Интеграл случайной величины и его основные свойства

Постройте пример, в котором с.в. $X_{n}$ и $X$, определённые на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, таковы, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\rightarrow } X$ поточечно (следовательно, $X_{n} \underset {n \rightarrow \infty }{\text{ п.н. }} X$ и $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} X$), но $\mathbb {E}\left[X_{n}^{\rightarrow }\right] \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } \mathbb {E}\left[X\right]$.

Если с.в. $X \geq 0$ и $\int X d \mu = 0$, то покажите, что $\mu (X \neq 0) = 0$.

Если с.в. $X$ принимает значения $n, n = 1,2, \ldots$, с вероятностью 1, так что $\sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(X = n\right) = 1$, покажите, что $\mathbb {E}\left[X\right] = \sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(X \geq n\right)$.

Если для попарно непересекающихся событий $A_{i}, i = 1, \ldots , n$, интеграл $\int_{\sum_{i = 1}^{n} A_{i}} X$ существует, то интегралы $\int_{A_{i}} X, i = 1, \ldots , n$, существуют, и $\int_{\sum_{i = 1}^{n} A_{i}} X = \sum_{i = 1}^{n} \int_{A_{i}} X$.

Пусть $X$ и $Y$ — две простые с.в. такие, что $\int X = \int Y = \infty$ или $\int X = \int Y = -\infty$. Тогда покажите, что $\int (X+Y)$ существует и $\int (X+Y) = \int X+\int Y( = \infty$ или $-\infty )$.

Пусть $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ — две меры на $(\Omega , \mathcal{A})$, и предположим, что $\int X d\left(\mu_{1}+\mu_{2}\right)$ существует. Тогда $\int X d \mu_{i}$ существуют, $i = 1,2$, и $\int X d\left(\mu_{1}+\mu_{2}\right) = \int X d \mu_{1}+\int X d \mu_{2}$.

Если с.в. $X_{i}, i = 1, \ldots , n$, интегрируемы, то с.в. $\sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ тоже интегрируема, и $\int \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = \sum_{i = 1}^{n} \int X_{i}$.

Пусть $X$ и $Y$ — с.в. с конечными вторыми моментами, и положим $\mathbb {E}\left[X\right] = \mu_{1}, \mathbb {E}\left[Y\right] = \mu_{2}, 0 < \operatorname {Var}\left[X\right] = \sigma_{1}^{2}, 0 < \operatorname {Var}\left[Y\right] = \sigma_{2}^{2}$. Тогда ковариация и коэффициент корреляции $X$ и $Y$, обозначаемые соответственно $\operatorname {Cov}\left[ X, Y \right]$ и $\rho (X, Y)$, определяются как: $\operatorname {Cov}\left[ X, Y \right] = \mathbb {E}\left[\left(X-\mu_{1}\right)\left(Y-\mu_{2}\right)\right] = \mathbb {E}\left[X Y\right]-\mu_{1} \mu_{2}$ и $\rho (X, Y) = \operatorname {Cov}\left[ X, Y \right] / \sigma_{1} \sigma_{2}$.

Пусть $\Omega = \left\{ -2,-1,3,7\right\}$, и пусть мера $\mu$ определена как: $\mu (\left\{ -2\right\} ) = 2$, $\mu (\left\{ -1\right\} ) = 1, \mu (\left\{ 3\right\} ) = 3, \mu (\left\{ 7\right\} ) = 7$. Пусть $X$ — с.в., определённая как: $X(-2) = X(-1) = -1$, и $X(3) = X(7) = 1$. Тогда для $A = \left\{ -2,3,7\right\}$ вычислите интеграл $\int_{A} X d \mu$.

Пусть $(\Omega , \mathcal{A}, \mu ) = \left((-5,5), \mathcal{B}_{(-5,5)}, \lambda \right)$, где $\lambda$ — мера Лебега, и пусть с.в. $X$ определена следующим образом:

Тогда для $A = [-1,4]$ вычислите интеграл $\int_{A} X d \mu$.

Пусть $\Omega = \left\{ 0,1,2, \ldots \right\}$, пусть $\mathcal{A}$ — дискретная $\sigma$-алгебра подмножеств $\Omega$, и на $\mathcal{A}$ определим функцию $\mu$ как: $\mu (A) =$ число неотрицательных целых чисел в $A$. Тогда покажите, что $\mu$ является мерой, причём $\sigma$-конечной мерой.

Пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow (0, \infty )$ — неубывающая на $(0, \infty )$ и симметричная относительно 0 $(g(-x) = g(x), \quad x \in \mathbb {R})$, и пусть $X$ — с.в. такая, что $\mathbb {E}\left[g(X)\right] < \infty$. Тогда покажите, что: $\mathbb {P}\left(\left|X\right| \geq c\right) \leq \mathbb {E}\left[g(X)\right] / g(c)$ для каждого $c > 0$.

Для с.в. $X$ покажите, что

Пусть $X$ — простая с.в., определённая на $(\Omega , \mathcal{A})$, так что (см. определение 13 в главе 1) $X = \sum_{j = 1}^{n} \alpha_{j} I_{A_{j}}$, где $\left\{ A_{j}, j = 1, \ldots , n\right\}$ — (измеримое) разбиение $\Omega$, а $\alpha_{j}, j = 1, \ldots , n$, предполагаются различными. Далее, пусть $X = \sum_{i = 1}^{m} \beta_{i} I_{B_{i}}$ — любое другое представление $X$. Тогда покажите, что каждое $A_{j}, j = 1, \ldots , n$, является суммой некоторых $B_{i}$.

Замечание 6. При предположении, что $\alpha_{j}, j = 1, \ldots , n$, различны, разбиение $\left\{ A_{j}, j = 1, \ldots , n\right\}$ можно назвать неприводимым. Для такого разбиения существует единственное представление соответствующей простой с.в., и, следовательно, теорема 1 становится излишней.

Если $X$ и $Y$ — две одинаково распределённые интегрируемые с.в., то

для любой постоянной $c$.