Вопросы теории последовательностей независимых случайных величин

Применительно к упражнению 6 из главы 11, объясните, почему $\frac{S_{n}}{n} \underset {n \rightarrow \infty }{\stackrel{P}{\nrightarrow }} 0$.

Для с.в. $X$ покажите, что $\mathbb {E}\left[\left|X\right|\right] < \infty$ тогда и только тогда, когда $\sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\left|X\right| \geq n c\right) < \infty$ для некоторой фиксированной константы $c > 0$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые с.в., и пусть с.в. $X$ измерима относительно $\mathcal{A}_{n} = \sigma \left(X_{n}, X_{n+1}, \ldots \right)$ для каждого $n \geq 1$. Тогда покажите, что $\mathbb {P}\left(X = c\right) = 1$ для некоторой (конечной) константы $c$.

Для $n = 1,2, \ldots$ предположим, что с.в. $X_{n}$ независимы и что $\sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|\right] < \infty$. Тогда покажите, что $\sum_{n = 1}^{\infty }\left|X_{n}\right|$ сходится п.н.

Для $n \geq 1$ пусть $X_{n}$ и $X$ — с.в., определённые на измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$. Тогда, по теореме 4 из главы 3, $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{ } X$ п.в. тогда и только тогда, когда $\mu \left(\cap_{n = 1}^{\infty } \cup_{\nu = 0}^{\infty }\left(\left|X_{n+v}-X\right| \geq \frac{1}{k}\right)\right) = 0$ для каждого произвольного, но фиксированного $k = 1,2, \ldots$ Заменим $\mu$ вероятностной мерой $P$ и покажем, что $X_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{ } 0$ п.н. тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}\left(\lim \sup_{n \rightarrow \infty } A_{n}\right) = 0$, где $A_{n} = \left(\left|X_{n}\right| \geq \frac{1}{k}\right)$ для каждого произвольного, но фиксированного $k = 1,2, \ldots$

Рассмотрим произвольные события (независимые или нет) $A_{n}, n \geq 1$, и предположим, что $\sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(A_{n}\right) < \infty$. Тогда $\mathbb {P}\left(\lim \sup_{n \rightarrow \infty } A_{n}\right) = 0$. Это следует из теоремы 3 настоящей главы (см. также теорему 4(i)). Что касается обратного утверждения, то мы имеем: если $\mathbb {P}\left(\limsup_{n \rightarrow \infty } A_{n}\right) = 0$ и события $A_{n}, n \geq 1$, независимы, то $\sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(A_{n}\right) < \infty$. Обоснуйте это утверждение.

Что касается обратного утверждения, сформулированного в упражнении 6: если события $A_{n}, n \geq 1$, не являются независимыми, то $\mathbb {P}\left(\lim \sup_{n \rightarrow \infty } A_{n}\right) = 0$ не обязательно влечёт $\sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(A_{n}\right) < \infty$. Приведите один-два конкретных примера, демонстрирующих это утверждение.