Банк задач по математике

Задача 2.1

Если $\Omega$ счётно, и $\mu$ определена на $\mathcal{P}(\Omega )$ как: $\mu (A) =$ число точек $A$ , покажите, что $\mu$ является мерой. Более того, $\mu$ конечна или $\sigma$ -конечна в зависимости от того, конечно или счётно бесконечно $\Omega$ соответственно. (Эта мера называется считающей мерой.)

?

Задача 2.2

(i)(ii)(iii)

Обратимся к полю $\mathcal{C}$ из примера 4 в главе 1, и на $\mathcal{C}$ определим функцию множества $P$ следующим образом: $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$ , если $A$ конечно, и $\mathbb {P}\left(A\right) = 1$ , если $A^{c}$ конечно. Тогда покажите, что

?

(i)

$P$ конечно аддитивна.

(ii)

Если $\Omega$ счётно бесконечно, $P$ не является $\sigma$ -аддитивной.

(iii)

Если $\Omega$ несчётно, $P$ является $\sigma$ -аддитивной и вероятностной мерой.

Задача 2.3

Обратимся к $\sigma$ -полю $\mathcal{C}$ из примера 8 в главе 1, и на $\mathcal{C}$ определим функцию $P$ следующим образом: $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$ , если $A$ счётно, и $\mathbb {P}\left(A\right) = 1$ , если $A^{c}$ счётно. Тогда покажите, что $P$ является вероятностной мерой.

?

Задача 2.4

Пусть $A_{n}, n = 1,2, \ldots$ — события в вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$ , такие что $\mathbb {P}\left(A_{n}\right) = 1$ для всех $n$ . Тогда покажите, что $\mathbb {P}\left(\cap_{n = 1}^{\infty } A_{n}\right) = 1$ .

?

Задача 2.5

Пусть $\left\{ A_{i}, i \in I\right\}$ — несчётная совокупность попарно непересекающихся событий в вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$ . Тогда покажите, что $\mathbb {P}\left(A_{i}\right) > 0$ лишь для счётного числа $A_{i}$ .

?

Задача 2.6

Пусть $\Omega$ — бесконечное множество (счётное или нет), и пусть $\mathcal{A}$ — дискретное $\sigma$ -поле. Пусть $\left\{ \omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \right\} \subset \Omega$ , и с каждым $\omega_{n}$ свяжем неотрицательное число $p_{n}$ (такое что $\sum_{n = 1}^{\infty } p_{n} \leq \infty$ ). На $\mathcal{A}$ определим функцию множества $\mu$ как: $\mu (A) = \sum_{\omega_{n} \in A} p_{n}$ . Тогда покажите, что $\mu$ является мерой на $\mathcal{A}$ .

?

Задача 2.7

В измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ множество $A \in \mathcal{A}$ называется атомом, если $\mu (A) > 0$ , и для любого $B \subseteq A$ с $B \in \mathcal{A}$ следует, что $\mu (B) = 0$ , или $\mu (B) = \mu (A)$ . Ссылаясь на упражнение 6, определите атомы $\mathcal{A}$ .

?

Задача 2.8

В любом измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ и для любых $A_{n} \in \mathcal{A}, n = 1,2, \ldots$ , покажите, что

\mu \left(\liminf _{n \rightarrow \infty } A_{n}\right) \leq \liminf _{n \rightarrow \infty } \mu \left(A_{n}\right) \text{; также, } \mu \left(\limsup _{n \rightarrow \infty } A_{n}\right) \geq \limsup _{n \rightarrow \infty } \mu \left(A_{n}\right)

при условии, что $\mu \left(\bigcup_{j = n}^{\infty } A_{j}\right) < \infty$ для некоторого $n$ . В упражнениях 9 и 10 покажите, что функция множества $\mu^{\circ }$ , определённая на $\mathcal{P}(\Omega )$ , действительно является внешней мерой.

?

Задача 2.9

$\Omega$ — произвольное множество, $\omega_{0}$ — фиксированная точка $\Omega$ , и $\mu^{\circ }$ определена как: $\mu^{\circ }(A) = I_{A}\left(\omega_{0}\right)$ .

?

Задача 2.10

$\Omega$ — множество из 100 точек, расположенных в виде квадратного массива из 10 столбцов, по 10 точек в каждом, и $\mu^{\circ }$ определена как: $\mu^{\circ }(A) =$ число столбцов, содержащих хотя бы одну точку $A$ .

?

Задача 2.11

(i)(ii)

Для произвольного множества $\Omega$ , содержащего не менее двух точек, рассмотрим тривиальное поле $\mathcal{F} = \left\{ \varnothing , \Omega \right\}$ , и пусть (конечная мера) $\mu$ определена на $\mathcal{F}$ как: $\mu (\varnothing ) = 0$ и $\mu (\Omega ) = 1$ .

?

(i)

Определите функцию множества $\mu^{*}$ на $\mathcal{P}(\Omega )$ , как это дано в определении непосредственно перед теоремой 3 (эта $\mu^{*}$ , на самом деле, является внешней мерой по теореме 3(ii)).

(ii)

Покажите, что $\sigma$ -поле $\mu^{*}$ -измеримых множеств, $\mathcal{A}^{*}$ , скажем, является тривиальным $\sigma$ -полем, так что $\mathcal{A}^{*}$ строго содержится в $\mathcal{P}(\Omega )$ .

Задача 2.12

Пусть $\Omega = \left\{ \omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}\right\}$ , пусть $\mathcal{C} = \left\{ \oslash , \left\{ \omega_{1}, \omega_{2}\right\} , \left\{ \omega_{1}, \omega_{3}\right\} , \left\{ \omega_{2}, \omega_{4}\right\} , \left\{ \omega_{3}, \omega_{4}\right\} , \Omega \right\}$ , и определим $\mu$ на $\mathcal{C}$ следующим образом:

\begin{aligned} & \mu \left(\left\{ \omega _{1}, \omega _{2}\right\} \right) = \mu \left(\left\{ \omega _{1}, \omega _{3}\right\} \right) = \mu \left(\left\{ \omega _{2}, \omega _{4}\right\} \right) \\ & = \mu \left(\left\{ \omega _{3}, \omega _{4}\right\} \right) = 3, \mu (\Omega ) = 6, \mu (\oslash ) = 0. \end{aligned}

Далее, на $\mathcal{P}(\Omega )$ определим меры $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ , взяв

\begin{aligned} & \mu _{1}\left(\left\{ \omega _{1}\right\} \right) = \mu _{1}\left(\left\{ \omega _{4}\right\} \right) = \mu _{2}\left(\left\{ \omega _{2}\right\} \right) = \mu _{2}\left(\left\{ \omega _{3}\right\} \right) = 1, \\ & \mu _{1}\left(\left\{ \omega _{2}\right\} \right) = \mu _{1}\left(\left\{ \omega _{3}\right\} \right) = \mu _{2}\left(\left\{ \omega _{1}\right\} \right) = \mu _{2}\left(\left\{ \omega _{4}\right\} \right) = 2. \end{aligned}

Тогда покажите, что

?

(i)

$\mathcal{C}$ не является полем.

(ii)

$\mu$ является мерой на $\mathcal{C}$ .

(iii)

И $\mu_{1}$ , и $\mu_{2}$ являются продолжениями $\mu$ (с $\mathcal{C}$ на $\mathcal{P}(\Omega )$ ).

(iv)

Постройте внешнюю меру $\mu^{*}$ (как определено в определении 5) с помощью $\mu$ , определённой на $\mathcal{C}$ .

(v)

Заключите, что $\mu^{*} \neq \mu_{1} \neq \mu_{2}$ (так что, если класс $\mathcal{C}$ не является полем, продолжение (даже конечной меры $\mu$ на $\mathcal{C}$ ) не обязано быть единственным).

Задача 2.13

Пусть $\Omega = \left\{ 0,1,2, \ldots \right\}$ , пусть $A = \left\{ 1,3,5, \ldots \right\}$ , и пусть $\mathcal{C} = \left\{ \varnothing , A, A^{c}, \Omega \right\}$ . Пусть $\mu$ — считающая мера на $\mathcal{C}$ , и пусть $\mu_{1}, \mu_{2}$ определены на $\mathcal{P}(\Omega )$ соотношениями

\mu _{1}(B) = \text{ число точек множества } B, \quad \mu _{2}(B) = 2 \mu _{1}(B)

Тогда покажите, что

?

(i)

$\mathcal{C}$ является полем.

(ii)

$\mu$ не является $\sigma$ -конечной на $\mathcal{C}$ .

(iii)

Обе меры $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ являются продолжениями $\mu$ и, кроме того, $\sigma$ -конечны.

(iv)

Определите внешнюю меру $\mu^{*}$ (как она определена в Определении 5), показав, что $\mu^{*}(B) = \infty$ всякий раз, когда $B \neq \varnothing$ .

(v)

Покажите, что $\sigma$ -поле $\mu^{*}$ -измеримых множеств, обозначим его $\mathcal{A}^{*}$ , совпадает с $\mathcal{P}(\Omega )$ . (Из этого примера мы заключаем, что если $\mu$ не является $\sigma$ -конечной на поле $\mathcal{C}$ , то продолжение не обязательно единственно. Кроме того, могут существовать $\sigma$ -конечные продолжения, такие как $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ здесь, когда исходная мера на $\mathcal{C}$ не является $\sigma$ -конечной.)

Задача 2.14

Постройте дополнительные примеры, иллюстрирующие утверждения, сделанные в упражнениях 11(ii), 12 и 13.

?

Задача 2.15

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим пространство с мерой $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ и определим классы $\mathcal{A}^{*}$ и $\overline{\mathcal{A}}$ следующим образом:

\begin{aligned} \mathcal{A}^{*} & = \left\{ A \Delta M ; A \in \mathcal{A}, M \subseteq N \text{ для некоторого } N \in \mathcal{A} \text{ с } \mu (N) = 0\right\} \\ \overline{\mathcal{A}} & = \left\{ A \cup M ; A \in \mathcal{A}, M \subseteq N \text{ для некоторого } N \in \mathcal{A} \text{ с } \mu (N) = 0\right\} \end{aligned}

Тогда покажите, что

?

(i)

$A \Delta M = (A-N) \cup [N \cap (A \Delta M)]$ .

(ii)

$A \cup M = (A-N) \Delta [N \cap (A \cup M)]$ .

(iii)

Из частей (i) и (ii) заключите, что $\mathcal{A}^{*} = \overline{\mathcal{A}}$ .

Задача 2.16

Обратитесь к классам $\mathcal{A}^{*}$ и $\overline{\mathcal{A}}$ , определённым в упражнении 15, и покажите, что $\overline{\mathcal{A}}$ (а значит, и $\mathcal{A}^{*}$ ) является $\sigma$ -полем.

?

Задача 2.17

(i)(ii)(iii)

Обратитесь к упражнению 15 и на $\mathcal{A}^{*}$ определите $\mu^{*}$ соотношением: $\mu^{*}(A \Delta M) = \mu (A)$ .

?

(i)

Покажите, что $\mu (A-N)=\mu (A)$ .

По упражнению $15(\mathrm{ii})$ , $\mu^*(A \cup M)=\mu (A-N)$ . Следовательно, по части (i), мы можем определить $\mu^*$ на $\overline{\mathcal{A}}$ соотношением: $\mu^*(A \cup M)=\mu (A)$ .

(ii)

Покажите, что определённая таким образом $\mu^*$ корректно определена; то есть, если $A_1 \cup M_1=A_2 \cup M_2$ , где $A_i$ и $M_i, i=1,2$ таковы, как в упражнении 15, то $\mu \left(A_1\right)=\mu \left(A_2\right)$ .

(iii)

Покажите, что $\mu^*$ является мерой на $\overline{\mathcal{A}}$ (а значит, и на $\mathcal{A}^*$ , по упражнению $15(\mathrm{iii})$ ).

Примечание.

?

Пространство с мерой $\left(\Omega , \overline{\mathcal{A}}, \mu^{*}\right)$ (и $\left(\Omega , \mathcal{A}^{*}, \mu^{*}\right)$ ) называется пополнением пространства $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ .

Задача 2.18

(i)(ii)

?

(i)

Покажите, что класс $\mathcal{A}^{*}( = \overline{\mathcal{A}})$ , определённый в упражнении 15, содержит класс $\hat{\mathcal{C}}$ , определённый как $\hat{\mathcal{C}} = \{ B \subseteq \Omega$ ; либо $B = A$ для некоторого $A \in \mathcal{A}$ , либо $B \subseteq N$ для некоторого $N \in \mathcal{A}$ с $\mu (N) = 0\}$ . (То есть $\hat{\mathcal{C}}$ получается из $\mathcal{A}$ дополнением $\mathcal{A}$ всеми подмножествами всех нуль-множеств из $\mathcal{A}$ ; то есть множеств меры 0.)

(ii)

Также покажите, что $\sigma (\hat{\mathcal{C}}) \stackrel{\text{ def }}{ = } \hat{\mathcal{A}} = \mathcal{A}^{*}( = \overline{\mathcal{A}})$ .

Задача 2.19

Если $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ — пространство с мерой, с помощью примера покажите, что могут существовать подмножества $M \subset N$ , где $N$ — нуль-множество из $\mathcal{A}$ , такие что $M \notin \mathcal{A}$ . (Если же, напротив, для каждого $M \subseteq N$ , для каждого нулевого $N \in \mathcal{A}$ , выполняется $M \in \mathcal{A}$ , то говорят, что $\mathcal{A}$ полно относительно $\mu$ .)

?

Задача 2.20

Если $\mu^{\circ }$ — внешняя мера, и $\mathcal{A}^{\circ }$ — $\sigma$ -поле $\mu^{\circ }$ -измеримых множеств, то покажите, что $\mathcal{A}^{\circ }$ полно (относительно $\mu^{\circ }$ ).

?

Задача 2.21

Рассмотрим пространство с мерой $(\mathbb {R}, \mathcal{B}, \mu )$ , где $\mu$ (конечный интервал) $< \infty$ , и для $c \in \mathbb {R}$ пусть $F_{c}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ определена как

F_{c}(x) = \begin{cases} c+\mu ((0, x]) & x \geq 0 \\ c-\mu ((x, 0]) & x < 0 \end{cases}

Тогда, с помощью примера, покажите, что $F_{c}$ не обязана быть непрерывной слева.

?

Задача 2.22

Рассмотрим измеримое пространство $(\Omega , \mathcal{A})$ , и пусть $\mu$ — функция множества, определённая на $\mathcal{A}$ , принимающая неотрицательные значения и такая, что $\mu (\oslash ) = c$ с $0 < c < \infty$ . Тогда покажите, что $\mu$ не может быть аддитивной.

?

Задача 2.23

Пусть $\mu_{1}, \ldots , \mu_{n}$ — $\sigma$ -конечные меры на $(\Omega , \mathcal{A})$ , и положим $\mu = \mu_{1}+\cdots +\mu_{n}$ (в том смысле, что $\mu (A) = \sum_{i = 1}^{n} \mu_{i}(A), A \in \mathcal{A}$ ). Тогда покажите, что $\mu$ также $\sigma$ -конечна.

?

Задача 2.24

(i)(ii)

В вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$ покажите, что

?

(i)

$\mathbb {P}\left(\left(A \cap B^{c}\right) \cup \left(A^{c} \cap B\right)\right) = \mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)-2 \mathbb {P}\left(A \cap B\right)$ .

(ii)

$\mathbb {P}\left(A_{1} \cap \cdots \cap A_{n}\right) \geq \sum_{i = 1}^{n} \mathbb {P}\left(A_{i}\right)-(n-1)$ .

Задача 2.25

Рассмотрим вероятностное пространство $(\Omega , \mathcal{A}, P)$ , где $\Omega = \left\{ \omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}\right\} , \mathcal{A}$ — дискретное $\sigma$ -поле, и $P$ определена как

\mathbb {P}\left(\left\{ \omega _{1}\right\} \right) = \frac{1}{6}, \mathbb {P}\left(\left\{ \omega _{2}\right\} \right) = \frac{1}{3}, \mathbb {P}\left(\left\{ \omega _{3}\right\} \right) = \frac{1}{5}, \mathbb {P}\left(\left\{ \omega _{4}\right\} \right) = \frac{3}{10} .

Для $n = 1,2, \ldots$ , определим $A_{n}$ следующим образом: $A_{2 n-1} = \left\{ \omega_{1}, \omega_{2}\right\} , A_{2 n} = \left\{ \omega_{2}, \omega_{3}\right\}$ . Определите $\underline{\lim }_{n \rightarrow \infty } A_{n}, \overline{\lim }_{n \rightarrow \infty } A_{n}$ и вычислите вероятности:

\mathbb {P}\left(\underline{l i m}_{n \rightarrow \infty } A_{n}\right), \mathbb {P}\left(\varlimsup _{n \rightarrow \infty } A_{n}\right), \underline{\varliminf }_{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(A_{n}\right), \varlimsup _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(A_{n}\right) .

?

Задача 2.26

(i)(ii)

Пусть $\Omega = \left\{ \omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \right\}$ , и пусть $\mathcal{A}$ — $\sigma$ -поле подмножеств $\Omega$ . Тогда покажите, что

?

(i)

$\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega )$ тогда и только тогда, когда $\left\{ \omega_{i}\right\} \in \mathcal{A}$ для всех $\omega_{i}$ .

(ii)

Мера $\mu$ на $\mathcal{A}( = \mathcal{P}(\Omega ))$ определяется заданием $\mu \left(\left\{ \omega_{i}\right\} \right), i \geq 1$ .

Задача 2.27

(i)(ii)

Предположим, что $\Omega = \left\{ \omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \right\}$ , и пусть $\mathcal{A}$ — дискретное $\sigma$ -поле. На $\mathcal{A}$ определим функцию множества $\mu$ соотношением

\mu (A) = \begin{cases} 0 & \text{ если } A \text{ конечно } \\ \infty & \text{ если } A \text{ бесконечно } . \end{cases}

Тогда покажите, что

?

(i)

$\mu$ неотрицательна, $\mu (\varnothing ) = 0$ , и она конечно-аддитивна, но не является $\sigma$ -аддитивной.

(ii)

$\Omega = \lim_{n \rightarrow \infty } A_{n}$ для некоторой последовательности $\left\{ A_{n}\right\}$ , с $A_{n} \subseteq A_{n+1}, n \geq 1$ , и $\mu \left(A_{n}\right) = 0 \left(\text{и, следовательно, } \mu \left(A_{n}^{c}\right) = \infty \right), n \geq 1$ .

Задача 2.28

(i)(ii)

Пусть $\Omega = \left\{ 1,2, \ldots \right\}$ , и для любого $A \subseteq \Omega$ пусть $a = \sup A$ . На дискретном $\sigma$ -поле определим $\mu^{0}$ соотношением

\mu ^{0}(A) = \begin{cases} \frac{a}{a+1} & \text{ если } A \text{ конечно } \\ 0 & \text{ если } A = \varnothing \\ 1 & \text{ если } A \text{ бесконечно } \end{cases}

Тогда

?

(i)

Покажите, что $\mu^{0}$ является внешней мерой.

(ii)

Определите класс $\mathcal{A}^{\circ }$ $\mu^{\circ }$ -измеримых множеств.

Задача 2.29

Напомним, что $m$ называется медианой с.в. $X$ , если $\mathbb {P}\left(X \leq m\right) \geq \frac{1}{2}$ и $\mathbb {P}\left(X \geq m\right) \geq \frac{1}{2}$ . Тогда покажите, что если $m$ — медиана с.в. $X$ , то $-m$ — медиана с.в. $-X$ .

?

Задача 2.30

Напомним, что с.в. $X$ называется симметричной относительно 0, если $X$ и $-X$ имеют одинаковое распределение. Если $X$ симметрична (относительно 0), то покажите, что 0 является медианой $X$ ; т.е. $\mathbb {P}\left(X \leq 0\right) \geq \frac{1}{2}$ и $\mathbb {P}\left(X \geq 0\right) \geq \frac{1}{2}$ .

?

Задача 2.31

Пусть $\mu^{0}$ — внешняя мера, и предположим, что $\mu^{0}(A) = 0$ для некоторого $A \subset \Omega$ . Тогда покажите, что $\mu^{0}(A \cup B) = \mu^{0}(B)$ для каждого $B \subseteq \Omega$ .

?

Задача 2.32

Рассмотрим пространство с мерой $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ , и предположим, что $\mathcal{A}$ полно относительно $\mu$ . Пусть $f, g: \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ таковы, что $\mu (f \neq g) = 0$ . Тогда покажите, что если одна из функций $f$ или $g$ измерима, то и другая измерима.

?

Задача 2.33

Рассмотрим пространство с мерой $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ , и пусть $\mathcal{A}$ полно относительно $\mu$ . Пусть $A \in \mathcal{A}$ с $\mu (A) = 0$ , и пусть $f$ — произвольная функция $f: A \rightarrow \mathbb {R}$ . Тогда $f$ измерима.

?

Задача 2.34

(i)(ii)

?

(i)

Если $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ — две меры на $(\Omega , \mathcal{A})$ , то покажите, что $\mu = \mu_{1}+\mu_{2}$ также является мерой, где $\mu (A) = \mu_{1}(A)+\mu_{2}(A), A \in \mathcal{A}$ .

(ii)

Если хотя бы одна из мер $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ полна, то и $\mu$ полна.

Задача 2.35

(i)(ii)(iii)

Обратитесь к Примеру 2 и:

?

(i)

Покажите, что класс $\mathcal{C}_{3}$ состоит из объединений любых двух элементов класса $\mathcal{C}_{2}$ .

(ii)

Также покажите, что $\mathcal{C}_{3}$ замкнут относительно взятия дополнения и образования объединения любых двух своих элементов.

(iii)

Заключите, что $\mathcal{C}_{3}$ является полем, и, более того, полем, порождённым $\mathcal{C}$ .

Определение и построение меры и её основные свойства