Стандартные моментные и вероятностные неравенства, сходимость в среднем порядка r и её следствия

Установите следующую обобщённую версию теоремы 2 (неравенство Гёльдера). А именно, покажите, что для любых $n( \geq 2)$ случайных величин $X_{1}, \ldots , X_{n}$ и любых положительных чисел $r_{1}, \ldots , r_{n}$ с $\frac{1}{r_{1}}+\cdots +\frac{1}{r_{n}} = 1$, выполняется

Пусть $g: I$ открытый интервал в $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ выпукла; т.е. для каждых $x, x^{\prime } \in I$ и каждого $\alpha \in [0,1]$ выполняется $g\left(\alpha x+(1-\alpha ) x^{\prime }\right) \leq \alpha g(x)+(1-\alpha ) g\left(x^{\prime }\right)$. Тогда покажите, что

Установите следующую обобщённую версию теоремы 3 (неравенство Минковского). А именно, покажите, что для любых $n( \geq 2)$ случайных величин $X_{1}, \ldots , X_{n}$ и любого $r \geq 1$ выполняется

Если $\sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\left|X_{n}-X\right|^{r}\right] < \infty$ для некоторого $r > 0$, то $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\text{ п.н. }} X$.

Если $X_{n} \xrightarrow [ \rightarrow \infty ]{\text{ п.н. }} X$, и $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{(r)} Y$ для некоторого $r > 0$, то отсюда следует, что $\mathbb {P}\left(X \neq Y\right) = 0$.

Постройте случайные величины $X_{n}, n \geq 1$, и $X$ на некотором вероятностном пространстве ($\Omega , \mathcal{A}, P$) такие, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} 0$, но $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{(r)} \nrightarrow 0$ ни при каком $r \geq 1$.

Постройте случайные величины $X_{n}, n \geq 1$, и $X$ на некотором вероятностном пространстве ($\Omega , \mathcal{A}, P$) такие, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\text{ п.н. }} \nrightarrow X$, но $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{(r)} X$ ни при каком $r > 0$.

Пусть $X_{n}, n = 1,2, \ldots$, — случайные величины такие, что $\mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|^{\beta }\right] \leq M( < \infty ), n \geq 1$, для некоторого $\beta > 0$. Тогда покажите, что $\left|X_{n}\right|^{\alpha }, n \geq 1$, равномерно интегрируемы для всех $\alpha$ с $0 < \alpha < \beta$.

Для $n = 1,2, \ldots$, пусть $X_{n}$ — случайные величины такие, что $\mathbb {P}\left(X_{n} = c n\right) = \frac{1}{n}$ и $\mathbb {P}\left(X_{n} = 0\right) = 1-\frac{1}{n}$, для некоторого $c > 0$. Исследуйте, являются ли эти случайные величины равномерно интегрируемыми.

Если $\mathbb {E}\left[\left|X\right|\right] < \infty$, покажите, что $\int \left|X\right|$ абсолютно непрерывен; то есть $\int_{A}\left|X\right| \rightarrow 0$ при $\mathbb {P}\left(A\right) \rightarrow 0$.

Для $n = 1,2, \ldots$, пусть $X_{n}, Y_{n}$ и $X, Y$ — случайные величины такие, что $\mathbb {P}\left(X_{n} \geq Y_{n} \geq 0\right) = 1$, $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} X, Y_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} Y$, и $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } \mathbb {E}\left[X\right]$ конечно. Тогда покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|Y_{n}-Y\right|\right] \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } 0$.

Для произвольной случайной величины $X$, определённой на измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$, покажите непосредственно, что выполняется неравенство Маркова; а именно, $\mu (\left|X\right| \geq c) \leq c^{-r} \int \left|X\right|^{r} d \mu$ для любого $r > 0$ и любого $c > 0$.

Для случайной величины $X$ и некоторого $r > 0$ покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|X\right|^{r}\right] < \infty$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {E}\left[\left|X-c\right|^{r}\right] < \infty$ для каждой (конечной) константы $c$.

Для случайной величины $X$ с $\mathbb {E}\left[X\right] = \mu \in \mathbb {R}$ и $\operatorname {Var}\left[X\right] = \sigma^{2} = 0$, покажите, что $\mathbb {P}\left(X = \mu \right) = 1$.

Для $n = 1,2, \ldots$, рассмотрим случайные величины $X_{n}$ и $X$ и покажите, что

Для $n = 1,2, \ldots$, предположим, что $X_{n}$ и $X$ — случайные величины, определённые на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, и предположим, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} X$ и $\left\{ X_{n}\right\}$ равномерно интегрируемы. Тогда покажите, что $\int_{A} X_{n} d P \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } \int_{A} X d P$ равномерно по $A \in \mathcal{A}$.

Если для $n = 1,2, \ldots$, случайные величины $\left\{ X_{n}\right\}$ и $\left\{ Y_{n}\right\}$ равномерно интегрируемы, покажите, что $\left\{ X_{n}+Y_{n}\right\}$ также равномерно интегрируемы.

Для $n = 1,2, \ldots$, пусть $X_{n}$ одинаково распределены с $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] \in \mathbb {R}$. Тогда покажите, что $\left\{ \bar{X}_{n}\right\}$ равномерно интегрируемы, где $\bar{X}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j}$ — выборочное среднее $X_{1}, \ldots , X_{n}$.

Пусть $Y = \sup_{n \geq 1}\left|X_{n}\right|$ с $\mathbb {E}\left[Y^{r}\right] < \infty$ (для некоторого $r > 0$) и $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\stackrel{\text{ п.н. }}{\rightarrow }} X$. Тогда покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|X\right|^{r}\right] < \infty$ и $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{(r)} X$.

Для $n = 1,2, \ldots$, пусть $X_{n}$ — случайные величины такие, что $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] = \mu_{n} \in \mathbb {R}$ и $\operatorname {Var}\left[X_{n}\right] = \sigma_{n}^{2} \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } 0$. Тогда покажите, что $X_{n}-\mu_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} 0$.

Пусть случайные величины $X_{n}, n \geq 1$, определены следующим образом: $X_{n}(\omega ) = 2^{n}$, если $\omega \in \left(0, \frac{1}{n}\right)$, и $X_{n}(\omega ) = 0$ в остальных случаях, где $(\Omega , \mathcal{A}, P) = \left((0,1], \mathcal{B}_{(0,1]}, \lambda \right)$ и $\lambda$ — мера Лебега. Тогда покажите, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\rightarrow } 0$ поточечно, но $\mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|^{r}\right] \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow }$ ни к какому конечному числу ни при каком $r > 0$; на самом деле, $\mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|^{r}\right] \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } \infty$ при любом $r > 0$.

Для $n = 1,2, \ldots$, пусть случайная величина $X_{n}$ определена по формуле

Тогда покажите, что

Пусть $\mathbb {E}\left[X_{n}^{2}\right] < \infty$ для всех $n$. Тогда, если $\mathbb {E}\left[\left|X_{n}-X\right|^{2}\right] \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } 0$, покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|X_{n}^{2}-X^{2}\right|\right] \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } 0$.

Для $n = 1,2, \ldots$, пусть $X_{n}, Y_{n}$ и $X, Y$ — случайные величины, определённые на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, и предположим, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{(r)} X, Y_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{(s)} Y$, где $r, s > 1$ с $\frac{1}{r}+ \frac{1}{s} = 1$. Тогда покажите, что $X_{n} Y_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{(1)} X Y$.

Пусть $(\Omega , \mathcal{A}, P) = \left((0,1), \mathcal{B}_{(0,1)}, \lambda \right)$, где $\lambda$ — мера Лебега, и пусть случайная величина $X_{n}$ определена по формуле

Тогда покажите, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\stackrel{(r)}{\rightarrow }} 0$ при любом $r > 0$, и $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\stackrel{\text{ п.н. }}{\rightarrow }} 0$; более того, $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\longrightarrow } 0$ поточечно. (Сравните с упражнением 7.)

Если $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{(r)} X$, покажите, что существует подпоследовательность $\left\{ X_{n_{k}}\right\} \subseteq \left\{ X_{n}\right\}$ такая, что $X_{n_{k}} \xrightarrow {\xrightarrow {\text{ п.н. }}} X$.

Для $n = 1,2, \ldots$, пусть случайная величина $X_{n}$ определена по формуле

Тогда покажите, что

Для $n = 1,2, \ldots$, пусть случайная величина $X_{n}$ определена по формуле

Для $n \geq 1$, пусть $X_{n}$ — случайные величины с $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] = \mu_{n}, \sigma^{2}\left(X_{n}\right) = \sigma_{n}^{2}$, и предположим, что при $n \rightarrow \infty , \mu_{n} \rightarrow \mu \in \mathbb {R}$, и $\sigma_{n}^{2} \rightarrow 0$. Тогда покажите, что $\mathbb {E}\left[X_{n}-\mu^{2}\right] \rightarrow 0$ и $X_{n} \xrightarrow {P} \mu$.

Для $n \geq 1$, пусть $X_{n}$ и $Y_{n}$ — случайные величины, определённые на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, и предположим, что $\left|X_{n}\right|$ и $\left|Y_{n}\right|, n \geq 1$, равномерно интегрируемы и $X_{n}-Y_{n} \xrightarrow {P} 0$ при $n \rightarrow \infty$. Тогда покажите, что:

Рассмотрим вероятностное пространство $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, и пусть $\Theta$ — открытое подмножество $\mathbb {R}$. Пусть $g(\cdot ; \cdot ): \Omega \times \Theta \rightarrow \mathbb {R}$ — $\left(\mathcal{A} \times \mathcal{B}_{\Theta }\right)$-измерима, где $\mathcal{B}_{\Theta }$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств $\Theta$. Мы говорим, что $g(\cdot ; \theta )$ дифференцируема в среднем квадратичном в точке $\theta$, если существует $\left(\mathcal{A} \times \mathcal{B}_{\Theta }\right)$-измеримая функция $\dot{g}(\cdot ; \theta )$ (производная в среднем квадратичном функции $g(\cdot ; \theta )$ в точке $\theta$) такая, что

Теперь пусть $p(x ; \theta ) = \frac{1}{2} e^{-\left|x-\theta \right|}, x \in \mathbb {R}(\theta \in \mathbb {R})$ — плотность двустороннего показательного распределения, и для $\theta , \theta^{*} \in \mathbb {R}$ положим

Все случайные величины, встречающиеся ниже, определены на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$.