки, скажем $\alpha , \beta , \gamma$, где

Для произвольно выбранного $x_{1}$ определим $\left\{ x_{n}\right\}$, полагая $x_{n+1} = f\left(x_{n}\right)$.

Процесс, описанный в пункте (c) Упражнения 22, разумеется, можно применить и к функциям, отображающим $(0, \infty )$ в $(0, \infty )$.

Зафиксируйте некоторое $\alpha > 1$ и положите

Обе функции $f$ и $g$ имеют $\sqrt{\alpha }$ в качестве единственной неподвижной точки в $(0, \infty )$. Попытайтесь объяснить, исходя из свойств $f$ и $g$, почему сходимость в Упражнении 16, Гл. 3, происходит настолько быстрее, чем в Упражнении 17. (Сравните $f^{\prime }$ и $g^{\prime }$, начертите зигзаги, предложенные в Упражнении 22).

Сделайте то же самое, когда $0 < \alpha < 1$.

Предположим, $f$ дважды дифференцируема на $[a,b]$, $f(a) < 0, f(b) > 0, f^{\prime }(x) \geq \delta > 0$, и $0 \leq f^{\prime \prime }(x) \leq M$ для всех $x \in [a, b]$. Пусть $\xi$ — единственная точка в $(a, b)$, в которой $f(\xi ) = 0$.

Восполните детали в следующем плане метода Ньютона для вычисления $\xi$.

Предположим, $f$ дифференцируема на $[a, b], f(a) = 0$, и существует действительное число $A$ такое, что $\left|f^{\prime }(x)\right| \leq A\left|f(x)\right|$ на $[a, b]$. Докажите, что $f(x) = 0$ для всех $x \in [a, b]$. Указание: зафиксируйте $x_{0} \in [a, b]$, пусть

при $a \leq x \leq x_{0}$. Для любого такого $x$,

Следовательно, $M_{0} = 0$, если $A\left(x_{0}-a\right) < 1$. То есть $f = 0$ на $[a, x_{0}]$. Продолжите рассуждение.

Пусть $\phi$ — действительная функция, определённая на прямоугольнике $R$ на плоскости, заданном соотношениями $a \leq x \leq b$, $\alpha \leq y \leq \beta$. Решением задачи с начальным условием

по определению называется дифференцируемая функция $f$ на $[a, b]$ такая, что $f(a) = c, \alpha \leq f(x) \leq \beta$, и

Докажите, что такая задача имеет не более одного решения, если существует константа $A$ такая, что

всякий раз, когда $\left(x, y_{1}\right) \in R$ и $\left(x, y_{2}\right) \in R$. Указание: примените Упражнение 26 к разности двух решений. Заметьте, что эта теорема единственности не выполняется для задачи с начальным условием

которая имеет два решения: $f(x) = 0$ и $f(x) = x^{2} / 4$. Найдите все прочие решения.

Сформулируйте и докажите аналогичную теорему единственности для систем дифференциальных уравнений вида

Заметьте, что это можно переписать в виде

где $\mathbf{y} = \left(y_{1}, \ldots , y_{k}\right)$ пробегает $k$-ячейку, $\mathbf{\phi }$ — отображение $(k+1)$-ячейки в евклидово $k$-мерное пространство, компонентами которого являются функции $\phi_{1}, \ldots , \phi_{k}$, а $\mathbf{c}$ — вектор $\left(c_{1}, \ldots , c_{k}\right)$. Воспользуйтесь Упражнением 26 для векторнозначных функций.

Конкретизируйте Упражнение 28, рассмотрев систему

где $f, g_{1}, \ldots , g_{k}$ — непрерывные действительные функции на $[a, b]$, и выведите теорему единственности для решений уравнения

при начальных условиях