Интегрирование дифференциальных форм

Пусть $H$ — компактное выпуклое множество в $\mathbb {R}^{k}$ с непустой внутренностью. Пусть $f \in \mathscr {C}(H)$, положим $f(\mathbf{x}) = 0$ в дополнении к $H$, и определим $\int_{H} f$, как в определении 10.3.

Докажите, что $\int_{H} f$ не зависит от порядка, в котором выполняются $k$ интегрирований.

Указание: Приблизьте $f$ функциями, непрерывными на $\mathbb {R}^{k}$ и с носителями в $H$, как это было сделано в примере 10.4.

Для $i = 1,2,3, \ldots$ пусть $\varphi_{i} \in \mathscr {C}\left(\mathbb {R}^{1}\right)$ имеет носитель в $\left(2^{-i}, 2^{1-i}\right)$, такой что $\int \varphi_{i} = 1$. Положим

Тогда $f$ имеет компактный носитель в $\mathbb {R}^{2}$, $f$ непрерывна всюду, кроме $(0,0)$, и

Заметьте, что $f$ неограничена в каждой окрестности $(0,0)$.

Для $(x, y) \in \mathbb {R}^{2}$ определим

Докажите, что $\mathbf{F} = \mathbf{G}_{2} \circ \mathbf{G}_{1}$, где

примитивны в некоторой окрестности $(0,0)$. Вычислите якобианы $\mathbf{G}_{1}, \mathbf{G}_{\mathbf{2}}, \mathbf{F}$ в $(0,0)$. Определим

и найдите

так, чтобы $F = H_{1} \circ H_{2}$ в некоторой окрестности $(0,0)$.

Сформулируйте и докажите аналог теоремы 10.8, в котором $K$ — компактное подмножество произвольного метрического пространства. (Замените функции $\varphi_{i}$, встречающиеся в доказательстве теоремы 10.8, функциями типа, построенного в упражнении 22 гл. 4).

Усильте заключение теоремы 10.8, показав, что функции $\psi_{i}$ можно сделать дифференцируемыми и даже бесконечно дифференцируемыми. (Используйте упражнение 1 гл. 8 при построении вспомогательных функций $\varphi_{i}$).

Пусть $H$ — параллелограмм в $\mathbb {R}^{2}$ с вершинами $(1,1),(3,2),(4,5),(2,4)$. Найдите аффинное отображение $T$, переводящее $(0,0)$ в $(1,1)$, $(1,0)$ в $(3,2)$, $(0,1)$ в $(2,4)$. Покажите, что $J_{T} = 5$. Используйте $T$, чтобы преобразовать интеграл

в интеграл по $I^{2}$ и таким образом вычислите $\alpha$.

Определим $(x, y) = T(r, \theta )$ на прямоугольнике

уравнениями

Покажите, что $T$ отображает этот прямоугольник на замкнутый круг $D$ с центром в $(0,0)$ и радиусом $a$, что $T$ взаимно однозначно во внутренности прямоугольника, и что $J_{T}(r, \theta ) = r$. Если $f \in \mathscr {C}(D)$, докажите формулу интегрирования в полярных координатах:

Указание: Пусть $D_{0}$ — внутренность $D$ без отрезка от $(0,0)$ до $(0, a)$. В таком виде теорема 10.9 применима к непрерывным функциям $f$, носитель которых лежит в $D_{0}$. Чтобы снять это ограничение, действуйте, как в примере 10.4.

Устремите $a \rightarrow \infty$ в упражнении 9 и докажите, что

для непрерывных функций $f$, достаточно быстро убывающих при $\left|x\right|+\left|y\right| \rightarrow \infty$. (Найдите более точную формулировку). Примените это к

чтобы вывести формулу (101) гл. 8.

Определим $(u, v) = T(s, t)$ на полосе

положив $u = s-s t, v = s t$. Покажите, что $T$ — взаимно однозначное отображение полосы на положительный квадрант $Q$ в $\mathbb {R}^{2}$. Покажите, что $J_{T}(s, t) = s$.

Для $x > 0, y > 0$ проинтегрируйте

по $Q$, используйте теорему 10.9, чтобы преобразовать интеграл в интеграл по полосе, и выведите таким образом формулу (96) гл. 8. (Для этого применения теорему 10.9 нужно расширить, чтобы охватить некоторые несобственные интегралы. Проведите это расширение).

Пусть $I^{k}$ — множество всех $\mathbf{u} = \left(u_{1}, \ldots , u_{k}\right) \in \mathbb {R}^{k}$ с $0 \leq u_{i} \leq 1$ при всех $i$; пусть $Q^{k}$ — множество всех $\mathrm{x} = \left(x_{1}, \ldots , x_{k}\right) \in \mathbb {R}^{k}$ с $x_{l} \geq 0, \Sigma x_{l} \leq 1$. ($I^{k}$ — единичный куб; $Q^{k}$ — стандартный симплекс в $\mathbb {R}^{k}$). Определим $\mathbf{x} = T(\mathbf{u})$ формулами

Покажите, что

Покажите, что $T$ отображает $I^{k}$ на $Q^{k}$, что $T$ взаимно однозначно во внутренности $I^{k}$, и что его обратное отображение $S$ определено во внутренности $Q^{k}$ формулой $u_{1} = x_{1}$ и

при $i = 2, \ldots , k$. Покажите, что

и

Пусть $r_{1}, \ldots , r_{k}$ — неотрицательные целые числа, и докажите, что

Указание: Используйте упражнение 12, теоремы 10.9 и 8.20. Заметьте, что частный случай $r_{1} = \cdots = r_{k} = 0$ показывает, что объём $Q^{k}$ равен $1 / k!$.

Докажите формулу (46).

Если $\omega$ и $\lambda$ — $k$- и $m$-формы соответственно, докажите, что

Если $k \geq 2$ и $\sigma = \left[p_{0}, p_{1}, \ldots , p_{k}\right]$ — ориентированный аффинный $k$-симплекс, докажите, что $\partial^{2} \sigma = 0$, непосредственно из определения граничного оператора $\partial$. Выведите отсюда, что $\partial^{2} \Psi = 0$ для каждой цепи $\Psi$.

Указание: Для ориентации сделайте это сначала для $k = 2, k = 3$. В общем случае, если $i < j$, пусть $\sigma_{i j}$ — $(k-2)$-симплекс, полученный удалением $\mathbf{p}_{i}$ и $\mathbf{p}_{j}$ из $\sigma$. Покажите, что каждый $\sigma_{i j}$ встречается дважды в $\partial^{2} \sigma$, с противоположными знаками.

Положим $J^{2} = \tau_{1}+\tau_{2}$, где

Объясните, почему разумно называть $J^{2}$ положительно ориентированным единичным квадратом в $\mathbb {R}^{2}$. Покажите, что $\partial J^{2}$ есть сумма 4 ориентированных аффинных 1-симплексов. Найдите их. Чему равно $\partial \left(\tau_{1}-\tau_{2}\right)$?

Рассмотрим ориентированный аффинный 3-симплекс

в $\mathbb {R}^{3}$. Покажите, что $\sigma_{1}$ (рассматриваемый как линейное преобразование) имеет определитель 1. Таким образом, $\sigma_{1}$ положительно ориентирован.

Пусть $\sigma_{2}, \ldots , \sigma_{6}$ — пять других ориентированных 3-симплексов, полученных следующим образом: существует пять перестановок $\left(i_{1}, i_{2}, i_{3}\right)$ набора $(1,2,3)$, отличных от $(1,2,3)$. Сопоставим каждой $\left(i_{1}, i_{2}, i_{3}\right)$ симплекс

где $s$ — знак, встречающийся в определении определителя. (Именно так $\tau_{2}$ была получена из $\tau_{1}$ в упражнении 17).

Покажите, что $\sigma_{2}, \ldots , \sigma_{6}$ положительно ориентированы. Положим $J^{3} = \sigma_{1}+\cdots +\sigma_{6}$. Тогда $J^{3}$ можно назвать положительно ориентированным единичным кубом в $\mathbb {R}^{3}$.

Покажите, что $\partial J^{3}$ есть сумма 12 ориентированных аффинных 2-симплексов. (Эти 12 треугольников покрывают поверхность единичного куба $I^{3}$).

Покажите, что $\mathrm{x} = \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ принадлежит образу $\sigma_{1}$ тогда и только тогда, когда $0 \leq x_{3} \leq x_{2} \leq x_{1} \leq 1$.

Покажите, что образы $\sigma_{1}, \ldots , \sigma_{6}$ имеют непересекающиеся внутренности и что их объединение покрывает $I^{3}$. (Сравните с упражнением 13; заметьте, что $3! = 6$).

Пусть $J^{2}$ и $J^{3}$ такие же, как в упражнениях 17 и 18. Определим

Они аффинны и отображают $\mathbb {R}^{2}$ в $\mathbb {R}^{3}$. Положим $\beta_{r i} = B_{r i}\left(J^{2}\right)$ при $r = 0,1, i = 1,2,3$. Каждая $\beta_{r i}$ является аффинно-ориентированной 2-цепью. (См. раздел 10.30). Проверьте, что

в согласии с упражнением 18.

Сформулируйте условия, при которых формула

верна, и покажите, что она обобщает формулу интегрирования по частям. Указание: $d(f \omega ) = (d f) \wedge \omega +f d \omega$.

Как и в примере 10.36, рассмотрим 1-форму

в $\mathbb {R}^{2}-\left\{ 0\right\}$.

Как и в примере 10.37, определим $\zeta$ в $\mathbb {R}^{3}-\left\{ 0\right\}$ формулой

где $r = \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{1 / 2}$, пусть $D$ — прямоугольник, заданный условиями $0 \leq u \leq \pi , 0 \leq v \leq 2 \pi$, и пусть $\Sigma$ — 2-поверхность в $\mathbb {R}^{3}$ с областью параметров $D$, заданная формулами

Зафиксируем $n$. Определим $r_{k} = \left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)^{1 / 2}$ при $1 \leq k \leq n$, пусть $E_{k}$ — множество всех $\mathbf{x} \in \mathbb {R}^{n}$, при которых $r_{k} > 0$, и пусть $\omega_{k}$ — $(k-1)$-форма, определённая в $E_{k}$ формулой

Заметьте, что $\omega_{2} = \eta , \omega_{3} = \zeta$ в терминологии упражнений 21 и 22. Заметьте также, что

Пусть $\omega = \Sigma a_{i}(\mathbf{x}) d x_{i}$ — 1-форма класса $\mathscr {C}^{\prime \prime }$ в выпуклом открытом множестве $E \subset \mathbb {R}^{n}$. Предположим, что $d \omega = 0$, и докажите, что $\omega$ точна в $E$, завершив следующий план:

Зафиксируем $\mathbf{p} \in E$. Определим

Примените теорему Стокса к аффинно-ориентированным 2-симплексам $[p, x, y]$ в $E$. Выведите, что

для $\mathbf{x} \in E, \mathbf{y} \in E$. Следовательно, $\left(D_{i} f\right)(\mathbf{x}) = a_{i}(\mathbf{x})$.

Предположим, что $\omega$ — 1-форма в открытом множестве $E \subset \mathbb {R}^{n}$, такая что

для каждой замкнутой кривой $\gamma$ в $E$ класса $\mathscr {C}^{\prime }$. Докажите, что $\omega$ точна в $E$, повторив часть рассуждения, намеченного в упражнении 24.

Пусть $\omega$ — 1-форма в $\mathbb {R}^{3}-\left\{ 0\right\}$ класса $\mathscr {C}^{\prime }$ с $d \omega = 0$. Докажите, что $\omega$ точна в $\mathbb {R}^{3}-\left\{ 0\right\}$.

Указание: Каждая замкнутая непрерывно дифференцируемая кривая в $\mathbb {R}^{3}-\left\{ 0\right\}$ является границей некоторой 2-поверхности в $\mathbb {R}^{3}-\left\{ 0\right\}$. Примените теорему Стокса и упражнение 25.

Пусть $E$ — открытая 3-клетка в $\mathbb {R}^{3}$ со сторонами, параллельными координатным осям. Пусть $(a, b, c) \in E, f_{i} \in \mathscr {C}^{\prime }(E)$ при $i = 1,2,3$,

и предположим, что $d \omega = 0$ в $E$. Определим

где

для $(x, y, z) \in E$. Докажите, что $d \lambda = \omega$ в $E$. Вычислите эти интегралы, когда $\omega = \zeta$, и таким образом найдите форму $\lambda$, встречающуюся в пункте (e) упражнения 22.

Зафиксируем $b > a > 0$, определим

при $a \leq r \leq b, 0 \leq \theta \leq 2 \pi$. (Образ $\Phi$ — кольцо в $\mathbb {R}^{2}$). Положим $\omega = x^{3} d y$ и вычислим оба

чтобы проверить, что они равны.

Докажите существование функции $\alpha$ со свойствами, необходимыми в доказательстве теоремы 10.38, и докажите, что результирующая функция $F$ принадлежит классу $\mathscr {C}^{\prime }$. (Оба утверждения становятся тривиальными, если $E$ — открытая клетка или открытый шар, поскольку тогда $\alpha$ можно взять постоянной. См. теорему 9.42).

Если $\mathbf{N}$ — вектор, заданный формулой (135), докажите, что

Также проверьте уравнение (137).

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{3}$ открыто, пусть $g \in \mathscr {C}^{\prime \prime }(E), h \in \mathscr {C}^{\prime \prime }(E)$, и рассмотрим векторное поле

Зафиксируем $\delta , 0 < \delta < 1$. Пусть $D$ — множество всех $(\theta , t) \in \mathbb {R}^{2}$ таких, что $0 \leq \theta \leq \pi ,-\delta \leq t \leq \delta$. Пусть $\Phi$ — 2-поверхность в $\mathbb {R}^{3}$ с областью параметров $D$, заданная формулами

где $(x, y, z) = \Phi (\theta , t)$. Заметьте, что $\Phi (\pi , t) = \Phi (0,-t)$, и что $\Phi$ взаимно однозначна на остальной части $D$.

Образ $M = \Phi (D)$ отображения $\Phi$ известен как лист Мёбиуса. Это простейший пример неориентируемой поверхности.

Докажите различные утверждения, сделанные в следующем описании: Положим $\mathbf{p}_{1} = (0,-\delta ), \mathbf{p}_{2} = (\pi ,-\delta ), \mathbf{p}_{3} = (\pi , \delta ), \mathbf{p}_{4} = (0, \delta ), \mathbf{p}_{5} = \mathbf{p}_{1}$. Положим $\gamma_{i} = \left[\mathbf{p}_{i}, \mathbf{p}_{i+1}\right]$, $i = 1, \ldots , 4$, и положим $\Gamma_{i} = \Phi \circ \gamma_{i}$. Тогда

Положим $\mathbf{a} = (1,0,-\delta ), \mathbf{b} = (1,0, \delta )$. Тогда

и $\partial \Phi$ можно описать следующим образом. $\Gamma_{1}$ поднимается по спирали от $\mathbf{a}$ до $\mathbf{b}$; её проекция на плоскость $(x, y)$ имеет число оборотов $+1$ вокруг начала координат. (См. упражнение 23, гл. 8). $\Gamma_{2} = [b, a]$. $\Gamma_{3}$ поднимается по спирали от $\mathbf{a}$ до $\mathbf{b}$; её проекция на плоскость $(x, y)$ имеет число оборотов $-1$ вокруг начала координат. $\Gamma_{4} = [b, a]$. Таким образом, $\partial \Phi = \Gamma_{1}+\Gamma_{3}+2 \Gamma_{2}$. Если мы пройдём от $\mathbf{a}$ до $\mathbf{b}$ вдоль $\Gamma_{1}$ и продолжим вдоль «края» $M$, пока не вернёмся к $\mathbf{a}$, то прочерченная кривая есть

которую можно также представить на интервале параметра $[0,2 \pi ]$ уравнениями

Следует подчеркнуть, что $\Gamma \neq \partial \Phi$: пусть $\eta$ — 1-форма, рассмотренная в упражнениях 21 и 22. Поскольку $d \eta = 0$, теорема Стокса показывает, что

Но хотя $\Gamma$ и является «геометрической» границей $M$, у нас

Чтобы избежать этого возможного источника путаницы, формула Стокса (теорема 10.50) часто формулируется только для ориентируемых поверхностей $\Phi$.