Стандартные теоремы о сходимости, теорема Фубини

Если с.в. $X$ интегрируема, то покажите, что: $n \mathbb {P}\left(\left|X\right| \geq n\right) \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } 0$. С помощью контрпримера покажите, что обратное не обязательно верно.

Пусть $X$ — интегрируемая с.в. Тогда для каждого $\varepsilon > 0$ существует простая с.в. $X_{\varepsilon }$ такая, что $\int \left|X-X_{\varepsilon }\right| < \varepsilon$.

Установите следующую обобщённую версию части (iii) теоремы 2 (теорема Фату–Лебега). А именно, для $n = 1,2, \ldots$ пусть $X_{n}, U_{n}, V_{n}$ и $X, U, V$ — с.в. такие, что $U_{n} \leq X_{n} \leq V_{n}$ п.в., $n \geq 1$, и при $n \rightarrow \infty , X_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} X, U_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} U, V_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} V$, $\int U_{n} \rightarrow \int U$ конечен, и $\int V_{n} \rightarrow \int V$ конечен. Тогда $\int X_{n}{ }_{n \rightarrow \infty } \int X$ конечен.

Ссылаясь на упражнение 4, оставьте постановку и предположения без изменений, за исключением того, что предположения $X_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} X$ и $U_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} U$ заменены на $X_{n} \xrightarrow {\mu } X$ и $U_{n} \xrightarrow {\mu } U$ при $n \rightarrow \infty$. Тогда выводы (i)–(iii) выполняются.

Пусть $\mu$ — $\sigma$-конечная мера, и пусть $\varphi$ — неотрицательная $\sigma$-аддитивная и конечная функция, обе определённые на измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{A})$. Тогда покажите, что $\varphi \ll \mu$ эквивалентно следующему: для каждого $\varepsilon > 0$ существует $\delta = \delta (\varepsilon ) > 0$ такое, что $\mu (A) < \delta$ влечёт $\varphi (A) < \epsilon$.

Все множества, фигурирующие ниже, являются подмножествами произведения пространств $\Omega_{1} \times \Omega_{2}$. Тогда покажите, что

Рассмотрите ($\sigma$-конечное) измеримое пространство $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$, и пусть $\left\{ A_{i}, i = 1,2, \ldots \right\}$ — (измеримое) разбиение $\Omega$. Для каждого $i$ определим меру (см. упражнение 8) $\mu_{i}$ как: $\mu_{i}(A) = \mu \left(A \cap A_{i}\right)$. Тогда, если $X$ — с.в., определённая на $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$, для которой интеграл $\int X d \mu$ существует, покажите, что интегралы $\int X d \mu_{i}, i \geq 1$, также существуют, и $\sum_{i = 1}^{\infty } \int X d \mu_{i} = \int X d \mu$.

Если $X$ — простая с.в. (не обязательно неотрицательная), определённая на (произведении) пространстве $\left(\Omega_{1} \times \Omega_{2}, \mathcal{A}_{1} \times \mathcal{A}_{2}, \lambda = \mu_{1} \times \mu_{2}\right)$ с $\sigma$-конечными $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$, для которой $\int X d \lambda$ существует, то покажите непосредственно (т.е. без обращения к теореме 12 и замечанию 10), что $\iint X\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) d \mu_{1} d \mu_{2} = \iint X\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) d \mu_{2} d \mu_{1} = \iint X\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) d \lambda = \int X d \lambda$.

Пусть $X$ — с.в., определённая на пространстве произведения $\left(\Omega_{1} \times \Omega_{2}, \mathcal{A}_{1} \times \mathcal{A}_{2}, \lambda = \mu_{1} \times \mu_{2}\right)$, и предположим, что $\int X d \lambda$ существует. Тогда покажите, что теорема Фубини выполняется.

Если с.в. $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимы и одинаково распределены, с $\mathbb {E}\left[X_{1}\right] = \mu \in \mathbb {R}$ и $\operatorname {Var}\left[X_{1}\right] = \sigma^{2} \in (0, \infty )$, то по ЦПТ $\frac{\sqrt{n}\left(\bar{X}_{n}-\mu \right)}{\sigma } \underset {n \rightarrow \infty }{\xrightarrow {d}} Z \sim N(0,1)$, где $\bar{X}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j}$ — выборочное среднее $X_{j}$. Покажите, что ЦПТ влечёт закон больших чисел в слабой форме (ЗБЧ); т.е. $\bar{X}_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} \mu$.

Пусть $(\Omega , \mathcal{A}, \mu ) = \left((0,1], \mathcal{B}_{(0,1]}, \lambda \right)$, где $\lambda$ — мера Лебега, и рассмотрим функцию $f:(0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, определённую как

Тогда исследуйте, существует ли интеграл $\int_{(0,1]} f d \lambda$. Также вычислите его, если он существует, а также $\int_{(0,1]}\left|f\right| d \lambda$.

Для $n = 1,2, \ldots$ рассмотрим с.в. $X_{1}, X_{2}, \ldots$ и $X$, и покажите, что

Возьмём $(\Omega , \mathcal{A}, \mathcal{P}) = \left((0,1), \mathcal{B}_{(0,1)}, \lambda \right), \lambda$ — мера Лебега, и, для $n = 0,1, \ldots$, определим с.в. $X_{n}$ как:

Тогда, при $n \rightarrow \infty$, покажите, что:

(как и должно быть, по теореме 2, поскольку $0 \leq X_{n} \leq 1$ для всех $n$, и границы интегрируемы).

Ссылаясь на упражнение 12 в главе 4, определим с.в. $X$ как $X(\omega ) = \frac{1}{2^{\omega }}$ и покажите, что $\int_{\Omega } X d \mu = 2$.

Для $n \geq 1$ пусть $h_{n}, g_{n}, G_{n}$ и $h, g, G$ — вещественнозначные измеримые функции, определённые на $\left(\mathbb {R}^{k}, \mathcal{B}^{k}, \lambda^{k}\right)$, где $\lambda^{k}$ — мера Лебега на $\mathcal{B}^{k}$, такие что:

Для $n \geq 1$ пусть $X_{n}, Y_{n}$ и $X$ — случайные величины, определённые на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, и предположим, что $X_{n} \xrightarrow {d} X$ при $n \rightarrow \infty$. Тогда, при $n \rightarrow \infty$ :

В качестве варианта упражнения 6, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть $(\Omega , \mathcal{A}, P)$ — вероятностное пространство и пусть $X$ — интегрируемая случайная величина. На $\mathcal{A}$ определим (конечную) меру $\nu$ по формуле $\nu (A) = \int_{A} X d P$. Тогда покажите, что $v \ll P$ тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon > 0$ существует $\delta = \delta (\varepsilon )( > 0)$ такое, что $\mathbb {P}\left(A\right) < \delta$ влечёт $\nu (A) < \varepsilon$.

Пусть $X$ — неотрицательная интегрируемая случайная величина. Тогда: