Некоторые виды сходимости последовательностей случайных величин и связи между ними

Если $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\mu } X$, то покажите непосредственно (то есть без обращения к другим результатам), что: $\left(X_{n}-X\right)^{+} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\mu } 0,\left(X_{n}-X\right)^{-} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\mu } 0, X_{n}^{+} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\mu } X^{+}$ и $X_{n}^{-} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\mu } X^{-}$.

С помощью примеров покажите, что:

Для любой последовательности событий $\left\{ A_{n}\right\} , n \geq 1$, покажите, что $\sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(A_{n}\right) < \infty$ влечёт $\mathbb {P}\left(\limsup_{n \rightarrow \infty } A_{n}\right) = 0$.

Говорят, что последовательность $\left\{ X_{n}\right\} , n \geq 1$, с.в. сходится вполне к 0, если для каждого $\varepsilon > 0, \sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\left|X_{n}\right| \geq \varepsilon \right) < \infty$.

Покажите, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} X$ тогда и только тогда, когда для каждой $\left\{ n^{\prime }\right\} \subseteq \left\{ n\right\}$ существует дальнейшая подпоследовательность $\left\{ n^{\prime \prime }\right\} \subseteq \left\{ n^{\prime }\right\}$ такая, что $X_{n^{\prime \prime }} \xrightarrow [n^{\prime \prime } \rightarrow \infty ]{\text{a.s.}} X$, причём любые две предельные с.в. п.н. равны.

С помощью примера покажите, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\text{ a.s. }} c \neq 0$ не обязательно влечёт, что $\mathbb {P}\left(X_{n} \neq 0\right) = 1$ для всех $n$.

Если для некоторых $\varepsilon_{n} > 0$ с $\sum_{n = 1}^{\infty } \varepsilon_{n} < \infty$ выполняется $\sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\left|X_{n+1}-X_{n}\right| \geq \varepsilon_{n}\right) < \infty$, то покажите, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\text{ a.s. }}$ к некоторой с.в.

Для $n = 1,2, \ldots$, пусть $X_{n}$ и $X$ — (вещественнозначные) с.в., и пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Тогда покажите, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} X$ влечёт $g\left(X_{n}\right) \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} g(X)$ (так что непрерывность сохраняет сходимость по вероятности).

Для $n = 1,2, \ldots$, пусть $X_{n}, Y_{n}, X$ и $Y$ — (вещественнозначные) с.в., и пусть $g: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Тогда покажите, что из $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} X$ и $Y_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} Y$ следует $g\left(X_{n}, Y_{n}\right) \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} g(X, Y)$ (так что непрерывность сохраняет сходимость по вероятности).

Покажите, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\text{ a.s. }} X$ тогда и только тогда, когда существует такая последовательность $0 < \varepsilon_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\rightarrow } 0$, что

(Теорема Егорова). Покажите, что если $\mu$ конечна, то $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\text{ a.e. }} X$ влечёт $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\text{ a.u. }} X$.

Покажите, что дополнение $A^{c}$ множества $A$ (поточечной) сходимости последовательности с.в. $\left\{ X_{n}\right\} , n \geq 1$, выражается следующим образом: $A^{c} = \cup_{r, s}\left\{ \omega \in \Omega \right.$; $\lim_{n \rightarrow \infty } \inf^{n} \left.X_{n}(\omega ) \leq r < s \leq \limsup_{n \rightarrow \infty } X_{n}(\omega )\right\}$, где объединение берётся по всем рациональным $r$ и $s$ с $r < s$.

Для $n = 1,2, \ldots$, пусть $X_{n}, X$ — с.в., определённые на измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{A})$, и предположим, что $X_{n} \underset {n \rightarrow \infty }{\longrightarrow } X$ (поточечно). Тогда покажите, что

Для последовательности с.в. $\left\{ X_{n}\right\} , n \geq 1$, покажите, что множество $A = \left\{ \omega \in \Omega ; \sum_{n = 1}^{\infty } X_{n}(\omega ) \text{ сходится}\right\}$ принадлежит $\sigma \left(X_{m}, X_{m+1}, \ldots \right)$ для каждого $m \geq 1$.

Пусть $X_{n}, n \geq 1$ — с.в., определённые на измеримом пространстве ($\Omega , \mathcal{A}, P$), и предположим, что $\sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\left|X_{n}\right| > n\right) < \infty$. Тогда покажите, что $\varlimsup_{n \rightarrow \infty } \frac{\left|X_{n}\right|}{n} \leq 1$ п.н.

Для $n = 1,2, \ldots$ пусть $\mathbf{Z}_{n} = \left(Z_{n 1}, \ldots , Z_{n k}\right)$ и $\mathbf{Z} = \left(Z_{1}, \ldots , Z_{k}\right)$ — $k$-мерные с.в. Тогда говорим, что $\mathbf{Z}_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} \mathbf{Z}$, если $\left\| \mathbf{Z}_{n}-\mathbf{Z}\right\| \underset {n \rightarrow \infty }{P} 0$, или $\left[\sum_{j = 1}^{k}\left(Z_{n j}-Z_{j}\right)^{2}\right] \underset {n \rightarrow \infty }{\xrightarrow {P}} 0$. Тогда покажите, что $\mathbf{Z}_{n} \underset {n \rightarrow \infty }{P} \mathbf{Z}$ тогда и только тогда, когда $Z_{n j} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} Z_{j}, j = 1, \ldots , k$.

Если $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} X$ и $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, то $g\left(X_{n}\right) \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} g(X)$ (см. упражнение 8). Покажите, что это не обязательно верно, если $g$ не является непрерывной.

Если $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\mu } X$ и $\left|X_{n}\right| \leq Y$ п.в. $n \geq 1$, то покажите, что $\left|X\right| \leq Y$ п.в. относительно меры $\mu$.

Обратитесь к упражнению 13 и продолжите следующим образом: для $n = 1,2, \ldots$ пусть $X_{n}, X$ — с.в., определённые на измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$, и предположим, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\text{ п.в. }} X$. Тогда с помощью конкретных примеров покажите, что:

Покажите, что сходимость $X_{m}-X_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} 0$ при $m, n \rightarrow \infty$ эквивалентна сходимости $X_{n+v}-X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\text{ п.в. }} 0$ равномерно по $v \geq 1$.

Покажите, что для каждого $\varepsilon > 0: \mu \left(\left|X_{m}-X_{n}\right| \geq \varepsilon \right) \rightarrow 0$ при $m, n \rightarrow \infty$ тогда и только тогда, когда $\mu \left(\left|X_{n+v}-X_{n}\right| \geq \varepsilon \right) \underset {n \rightarrow 0}{\longrightarrow } 0$ равномерно по $v \geq 1$.