Элементарная топология

Докажите, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Комплексное число $z$ называется алгебраическим, если существуют целые числа $a_{0}, \ldots , a_{n}$, не все равные нулю, такие, что

Докажите, что множество всех алгебраических чисел счётно. Указание: для каждого положительного целого $N$ существует лишь конечное число уравнений с

Докажите, что существуют действительные числа, которые не являются алгебраическими.

Является ли множество всех иррациональных действительных чисел счётным?

Постройте ограниченное множество действительных чисел, имеющее ровно три предельные точки.

Пусть $E^{\prime }$ — множество всех предельных точек множества $E$. Докажите, что $E^{\prime }$ замкнуто. Докажите, что $E$ и $\overline{E}$ имеют одни и те же предельные точки. (Напомним, что $\overline{E} = E \cup E^{\prime }$). Всегда ли $E$ и $E^{\prime }$ имеют одни и те же предельные точки?

Пусть $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots$ — подмножества метрического пространства.

Является ли каждая точка каждого открытого множества $E \subset \mathbb {R}^{2}$ предельной точкой $E$? Ответьте на тот же вопрос для замкнутых множеств в $\mathbb {R}^{2}$.

Пусть $E^{\circ }$ обозначает множество всех внутренних точек множества $E$.

Пусть $X$ — бесконечное множество. Для $p \in X$ и $q \in X$ определим

Докажите, что это метрика. Какие подмножества получившегося метрического пространства открыты? Какие замкнуты? Какие компактны?

Для $x \in \mathbb {R}^{1}$ и $y \in \mathbb {R}^{1}$ определим

Определите для каждой из них, является ли она метрикой.

Пусть $K \subset \mathbb {R}^{1}$ состоит из 0 и чисел $1 / n$ при $n = 1,2,3, \ldots$ Докажите, что $K$ компактно непосредственно по определению (не пользуясь теоремой Гейне–Бореля).

Постройте компактное множество действительных чисел, предельные точки которого образуют счётное множество.

Приведите пример открытого покрытия отрезка $(0,1)$, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие.

Покажите, что Теорема 2.36 и её Следствие становятся неверными (например, в $\mathbb {R}^{1}$), если слово «компактный» заменить на «замкнутый» или на «ограниченный».

Рассмотрим $Q$, множество всех рациональных чисел, как метрическое пространство с $d(p, q) = \left|p-q\right|$. Пусть $E$ — множество всех $p \in Q$ таких, что $2 < p^{2} < 3$. Покажите, что $E$ замкнуто и ограничено в $Q$, но что $E$ не компактно. Открыто ли $E$ в $Q$?

Пусть $E$ — множество всех $x \in [0,1]$, десятичное разложение которых содержит только цифры 4 и 7. Счётно ли $E$? Плотно ли $E$ в $[0,1]$? Компактно ли $E$? Совершенно ли $E$?

Существует ли непустое совершенное множество в $\mathbb {R}^{1}$, не содержащее ни одного рационального числа?

Всегда ли замыкания и внутренности связных множеств связны? (Рассмотрите подмножества $\mathbb {R}^{2}$).

Пусть $A$ и $B$ — разделённые подмножества некоторого $\mathbb {R}^{k}$, предположим $\mathrm{a} \in A, \mathrm{~ b} \in B$, и определим

для $t \in \mathbb {R}^{1}$. Положим $A_{0} = \mathbf{p}^{-1}(A), B_{0} = \mathbf{p}^{-1}(B)$.

Метрическое пространство называется сепарабельным, если оно содержит счётное плотное подмножество. Покажите, что $\mathbb {R}^{k}$ сепарабельно. Указание: рассмотрите множество точек, все координаты которых рациональны.

Совокупность $\left\{ V_{\text{Ia }}\right\}$ открытых подмножеств $X$ называется базой $X$, если верно следующее: для каждого $x \in X$ и каждого открытого множества $G \subset X$ такого, что $x \in G$, найдётся $\alpha$ такое, что $x \in V_{\alpha } \subset G$. Иными словами, каждое открытое множество в $X$ является объединением некоторой подсовокупности $\left\{ V_{a}\right\}$.

Докажите, что каждое сепарабельное метрическое пространство имеет счётную базу. Указание: возьмите все окрестности с рациональным радиусом и центром в некотором счётном плотном подмножестве $X$.

Пусть $X$ — метрическое пространство, в котором каждое бесконечное подмножество имеет предельную точку. Докажите, что $X$ сепарабельно. Указание: зафиксируйте $\delta > 0$ и выберите $x_{1} \in X$. Выбрав $x_{1}, \ldots , x_{j} \in X$, выберите $x_{j+1} \in X$, если это возможно, так, чтобы $d\left(x_{i}, x_{j+1}\right) \geq \delta$ для $i = 1, \ldots , j$. Покажите, что этот процесс должен остановиться после конечного числа шагов и что поэтому $X$ можно покрыть конечным числом окрестностей радиуса $\delta$. Возьмите $\delta = 1 / n(n = 1,2,3, \ldots )$ и рассмотрите центры соответствующих окрестностей.

Докажите, что каждое компактное метрическое пространство $K$ имеет счётную базу и что поэтому $K$ сепарабельно. Указание: для каждого положительного целого $n$ существует конечное число окрестностей радиуса $1 / n$, объединение которых покрывает $K$.

Пусть $X$ — метрическое пространство, в котором каждое бесконечное подмножество имеет предельную точку. Докажите, что $X$ компактно. Указание: по Упражнениям 23 и 24 $X$ имеет счётную базу. Отсюда следует, что каждое открытое покрытие $X$ имеет счётное подпокрытие $\left\{ G_{n}\right\} , n = 1,2,3, \ldots$ Если никакая конечная подсовокупность $\left\{ G_{n}\right\}$ не покрывает $X$, то дополнение $F_{i n}$ множества $G_{1} \cup \cdots \cup G_{n}$ непусто при каждом $n$, но $\bigcap F_{n}$ пусто. Если $E$ — множество, содержащее по точке из каждого $F_{n}$, рассмотрите предельную точку $E$ и придите к противоречию.

Назовём точку $p$ метрического пространства $X$ точкой конденсации множества $E \subset X$, если каждая окрестность $p$ содержит несчётно много точек $E$.

Предположим, $E \subset \mathbb {R}^{k}, E$ несчётно, и пусть $P$ — множество всех точек конденсации $E$. Докажите, что $P$ совершенно и что не более чем счётное число точек $E$ не принадлежит $P$. Иными словами, покажите, что $P^{c} \cap E$ не более чем счётно. Указание: пусть $\left\{ V_{n}\right\}$ — счётная база $\mathbb {R}^{k}$, пусть $W$ — объединение тех $V_{n}$, для которых $E \cap V_{n}$ не более чем счётно, и покажите, что $P = W^{c}$.

Докажите, что каждое замкнутое множество в сепарабельном метрическом пространстве является объединением (возможно, пустого) совершенного множества и не более чем счётного множества. (Следствие: каждое счётное замкнутое множество в $\mathbb {R}^{k}$ имеет изолированные точки). Указание: воспользуйтесь Упражнением 27.

Докажите, что каждое открытое множество в $\mathbb {R}^{1}$ является объединением не более чем счётной совокупности непересекающихся отрезков. Указание: воспользуйтесь Упражнением 22.

Повторив доказательство Теоремы 2.43, получите следующий результат:

Если $\mathbb {R}^{k} = \bigcup_{1}^{\infty } F_{n}$, где каждое $F_{n}$ — замкнутое подмножество $\mathbb {R}^{k}$, то по крайней мере одно $F_{n}$ имеет непустую внутренность.

Эквивалентное утверждение: если $G_{n}$ — плотное открытое подмножество $\mathbb {R}^{k}$ при $n = 1,2,3, \ldots$, то $\bigcap_{1}^{\infty } G_{n}$ непусто (более того, оно плотно в $\mathbb {R}^{k}$). (Это частный случай теоремы Бэра; общий случай см. в Упражнении 22, Гл. 3).