Теорема Хана–Жордана о разложении, теорема Лебега о разложении и теорема Радона–Никодима

Проверьте соотношение $A_{n_{0}} = A+\sum_{j = n_{0}}^{\infty }\left(A_{j}-A_{j+1}\right)$, использованное в доказательстве леммы 1; а именно, если $\left\{ A_{n}\right\} , n \geq 1$, образуют невозрастающую последовательность и $A = \bigcap_{n = 1}^{\infty } A_{n}$, то для любого $n_{0} \geq 1$ данное соотношение выполняется. В частности, $A_{1} = \sum_{n = 1}^{\infty }\left(A_{n}-A_{n+1}\right)$, если $\bigcap_{n = 1}^{\infty } A_{n} = \oslash$.

Даны конечные меры $\mu_{n}, n = 1,2, \ldots$, на измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{A})$, определите вероятностную меру $\mu$ такую, что $\mu_{n} \ll \mu$ для всех $n$ (т.е. $\mu (A) = 0$ для $A \in \mathcal{A}$ влечёт $\mu_{n}(A) = 0, n \geq 1$).

Пусть $U(\alpha , \beta )$ — равномерное распределение на интервале $[\alpha , \beta ](\alpha < \beta )$, и для $n \geq 1$, пусть $P_{n}$ и $Q_{n}$ — (вероятностные) меры, соответствующие $U\left(-\frac{1}{n}, 1\right)$ и $U\left(0,1+\frac{1}{n}\right)$. Тогда покажите, что $\left\| P_{n}-Q_{n}\right\| \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, используя часть (ii) упражнения 3.

Пусть $P$ и $Q$ — две вероятностные меры, определённые на измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{A})$, и предположим, что $P \approx Q$ (т.е. $P \ll Q$ и $Q \ll P$). Пусть $f = d P / d \mu$ и $g = d Q / d \mu$ для некоторой $\sigma$-конечной меры $\mu$, доминирующей и $P$, и $Q$ (например, $\mu = P+Q)$, и пусть $Z = \log (g / f)$, где, как всегда, $\log$ обозначает натуральный логарифм. Тогда (со ссылкой на упражнение 3), покажите, что

Пусть $P, Q$ и $f, g$ такие же, как в упражнении 3, и, без ограничения общности, предположим, что доминирующая мера $\mu$ является вероятностной мерой (например, $\mu = (P+Q) / 2$). Определим $\rho$ по формуле $\rho = \int_{\Omega }(f g)^{1 / 2} d \mu$, и покажите, что:

Для $n \geq 1$, пусть $f_{n}$ — вещественнозначные измеримые функции, определённые на открытом множестве $E \subset \mathbb {R}$, содержащем 0, и предположим, что $\left|f_{n}(x)\right| \leq M( < \infty )$ для всех $n$ и всех $x \in E$, и что $f_{n}(x) \underset {n \rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0$ для $x \in E$. Тогда покажите, что для любой последовательности $x_{n} \underset {n \rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0$, существует подпоследовательность $\left\{ x_{m}\right\} \subseteq \left\{ x_{n}\right\}$ и $\lambda$-нулевое подмножество $N$ множества $E$ (которое может зависеть от $\left\{ x_{n}\right\}$) такие, что $f_{m}\left(x+x_{m}\right) \underset {m \rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0, x \in E-N$; здесь $\lambda$ — мера Лебега.

Для $n \geq 1$, пусть $f_{n}$ — вещественнозначные измеримые функции, определённые на $\mathbb {R}$, и предположим, что $\left|f_{n}(x)\right| \leq M( < \infty )$ для всех $n$ и $x \in \mathbb {R}$, и что $\lim_{n \rightarrow \infty } f_{n}^{-}(x) = 0$ для $x \in \mathbb {R}$. Тогда для любой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ с $x_{n} \underset {n \rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0$ выполняется $\limsup_{n \rightarrow \infty } f_{n}\left(x+x_{n}\right) \geq 0$ п.в. $[\lambda ]$, где $\lambda$ — мера Лебега.