Вопросы эргодической теории

Пусть $(\Omega , \mathcal{A}, P) = \left([0,1), \mathcal{B}_{[0,1)}, \lambda \right)$, где $\lambda$ — мера Лебега, и пусть преобразование $T$ определено формулой

Покажите, что $T$ измеримо и сохраняет меру.

Пусть $(\Omega , \mathcal{A}) = \left([0,1), \mathcal{B}_{[0,1)}\right)$, и пусть преобразование $T$ определено формулой

Покажите, что не существует вероятностной меры $P$ на $\mathcal{B}_{[0,1)}$ такой, что $\mathbb {P}\left(\left\{ x\right\} \right) = 0, x \in [0,1)$, и относительно которой преобразование $T$ сохраняет меру.

Обратимся к упражнению 1 и рассмотрим преобразование $T$ с точки зрения эргодичности.

Напомним (определение 9), что с.в. $X$ на $(\Omega , \mathcal{A}, P)$ называется инвариантной (относительно измеримого преобразования $T$ пространства $\Omega$ в себя), если $X(\omega ) = X(T \omega ), \omega \in \Omega$. Также напомним, что класс $\mathcal{J}$ ($T$-)инвариантных множеств в $\mathcal{A}$ (т.е. множеств $A \in \mathcal{A}$ таких, что $T^{-1} A = A$) является $\sigma$-полем (предложение 12).

Завершите доказательство обратной части следующего предложения (предложение 16). Пусть $T$ — измеримое преобразование пространства $(\Omega , \mathcal{A}, P)$ в себя, и пусть $X$ — с.в. на том же пространстве. Тогда $X$ инвариантна (относительно $T$) тогда и только тогда, когда $X$ $\mathcal{J}$-измерима, где $\mathcal{J}$ — $\sigma$-поле ($T$-)инвариантных множеств в $\mathcal{A}$. Обратная часть требует завершить доказательство направления "если": что $\mathcal{J}$-измеримость $X$ влечёт инвариантность $X$.

Напомним следующую лемму (лемма 2). Пусть $T$ — измеримое сохраняющее меру преобразование пространства $(\Omega , \mathcal{A}, P)$ в себя, и пусть $X$ — с.в. на том же пространстве, для которой существует $\mathbb {E}\left[X\right]$. Тогда $\mathbb {E}\left[X\right](\omega ) = \mathbb {E}\left[X\right](T \omega )$.

Завершите доказательство леммы 2.

Напомним (определение 11), что множество $A \in \mathcal{A}$ называется инвариантным (относительно процесса $\mathbf{X} = \left(X_{1}, X_{2}, \ldots \right)$), если существует множество $B \in \mathcal{B}^{\infty }$ такое, что $A = X^{-1} B$ и такое, что $A = \left(X_{n}, X_{n+1}, \ldots \right)^{-1} B$ для всех $n \geq 1$.

Разработайте подробности доказательства следующего предложения (предложение 18). Класс $\mathcal{J}$ инвариантных множеств в $\mathcal{A}$ является $\sigma$-полем.

Напомним (определение 13), что $Z_{2}$ называется функцией от $Z_{1}$, если для всех $\omega , \omega^{\prime } \in \Omega$ с $\omega \neq \omega^{\prime }$, для которых $Z_{1}(\omega ) = Z_{1}\left(\omega^{\prime }\right)$, следует, что $Z_{2}(\omega ) = Z_{2}\left(\omega^{\prime }\right)$.

Завершите доказательство следующей леммы (лемма 4). Пусть $Z_{1}: (\Omega , \mathcal{A}) \rightarrow \left(\Omega_{1}, \mathcal{A}_{1}^{\prime }\right)$ и $Z_{2}: (\Omega , \mathcal{A}) \rightarrow \left(\Omega_{2}, \mathcal{A}_{2}^{\prime }\right)$ измеримы, и предположим, что $\sigma$-поле, порождённое $Z_{2}$, $\mathcal{A}_{2}$, удовлетворяет условию $\mathcal{A}_{2} \subseteq \mathcal{A}_{1}$, где $\mathcal{A}_{1}$ — $\sigma$-поле, порождённое $Z_{1}$. Тогда, если $\mathcal{A}_{2}^{\prime }$ содержит одноточечные множества точек из области значений $Z_{2}$, то отсюда следует, что

1. $Z_{2}$ является функцией от $Z_{1}$.

2. Существует единственная функция $Z$ на $Z_{1}(\Omega )$, $\mathcal{A}_{1}^{\prime } \cap Z_{1}(\Omega )$ в $\left(\Omega_{2}, \mathcal{A}_{2}^{\prime }\right)$, определённая формулой $Z\left(\omega_{1}\right) = Z_{2}\left(\omega ; Z_{1}(\omega ) = \omega_{1}\right)$, так что $Z_{2} = Z\left(Z_{1}\right)$.

3. $Z$ является $\mathcal{A}_{1}^{\prime } \cap Z_{1}(\Omega )$-измеримой.

Если $X_{n}, n \geq 1$, — н.о.р. с.в., определённые на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, то