Банк задач по математике

Задача 1.3.1

Докажите, что сходимость $\left\{ s_{n}\right\}$ влечёт сходимость $\left\{ \left|s_{n}\right|\right\}$ . Верно ли обратное?

?

Задача 1.3.2

Вычислите $\lim \left(\sqrt{n^{2}+n}-n\right)$ .

?

Задача 1.3.3

Если $s_{1} = \sqrt{2}$ , и

s_{n+1} = \sqrt{2+\sqrt{s_{n}}} \quad (n = 1,2,3, \ldots )

докажите, что $\left\{ s_{n}\right\}$ сходится и что $s_{n} < 2$ при $n = 1,2,3, \ldots$ .

?

Задача 1.3.4

Найдите верхний и нижний пределы последовательности $\left\{ s_{n}\right\}$ , определённой соотношениями

s_{1} = 0 ; \quad s_{2 m} = \frac{s_{2 m-1}}{2} ; \quad s_{2 m+1} = \frac{1}{2}+s_{2 m}

?

Задача 1.3.5

Для любых двух действительных последовательностей $\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\}$ докажите, что

\limsup _{n \rightarrow \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right) \leq \limsup _{n \rightarrow \infty } a_{n}+\limsup _{n \rightarrow \infty } b_{n},

при условии, что сумма справа не имеет вида $\infty -\infty$ .

?

Задача 1.3.6

(a)(b)(c)(d)

Исследуйте поведение (сходимость или расходимость) $\Sigma a_{n}$ , если

?

(a)

$a_{n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ ;

(b)

$a_{n} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}$ ;

(c)

$a_{n} = (\sqrt[n]{n}-1)^{n}$ ;

(d)

$a_{n} = \frac{1}{1+z^{n}}$ , для комплексных значений $z$ .

Задача 1.3.7

Докажите, что сходимость $\Sigma a_{n}$ влечёт сходимость

\Sigma \frac{\sqrt{a_{n}}}{n}

если $a_{n} \geq 0$ .

?

Задача 1.3.8

Если $\Sigma a_{n}$ сходится, а $\left\{ b_{n}\right\}$ монотонна и ограничена, докажите, что $\Sigma a_{n} b_{n}$ сходится.

?

Задача 1.3.9

(a)(b)(c)(d)

Найдите радиус сходимости каждого из следующих степенных рядов:

?

(a)

$\sum n^{3} z^{n}$ ,

(b)

$\sum \frac{2^{n}}{n!} z^{n}$ ,

(c)

$\sum \frac{2^{n}}{n^2} z^{n}$ ,

(d)

$\sum \frac{n^{3}}{3^{n}} z^{n}$ .

Задача 1.3.10

Предположим, что коэффициенты степенного ряда $\sum a_{n} z^{n}$ — целые числа, бесконечно много из которых отличны от нуля. Докажите, что радиус сходимости не превышает 1.

?

Задача 1.3.11

(a)(b)(c)(d)

Предположим, $a_{n} > 0, s_{n} = a_{1}+\cdots +a_{n}$ , и $\Sigma a_{n}$ расходится.

?

(a)

Докажите, что $\sum \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ расходится.

(b)

Докажите, что

\frac{a_{N+1}}{s_{N+1}}+\cdots +\frac{a_{N+k}}{s_{N+k}} \geq 1-\frac{s_{N}}{s_{N+k}}

и выведите отсюда, что $\sum \frac{a_{n}}{s_{n}}$ расходится.

(c)

Докажите, что

\frac{a_{n}}{s_{n}^{2}} \leq \frac{1}{s_{n-1}}-\frac{1}{s_{n}}

и выведите отсюда, что $\sum \frac{a_{n}}{s_{n}^{2}}$ сходится.

(d)

Что можно сказать о

\Sigma \frac{a_{n}}{1+n a_{n}} \text{ и } \Sigma \frac{a_{n}}{1+n^{2} a_{n}} \text{ ? }

Задача 1.3.12

(a)(b)

Предположим, $a_{n} > 0$ и $\Sigma a_{n}$ сходится. Положим

r_{n} = \sum _{m = n}^{\infty } a_{m}

?

(a)

Докажите, что

\frac{a_{m}}{r_{m}}+\cdots +\frac{a_{n}}{r_{n}} > 1-\frac{r_{n}}{r_{m}}

если $m < n$ , и выведите отсюда, что $\sum \frac{a_{n}}{r_{n}}$ расходится.

(b)

Докажите, что

\frac{a_{n}}{\sqrt{r_{n}}} < 2\left(\sqrt{r_{n}}-\sqrt{r_{n+1}}\right)

и выведите отсюда, что $\sum \frac{a_{n}}{\sqrt{r_{n}}}$ сходится.

Задача 1.3.13

Докажите, что произведение Коши двух абсолютно сходящихся рядов сходится абсолютно.

?

Задача 1.3.14

Если $\left\{ s_{n}\right\}$ — комплексная последовательность, определим её средние арифметические $\sigma_{n}$ по формуле

\sigma _{n} = \frac{s_{0}+s_{1}+\cdots +s_{n}}{n+1} \quad (n = 0,1,2, \ldots )

?

(a)

Если $\lim s_{n} = s$ , докажите, что $\lim \sigma_{n} = s$ .

(b)

Постройте последовательность $\left\{ s_{n}\right\}$ , которая не сходится, хотя $\lim \sigma_{n} = 0$ .

(c)

Может ли случиться, что $s_{n} > 0$ для всех $n$ и что $\lim \sup s_{n} = \infty$ , хотя $\lim \sigma_{n} = 0$ ?

(d)

Положим $a_{n} = s_{n}-s_{n-1}$ при $n \geq 1$ . Покажите, что

s_{n}-\sigma _{n} = \frac{1}{n+1} \sum _{k = 1}^{n} k a_{k}

Предположите, что $\lim \left(n a_{n}\right) = 0$ и что $\left\{ \sigma_{n}\right\}$ сходится. Докажите, что $\left\{ s_{n}\right\}$ сходится.

(e)

Получите последнее заключение из более слабой гипотезы: предположите $M < \infty$ , $\left|n a_{n}\right| \leq M$ для всех $n$ , и $\lim \sigma_{n} = \sigma$ . Докажите, что $\lim s_{n} = \sigma$ , завершив следующий план доказательства:

Если $m < n$ , то

s_{n}-\sigma _{n} = \frac{m+1}{n-m}\left(\sigma _{n}-\sigma _{m}\right)+\frac{1}{n-m} \sum _{i = m+1}^{n}\left(s_{n}-s_{i}\right)

Для этих $i$ ,

\left|s_{n}-s_{i}\right| \leq \frac{(n-i) M}{i+1} \leq \frac{(n-m-1) M}{m+2}

Зафиксируйте $\varepsilon > 0$ и сопоставьте каждому $n$ целое число $m$ , удовлетворяющее

m \leq \frac{n-\varepsilon }{1+\varepsilon } < m+1

Тогда $(m+1) /(n-m) \leq 1 / \varepsilon$ и $\left|s_{n}-s_{i}\right| < M \varepsilon$ . Следовательно,

\limsup _{n \rightarrow \infty }\left|s_{n}-\sigma \right| \leq M \varepsilon

Поскольку $\varepsilon$ было произвольным, $\lim s_{n} = \sigma$ .

Примечание.

?

Пункт (d) даёт обращение утверждения пункта (a), но при дополнительном предположении, что $n a_{n} \rightarrow 0$ .

Задача 1.3.15

Определение 3.21 можно распространить на случай, когда $a_{n}$ лежат в некотором фиксированном $\mathbb {R}^{k}$ . Абсолютная сходимость определяется как сходимость $\Sigma \left|\mathbf{a}_{n}\right|$ . Покажите, что Теоремы $3.22,3.23,3.25(a), 3.33,3.34,3.42,3.45,3.47$ и 3.55 верны в этой более общей обстановке. (В любом из доказательств требуются лишь незначительные изменения).

?

Задача 1.3.16

(a)(b)(c)

Зафиксируйте положительное число $\alpha$ . Выберите $x_{1} > \sqrt{\alpha }$ и определите $x_{2}, x_{3}, x_{4}, \ldots$ по рекуррентной формуле

x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{\alpha }{x_{n}}\right)

?

(a)

Докажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ монотонно убывает и что $\lim x_{n} = \sqrt{\alpha }$ .

(b)

Положим $\varepsilon_{n} = x_{n}-\sqrt{\alpha }$ и покажите, что

\varepsilon _{n+1} = \frac{\varepsilon _{n}^{2}}{2 x_{n}} < \frac{\varepsilon _{n}^{2}}{2 \sqrt{\alpha }}

так что, положив $\beta = 2 \sqrt{\alpha }$ ,

\varepsilon _{n+1} < \beta \left(\frac{\varepsilon _{1}}{\beta }\right)^{2^{n}} \quad (n = 1,2,3, \ldots )

(c)

Это хороший алгоритм для вычисления квадратных корней, поскольку рекуррентная формула проста, а сходимость чрезвычайно быстрая. Например, если $\alpha = 3$ и $x_{1} = 2$ , покажите, что $\varepsilon_{1} / \beta < \frac{1}{10}$ и что поэтому

\varepsilon _{5} < 4 \cdot 10^{-16}, \quad \varepsilon _{6} < 4 \cdot 10^{-32}

Задача 1.3.17

(a)(b)(c)(d)

Зафиксируйте $\alpha > 1$ . Возьмите $x_{1} > \sqrt{ } \bar{\alpha }$ и определите

x_{n+1} = \frac{\alpha +x_{n}}{1+x_{n}} = x_{n}+\frac{\alpha -x_{n}^{2}}{1+x_{n}}

?

(a)

Докажите, что $x_{1} > x_{3} > x_{5} > \cdots$ .

(b)

Докажите, что $x_{2} < x_{4} < x_{6} < \cdots$ .

(c)

Докажите, что $\lim x_{n} = \sqrt{\alpha }$ .

(d)

Сравните быстроту сходимости этого процесса с процессом, описанным в Упражнении 16.

Задача 1.3.18

Замените рекуррентную формулу Упражнения 16 на

x_{n+1} = \frac{p-1}{p} x_{n}+\frac{\alpha }{p} x_{n}^{-p+1}

где $p$ — фиксированное положительное целое число, и опишите поведение получающихся последовательностей $\left\{ x_{n}\right\}$ .

?

Задача 1.3.19

Сопоставим каждой последовательности $a = \left\{ \alpha_{n}\right\}$ , в которой $\alpha_{n}$ равно 0 или 2, действительное число

x(a) = \sum _{n = 1}^{\infty } \frac{\alpha _{n}}{3^{n}}

Докажите, что множество всех $x(a)$ в точности совпадает с канторовым множеством, описанным в разд. 2.44.

?

Задача 1.3.20

Предположим, $\left\{ p_{n}\right\}$ — последовательность Коши в метрическом пространстве $X$ , и некоторая подпоследовательность $\left\{ p_{n t}\right\}$ сходится к точке $p \in X$ . Докажите, что вся последовательность $\left\{ p_{n}\right\}$ сходится к $p$ .

?

Задача 1.3.21

Докажите следующий аналог Теоремы $3.10(b)$ : если $\left\{ E_{n}\right\}$ — последовательность непустых замкнутых ограниченных множеств в полном метрическом пространстве $X$ , если $E_{n} \supset E_{n+1}$ , и если

\lim _{n \rightarrow \infty } \operatorname {diam} E_{n} = 0

то $\bigcap_{1}^{\infty } E_{n}$ состоит ровно из одной точки.

?

Задача 1.3.22

Предположим, $X$ — непустое полное метрическое пространство, и $\left\{ G_{n}\right\}$ — последовательность плотных открытых подмножеств $X$ . Докажите теорему Бэра, а именно, что $\bigcap_{1}^{\infty } G_{n}$ непусто. (Более того, оно плотно в $X$ ). Указание: найдите убывающую последовательность окрестностей $E_{n}$ такую, что $E_{n} \subset G_{n}$ , и примените Упражнение 21.

?

Задача 1.3.23

Предположим, $\left\{ p_{n}\right\}$ и $\left\{ q_{n}\right\}$ — последовательности Коши в метрическом пространстве $X$ . Покажите, что последовательность $\left\{ d\left(p_{n}, q_{n}\right)\right\}$ сходится. Указание: для любых $m, n$ ,

d\left(p_{n}, q_{n}\right) \leq d\left(p_{n}, p_{m}\right)+d\left(p_{m}, q_{m}\right)+d\left(q_{m}, q_{n}\right)

отсюда следует, что

\left|d\left(p_{n}, q_{n}\right)-d\left(p_{m}, q_{m}\right)\right|

мало, если $m$ и $n$ велики.

?

Задача 1.3.24

Пусть $X$ — метрическое пространство.

?

(a)

Назовём две последовательности Коши $\left\{ p_{n}\right\} ,\left\{ q_{n}\right\}$ в $X$ эквивалентными, если

\lim _{n \rightarrow \infty } d\left(p_{n}, q_{n}\right) = 0

Докажите, что это отношение эквивалентности.

(b)

Пусть $X^{*}$ — множество всех полученных таким образом классов эквивалентности. Если $P \in X^{*}, Q \in X^{*}$ , $\left\{ p_{n}\right\} \in P,\left\{ q_{n}\right\} \in Q$ , определим

\Delta (P, Q) = \lim _{n \rightarrow \infty } d\left(p_{n}, q_{n}\right)

по Упражнению 23 этот предел существует. Покажите, что число $\Delta (P, Q)$ не меняется, если $\left\{ p_{n}\right\}$ и $\left\{ q_{n}\right\}$ заменить эквивалентными последовательностями, и, следовательно, что $\Delta$ является функцией расстояния на $X^{*}$ .

(c)

Докажите, что получившееся метрическое пространство $X^{*}$ полно.

(d)

Для каждого $p \in X$ существует последовательность Коши, все члены которой равны $p$ ; пусть $P_{p}$ — элемент $X^{*}$ , содержащий эту последовательность. Докажите, что

\Delta \left(P_{p}, P_{q}\right) = d(p, q)

для всех $p, q \in X$ . Иными словами, отображение $\varphi$ , определённое как $\varphi (p) = P_{p}$ , является изометрией (т.е. отображением, сохраняющим расстояния) $X$ в $X^{*}$ .

(e)

Докажите, что $\varphi (X)$ плотно в $X^{*}$ , и что $\varphi (X) = X^{*}$ , если $X$ полно. По пункту (d) мы можем отождествить $X$ и $\varphi (X)$ и тем самым рассматривать $X$ как вложенное в полное метрическое пространство $X^{*}$ . Мы называем $X^{*}$ пополнением $X$ .

Задача 1.3.25

Пусть $X$ — метрическое пространство, точками которого являются рациональные числа, с метрикой $d(x, y) = \left|x-y\right|$ . Что является пополнением этого пространства? (Сравните с Упражнением 24).

?

Числовые последовательности и ряды