Проблема центральной предельной теоремы: нецентрированный случай

При предположении теоремы 1 сходимость в (13.29) выполняется тогда и только тогда, когда (13.30) выполняется для каждого $\varepsilon > 0$. С обозначениями $\bar{X}_{n j} = X_{n j}-\alpha_{n j}$, где $\bar{X}_{n j}$ имеет ф.р. $\bar{F}_{n j}$, и $\bar{S}_{n} = \sum_{j = 1}^{n} \bar{X}_{n j}$, покажите, что сходимость в (13.29) следует из условия

В теореме 1 этой главы, а также в теореме 1 главы 12, при некоторых базовых предположениях о с.в. $X_{n j}, j = 1, \ldots , k_{n}$, приведённых в упомянутых теоремах, даётся необходимое и достаточное условие (а именно, $g_{n}(\varepsilon ) \underset {n \rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0$ для каждого $\varepsilon > 0$), при котором

где $S_{n} = \sum_{j = 1}^{k_{n}} X_{n j}$. Таким образом,

где $\Phi \left(x ; \mu , \sigma^{2}\right)$ — ф.р. распределения $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$. На самом деле, указанная сходимость равномерна по $x \in \mathbb {R}$. То есть, для каждого $\varepsilon > 0$ существует $N(\varepsilon ) > 0$, не зависящее от $x \in \mathbb {R}$, такое что $n \geq N(\varepsilon )$ влечёт

Этот результат является следствием следующего факта (известного как лемма Пойа). А именно, если $F$ и $\left\{ F_{n}\right\}$ — ф.р. с.в., такие что $F_{n}(x) \underset {n \rightarrow \infty }{\longrightarrow } F(x), x \in \mathbb {R}$, и $F$ непрерывна, то сходимость равномерна по $x \in \mathbb {R}$. Установите этот факт.