Функции распределения и их основные свойства, результаты типа Хелли–Брея

Пусть $F: \mathbb {R} \rightarrow [0,1]$ — неубывающая, непрерывная справа функция, $F(-\infty ) = 0$ и $F(\infty ) = 1$ (т.е. ф.р. случайной величины), и пусть $F^{-1}$ определена по формуле

Далее, рассмотрим вероятностное пространство $(\Omega , \mathcal{A}, P) = \left([0,1], \mathcal{B}_{[0,1]}, P\right)$, где $P = \lambda$ — мера Лебега, и на $\Omega$ определим функцию $X$ по формуле $X(\omega ) = F^{-1}(\omega )$. Тогда покажите, что $X$ является случайной величиной и что её ф.р. есть $F$.

Пусть $F_{n}, n \geq 1$, — ф.р. случайных величин, и предположим, что $F_{n} \underset {n \rightarrow \infty }{\Rightarrow } F$, где $F$ — ф.р. с $\operatorname {Var}\left[F\right] = 1$. Тогда покажите, что $F$ является ф.р. некоторой случайной величины.

Покажите, что теорема о слабой компактности (теорема 5) по-прежнему верна, если условие 1 в определении 1 заменить на: $(0 \leq ) F(x) \leq B, x \in \mathbb {R}, n \geq 1$, для некоторого $B < \infty$.

Покажите, что теоремы $6-8$ остаются верными, если для всех $x \in \mathbb {R}, 0 \leq F(x) \leq B$ и $0 \leq F_{n}(x) \leq B, n = 1,2, \ldots$, для некоторого $B > 0$, как указано в замечании 6.

Для $n = 1,2, \ldots$ рассмотрим с.в. $X_{n}, X$ и $Y$ такие, что $\left|X_{n}\right| \leq Y, \mathbb {E}\left[Y^{r}\right] < \infty$ (для некоторого $r > 0$), и $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{d} X$. Тогда покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|^{r}\right] \underset {n \rightarrow \infty }{\longrightarrow } \mathbb {E}\left[\left|X\right|^{r}\right]$.

Пусть $X$ -- с.в. с ф.р. $F$; т.е. $F(x) = \mathbb {P}\left(X \leq x\right), x \in \mathbb {R}$. Тогда покажите, что

В следующем выражении определите константы $\alpha$ и $\beta$ так, чтобы заданная функция $F$ была ф.р. некоторой с.в.

Для $n = 1,2, \ldots$ пусть $F_{n}$ и $F$ -- ф.р. такие, что $F_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{c} F$, и пусть $F$ непрерывна. Тогда покажите, что $F_{n}(x) \underset {n \rightarrow \infty }{\longrightarrow } F(x)$ равномерно по $x \in \mathbb {R}$.

Пусть $X$ -- с.в. с непрерывной ф.р. $F_{X}$, и определим с.в. $Y$ следующим образом: $Y = X$, если $X \leq C$, и $Y = C$, если $X > C$, где $C$ -- константа. Тогда

На простом примере покажите, что возможна ситуация, когда $F_{n}, n \geq 1$, -- ф.р. с.в. с $F_{n} \underset {n \rightarrow \infty }{\Rightarrow } F$, где $F$ -- ф.р., но не ф.р. никакой с.в.

Для $n \geq 1$ пусть $X_{n}$ и $X$ -- с.в., определённые на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, и предположим, что при $n \rightarrow \infty , \mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\left|X\right|\right] < \infty$ и $X_{n} \xrightarrow {d} X$. Тогда покажите, что $\left|X_{n}\right|, n \geq 1$, равномерно интегрируемы.

Для $n \geq 1$ пусть $F_{n}$ и $F$ -- ф.р. с.в., пусть $f_{n}$ -- вещественнозначные измеримые функции, определённые на $\mathbb {R}$, пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, и пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty )$ непрерывна. Предположим, что: