Непрерывность

Предположим, $f$ — действительная функция, определённая на $\mathbb {R}^{1}$, удовлетворяющая

для каждого $x \in \mathbb {R}^{1}$. Влечёт ли это, что $f$ непрерывна?

Если $f$ — непрерывное отображение метрического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$, докажите, что

для каждого множества $E \subset X$. ($\overline{E}$ обозначает замыкание $E$). Покажите на примере, что $f(E)$ может быть собственным подмножеством $\overline{f(E)}$.

Пусть $f$ — непрерывная действительная функция на метрическом пространстве $X$. Пусть $Z(f)$ (нулевое множество $f$) — множество всех $p \in X$, в которых $f(p) = 0$. Докажите, что $Z(f)$ замкнуто.

Пусть $f$ и $g$ — непрерывные отображения метрического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$, и пусть $E$ — плотное подмножество $X$. Докажите, что $f(E)$ плотно в $f(X)$. Если $g(p) = f(p)$ для всех $p \in E$, докажите, что $g(p) = f(p)$ для всех $p \in X$. (Иными словами, непрерывное отображение определяется своими значениями на плотном подмножестве своей области определения).

Если $f$ — действительная непрерывная функция, определённая на замкнутом множестве $E \subset \mathbb {R}^{1}$, докажите, что существуют непрерывные действительные функции $g$ на $\mathbb {R}^{1}$ такие, что $g(x) = f(x)$ для всех $x \in E$. (Такие функции $g$ называются непрерывными продолжениями $f$ с $E$ на $\mathbb {R}^{1}$). Покажите, что результат становится неверным, если опустить слово «замкнутое». Распространите результат на векторнозначные функции. Указание: пусть график $g$ будет прямой линией на каждом из отрезков, составляющих дополнение $E$ (сравните с Упражнением 29, Гл. 2). Результат остаётся верным, если $\mathbb {R}^{1}$ заменить любым метрическим пространством, но доказательство не столь простое.

Если $f$ определена на $E$, графиком $f$ называется множество точек $(x, f(x))$ при $x \in E$. В частности, если $E$ — множество действительных чисел, а $f$ действительнозначна, график $f$ является подмножеством плоскости.

Предположим, $E$ компактно, и докажите, что $f$ непрерывна на $E$ тогда и только тогда, когда её график компактен.

Если $E \subset X$ и $f$ — функция, определённая на $X$, ограничением $f$ на $E$ называется функция $g$, областью определения которой служит $E$, такая, что $g(p) = f(p)$ для $p \in E$. Определим $f$ и $g$ на $\mathbb {R}^{2}$ следующим образом: $f(0,0) = g(0,0) = 0, f(x, y) = x y^{2} /\left(x^{2}+y^{4}\right), g(x, y) = x y^{2} /\left(x^{2}+y^{6}\right)$ если $(x, y) \neq (0,0)$. Докажите, что $f$ ограничена на $\mathbb {R}^{2}$, что $g$ неограничена в каждой окрестности $(0,0)$, и что $f$ не является непрерывной в $(0,0)$; тем не менее ограничения обеих функций $f$ и $g$ на каждую прямую в $\mathbb {R}^{2}$ непрерывны!

Пусть $f$ — действительная равномерно непрерывная функция на ограниченном множестве $E$ в $\mathbb {R}^{1}$. Докажите, что $f$ ограничена на $E$.

Покажите, что заключение неверно, если условие ограниченности $E$ опустить из гипотезы.

Покажите, что требование в определении равномерной непрерывности можно переформулировать следующим образом, в терминах диаметров множеств: для каждого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что $\operatorname {diam} f(E) < \varepsilon$ для всех $E \subset X$ с $\operatorname {diam} E < \delta$.

Восполните детали следующего альтернативного доказательства Теоремы 4.19: если $f$ не является равномерно непрерывной, то для некоторого $\varepsilon > 0$ найдутся последовательности $\left\{ p_{n}\right\} ,\left\{ q_{n}\right\}$ в $X$ такие, что $d_{\mathrm{x}}\left(p_{n}, q_{n}\right) \rightarrow 0$, но $d_{\mathrm{y}}\left(f\left(p_{n}\right), f\left(q_{n}\right)\right) > \varepsilon$. Воспользуйтесь Теоремой 2.37, чтобы получить противоречие.

Предположим, $f$ — равномерно непрерывное отображение метрического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$, и докажите, что $\left\{ f\left(x_{n}\right)\right\}$ — последовательность Коши в $Y$ для каждой последовательности Коши $\left\{ x_{n}\right\}$ в $X$. Используйте этот результат, чтобы дать альтернативное доказательство теоремы, сформулированной в Упражнении 13.

Равномерно непрерывная функция от равномерно непрерывной функции равномерно непрерывна.

Сформулируйте это более точно и докажите.

Пусть $E$ — плотное подмножество метрического пространства $X$, и пусть $f$ — равномерно непрерывная действительная функция, определённая на $E$. Докажите, что $f$ имеет непрерывное продолжение с $E$ на $X$ (см. Упражнение 5 относительно терминологии). (Единственность следует из Упражнения 4). Указание: для каждого $p \in X$ и каждого положительного целого $n$ пусть $V_{n}(p)$ — множество всех $q \in E$ с $d(p, q) < 1 / n$. Воспользуйтесь Упражнением 9, чтобы показать, что пересечение замыканий множеств $f\left(V_{1}(p)\right), f\left(V_{2}(p)\right), \ldots$ состоит из единственной точки, скажем $g(p)$, из $\mathbb {R}^{1}$. Докажите, что функция $g$, так определённая на $X$, является искомым продолжением $f$.

Можно ли заменить пространство значений $\mathbb {R}^{1}$ на $\mathbb {R}^{k}$? На любое компактное метрическое пространство? На любое полное метрическое пространство? На любое метрическое пространство?

Пусть $I = [0,1]$ — замкнутый единичный отрезок. Предположим, $f$ — непрерывное отображение $I$ в $I$. Докажите, что $f(x) = x$ хотя бы для одного $x \in I$.

Назовём отображение $X$ в $Y$ открытым, если $f(V)$ — открытое множество в $Y$ всякий раз, когда $V$ — открытое множество в $X$.

Докажите, что каждое непрерывное открытое отображение $\mathbb {R}^{1}$ в $\mathbb {R}^{1}$ монотонно.

Пусть $[x]$ обозначает наибольшее целое число, содержащееся в $x$, то есть $[x]$ — целое число такое, что $x-1 < [x] \leq x$; и пусть $(x) = x-[x]$ обозначает дробную часть $x$. Какими разрывами обладают функции $[x]$ и $(x)$?

Пусть $f$ — действительная функция, определённая на $(a, b)$. Докажите, что множество точек, в которых $f$ имеет простой разрыв, не более чем счётно. Указание: пусть $E$ — множество, на котором $f(x-) < f(x+)$. С каждой точкой $x$ множества $E$ сопоставьте тройку $(p, q, r)$ рациональных чисел таких, что

Каждое рациональное $x$ можно записать в виде $x = m / n$, где $n > 0$, а $m$ и $n$ — целые числа без общих делителей. При $x = 0$ полагаем $n = 1$. Рассмотрим функцию $f$, определённую на $\mathbb {R}^{1}$ следующим образом:

Докажите, что $f$ непрерывна в каждой иррациональной точке и что $f$ имеет простой разрыв в каждой рациональной точке.

Предположим, $f$ — действительная функция с областью определения $\mathbb {R}^{1}$, обладающая свойством промежуточного значения: если $f(a) < c < f(b)$, то $f(x) = c$ для некоторого $x$ между $a$ и $b$.

Предположим также, что для каждого рационального $r$ множество всех $x$ с $f(x) = r$ замкнуто. Докажите, что $f$ непрерывна. Указание: если $x_{n} \rightarrow x_{0}$, но $f\left(x_{n}\right) > r > f\left(x_{0}\right)$ для некоторого $r$ и всех $n$, то $f\left(t_{n}\right) = r$ для некоторого $t_{n}$ между $x_{0}$ и $x_{n}$; таким образом, $t_{n} \rightarrow x_{0}$. Найдите противоречие. (N. J. Fine, Amer. Math. Monthly, vol. 73, 1966, p. 782).

Если $E$ — непустое подмножество метрического пространства $X$, определим расстояние от $x \in X$ до $E$ по формуле

Предположим, $K$ и $F$ — непересекающиеся множества в метрическом пространстве $X, K$ компактно, $F$ замкнуто. Докажите, что существует $\delta > 0$ такое, что $d(p, q) > \delta$, если $p \in K, q \in F$. Указание: $\rho_{F}$ — непрерывная положительная функция на $K$.

Покажите, что заключение может не выполняться для двух непересекающихся замкнутых множеств, если ни одно из них не компактно.

Пусть $A$ и $B$ — непересекающиеся непустые замкнутые множества в метрическом пространстве $X$, и определим

Покажите, что $f$ — непрерывная функция на $X$, область значений которой лежит в $[0,1]$, что $f(p) = 0$ ровно на $A$, а $f(p) = 1$ ровно на $B$. Это устанавливает обращение Упражнения 3: каждое замкнутое множество $A \subset X$ есть $Z(f)$ для некоторой непрерывной действительной $f$ на $X$. Положив

покажите, что $V$ и $W$ открыты и не пересекаются, и что $A \subset V, B \subset W$. (Таким образом, пары непересекающихся замкнутых множеств в метрическом пространстве можно покрыть парами непересекающихся открытых множеств. Это свойство метрических пространств называется нормальностью).

Действительнозначная функция $f$, определённая на $(a, b)$, называется выпуклой, если

всякий раз, когда $a < x < b, a < y < b, 0 < \lambda < 1$. Докажите, что каждая выпуклая функция непрерывна. Докажите, что каждая возрастающая выпуклая функция от выпуклой функции выпукла. (Например, если $f$ выпукла, то и $e^{f}$ выпукла).

Если $f$ выпукла на $(a, b)$ и если $a < s < t < u < b$, покажите, что

Предположим, $f$ — непрерывная действительная функция, определённая на $(a, b)$, такая, что

для всех $x, y \in (a, b)$. Докажите, что $f$ выпукла.

Если $A \subset \mathbb {R}^{k}$ и $B \subset \mathbb {R}^{k}$, определим $A+B$ как множество всех сумм $\mathbf{x}+\mathbf{y}$ с $\mathbf{x} \in A$, $\mathbf{y} \in B$.

Предположим, $X, Y, Z$ — метрические пространства, и $Y$ компактно. Пусть $f$ отображает $X$ в $Y$, пусть $g$ — непрерывное взаимно однозначное отображение $Y$ в $Z$, и положим $h(x) = g(f(x))$ для $x \in X$.

Докажите, что $f$ равномерно непрерывна, если $h$ равномерно непрерывна. Указание: $g^{-1}$ имеет компактную область определения $g(Y)$, и $f(x) = g^{-1}(h(x))$. Докажите также, что $f$ непрерывна, если $h$ непрерывна. Покажите (изменив Пример 4.21 или найдя другой пример), что компактность $Y$ нельзя опустить из гипотез, даже когда $X$ и $Z$ компактны.