Условное математическое ожидание и условная вероятность, связанные свойства и результаты

Если $X$ -- интегрируемая с.в., а $\left\{ A_{n}, n = 1,2, \ldots \right\}$ -- попарно непересекающиеся события, покажите, что

Пусть $X$ -- интегрируемая с.в., и для $B \in \mathcal{A}$ с $\mathbb {P}\left(B\right) > 0$ рассмотрим условную вероятность на $\mathcal{A}, \mathbb {P}\left( \cdot \mid B \right)$. Тогда покажите, что

Рассмотрим вероятностное пространство $(\Omega , \mathcal{A}, P) = \left([0,1], \mathcal{B}_{[0,1]}, \lambda \right)$, где $\lambda$ -- мера Лебега, и пусть $\mathcal{F}$ -- $\sigma$-алгебра, порождённая классом $\left\{ \left[0, \frac{1}{4}\right],\left(\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]\right.$, $\left.\left(\frac{2}{3}, 1\right]\right\}$. Также пусть $X$ -- с.в., определённая как: $X(\omega ) = \omega^{2}, \omega \in \Omega$. Тогда покажите, что

и вычислите $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$.

Пусть $X$ и $Y$ -- $\mathcal{B}$-измеримые и интегрируемые с.в. Далее предположим, что $\int_{B} X d P \geq \int_{B} Y d P$ для каждого $B \in \mathcal{B}(\subseteq \mathcal{A})$. Тогда покажите, что $X \geq Y$ п.н.

Если $\mathbb {E}\left[\left|X\right|^{r}\right] < \infty$, то покажите, что $\left|\mathbb {E}_{\mathcal{B}}\left[X\right]\right|^{r} \leq \mathbb {E}_{\mathcal{B}}\left[\left|X\right|^{r}\right]$ п.н., $r \geq 1$.

Если с.в. $X$ интегрируема, то $\mathbb {E}_{\mathcal{B}}\left[X\right]$ конечна п.н.

Напомним, что функция $g: I$ (открытый интервал) $\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ называется выпуклой, если $g\left(\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}\right) \leq \alpha_{1} g\left(x_{1}\right)+\alpha_{2} g\left(x_{2}\right)$ для всех $\alpha_{1}, \alpha_{2} \geq 0$ с $\alpha_{1}+\alpha_{2} = 1$, и всех $x_{1}, x_{2} \in I$. Докажите следующее обобщение: если $g$ такова, как указано выше, то:

для любого $n \geq 2$, любых $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n} \geq 0$ с $\alpha_{1}+\cdots +\alpha_{n} = 1$, и всех $x_{1}, \ldots , x_{n} \in I$.

Напомним следующую лемму (лемма 2). Пусть $\left(\Omega , \mathcal{B}_{Y}, P_{Y}\right)$, $\left(\Omega^{\prime }, \mathcal{B}_{Y}^{\prime }, P_{Y}^{\prime }\right)$ такие же, как и ранее (т.е. $\mathcal{B}_{Y}^{\prime } = \left\{ A^{\prime } \subseteq \Omega^{\prime } ; Y^{-1}\left(A^{\prime }\right) = A \text{ для некоторого } A \in \mathcal{A}\right\}$, $\mathcal{B}_{Y} = Y^{-1}\left(\mathcal{B}_{Y}^{\prime }\right)$, а $P_{Y}, P_{Y}^{\prime }$ -- вероятностные меры, индуцированные на $\mathcal{B}_{Y}, \mathcal{B}_{Y}^{\prime }$ соответственно мерой $P$), и пусть $g : \left(\Omega^{\prime }, \mathcal{B}_{Y}^{\prime }\right) \rightarrow \left(\mathbb {R}, \mathcal{B}\right)$ измерима, так что $g(Y) : (\Omega , \mathcal{B}_{Y}) \rightarrow (\mathbb {R}, \mathcal{B})$ измерима (с.в.). Тогда

в том смысле, что если один из этих интегралов существует, то существует и другой, и они равны.

Восполните детали в доказательстве леммы 2.

Пусть $X$ и $Y$ -- дискретные с.в., и напомним (из применения, следующего за теоремой 11), что $\mathcal{B}_{Y}^{\prime }$ -- это $\sigma$-алгебра подмножеств $\mathbb {R}$, определённая как $\mathcal{B}_{Y}^{\prime } = \left\{ B^{\prime } \subseteq \mathbb {R}\right.$; $Y^{-1}\left(B^{\prime }\right) = A$ для некоторого $\left.A \in \mathcal{A}\right\}$. Для $x, y \in \mathbb {R}$ с $\mathbb {P}\left(Y = y\right) > 0$ рассмотрим условную вероятность

и покажите, что для каждого фиксированного $x$ функция $\mathbb {P}\left( X = x \mid Y = \cdot \right)$ является $\mathcal{B}_{Y}^{\prime }$-измеримой.

Теорема о мажорируемой сходимости в её классической форме утверждает: если $\left|X_{n}\right| \leq Y$ п.н., $n \geq 1, \mathbb {E}\left[Y\right] < \infty$, и либо $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\text{ п.н. }} X$, либо $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} X$, то $\mathbb {E}\left[X_{n_{n}}^{ \rightarrow \infty }\right] \mathbb {E}\left[X\right]$ конечно.

В рамках условных математических ожиданий мы показали, что: если $\left|X_{n}\right| \leq Y$ п.н., $n \geq 1, \mathbb {E}\left[Y\right] < \infty$, и $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\text{ п.н. }} X$ с конечным $\mathbb {E}\left[X\right]$, то $\mathbb {E}_{\mathcal{B}}\left[X_{n}\right] \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\text{ п.н. }} \mathbb {E}_{\mathcal{B}}\left[X\right]$ для любой $\sigma$-алгебры $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ (см. теорему 7 (iii')).

На примере покажите, что сходимость $X_{n} \xrightarrow {\text{ п.н. }} X$ нельзя заменить на $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} X$ и по-прежнему заключить, что $\mathbb {E}_{\mathcal{B}}\left[X_{n}\right] \xrightarrow {\xrightarrow {\text{ п.н. }}} \mathbb {E}_{\mathcal{B}}\left[X\right]$.

Пусть с.в. $X$ и $Y$ имеют двумерное нормальное распределение с параметрами $\mu_{1}, \mu_{2}$ в $\mathbb {R}, 0 < \sigma_{1}, \sigma_{2} < \infty$, и $\rho \in [-1,1]$, так что их совместная плотность распределения (п.р.в.) задаётся формулой

где

Со ссылкой на упражнение 12 (ii), и без каких-либо фактических операций, заключите, что условное распределение с.в. $Y$ при условии $X = x$ есть $N\left(b, \sigma_{2}^{2}\left(1-\rho^{2}\right)\right)$, где $b = \mu_{2}+\frac{\rho \sigma_{2}}{\sigma_{1}}\left(x-\mu_{1}\right)$; и по симметрии условное распределение $X$ при условии $Y = y$ есть $N\left(c, \sigma_{1}^{2}\left(1-\rho^{2}\right)\right)$, где $c = \mu_{1}+\frac{\rho \sigma_{1}}{\sigma_{2}}\left(y-\mu_{2}\right)$.

Если с.в. $X$ и $Y$ имеют двумерное нормальное распределение с параметрами $\mu_{1}, \mu_{2}$ в $\mathbb {R}, 0 < \sigma_{1}, \sigma_{2} < \infty$ и $\rho \in [-1,1]$, положим

и покажите, что с.в. $U$ и $V$ имеют двумерное нормальное распределение с параметрами $0,0,1,1$ и $\rho$, преобразовав совместную п.р.в. $X$ и $Y$ в совместную п.р.в. $U$ и $V$.

Пусть $X$ и $Y$ -- с.в., определённые на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, и предположим, что $\mathbb {E}\left[X^{2}\right] < \infty$. Тогда покажите, что

(Вальд)

Пусть $\mathcal{B}$ -- под-$\sigma$-алгебра в $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, эквивалентная тривиальной $\sigma$-алгебре $\left\{ \varnothing , \Omega \right\}$ (в том смысле, что для каждого $B \in \mathcal{B}$ либо $\mathbb {P}\left(B\right) = 0$, либо $\mathbb {P}\left(B\right) = 1$), и пусть $X$ -- $\mathcal{B}$-измеримая (интегрируемая) с.в. Тогда покажите, что $X = \mathbb {E}\left[X\right]$ п.н.

Со ссылкой на пример 2, покажите, что для каждого $t = 0,1, \ldots$ действительно существует $\binom {n+t-1}{t} \mathbf{x}_{i} = \left(x_{i 1}, \ldots , x_{i n}\right)$, где каждое $x_{i 1}, \ldots , x_{i n}$ принимает значения от 0 до $t$, и $x_{i 1}+\cdots +x_{i n} = t, i = 1, \ldots ,\binom {n+t-1}{t}$.