12

Проблема центральной предельной теоремы: центрированный случай

[11/100%]
Показать
LaTeX
Задача 12.1

Если независимые с.в. Xj,j≥1X_{j}, j \geq 1, распределены как U(−j,j)U(-j, j), то покажите, что условие Линдеберга (см. соотношение (12.24)) выполняется, так что L(SnSn)⇒n→∞N(0,1)\mathcal{L}\left(\frac{S_{n}}{S_{n}}\right) \underset {n \rightarrow \infty }{\Rightarrow } N(0,1), где Sn=∑j=1nXjS_{n} = \sum_{j = 1}^{n} X_{j} и sn2=∑j=1nσj2,σj2=Var⁡[Xj]s_{n}^{2} = \sum_{j = 1}^{n} \sigma_{j}^{2}, \sigma_{j}^{2} = \operatorname {Var}\left[X_{j}\right].

?
Задача 12.2

Если независимые с.в. Xj,j≥2X_{j}, j \geq 2, распределены следующим образом:

P(Xj=−jα)=P(Xj=jα)=1jβ,P(Xj=0)=1−2jβ(α,β>0) \begin{aligned} \mathbb {P}\left(X_{j} = -j^{\alpha }\right) = \mathbb {P}\left(X_{j} = j^{\alpha }\right) = \frac{1}{j^{\beta }}, \quad \mathbb {P}\left(X_{j} = 0\right) \\ & = 1-\frac{2}{j^{\beta }} \quad (\alpha , \beta > 0) \end{aligned}

покажите, что ограничение β<1\beta < 1 обеспечивает выполнение условия Линдеберга (соотношение (12.24)).

?
Задача 12.3

Пусть с.в. Xj,j≥1X_{j}, j \geq 1, распределены следующим образом:

P(Xj=±jα)=16j2(α−1),P(Xj=0)=1−13j2(α−1),α>1 \begin{aligned} \mathbb {P}\left(X_{j} = \pm j^{\alpha }\right) = \frac{1}{6 j^{2(\alpha -1)}}, \quad \mathbb {P}\left(X_{j} = 0\right) = 1-\frac{1}{3 j^{2(\alpha -1)}}, \quad \alpha > 1 \end{aligned}

Покажите, что условие Линдеберга (соотношение (12.24)) выполняется тогда и только тогда, когда α<32\alpha < \frac{3}{2}. Заключите, что L(Snsn)⇒n→∞N(0,1)\mathcal{L}\left(\frac{S_{n}}{s_{n}}\right) \underset {n \rightarrow \infty }{\Rightarrow } N(0,1), где Sn=∑j=1nXjS_{n} = \sum_{j = 1}^{n} X_{j} и sn2=∑j=1nσj2s_{n}^{2} = \sum_{j = 1}^{n} \sigma_{j}^{2}, σj2=Var⁡[Xj]\sigma_{j}^{2} = \operatorname {Var}\left[X_{j}\right].

?
Задача 12.4

Для j=1,2,…,nj = 1,2, \ldots , n пусть XjX_{j} — независимые с.в., определённые следующим образом:

Xj={±j2 с вероятностью 1/12j2 каждое ±j с вероятностью 1/12 каждое 0 с вероятностью 1−1/6−1/6j2 X_{j} = \left\{ \begin{array}{l} \pm j^{2} \text{ с вероятностью } 1 / 12 j^{2} \text{ каждое } \\ \pm j \text{ с вероятностью } 1 / 12 \text{ каждое } \\ 0 \quad \text{ с вероятностью } 1-1 / 6-1 / 6 j^{2} \end{array}\right.

Тогда покажите, что условие Линдеберга (условие (12.24)) не выполняется.

?
Задача 12.5

Пусть Xn,n≥1X_{n}, n \geq 1, — независимые с.в. такие, что ∣Xn∣≤Mn\left|X_{n}\right| \leq M_{n} п.н. с Mn=o(sn)M_{n} = o\left(s_{n}\right), где sn2=∑j=1nσj2→∞s_{n}^{2} = \sum_{j = 1}^{n} \sigma_{j}^{2} \rightarrow \infty и σj2=Var⁡[Xj]\sigma_{j}^{2} = \operatorname {Var}\left[X_{j}\right]. Положим Sn=∑j=1nXjS_{n} = \sum_{j = 1}^{n} X_{j} и покажите, что

L(Sn−E[Sn]sn)⇒n→∞N(0,1) \mathcal{L}\left(\frac{S_{n}-\mathbb {E}\left[S_{n}\right]}{s_{n}}\right) \underset {n \rightarrow \infty }{\Rightarrow } N(0,1)
?
Задача 12.6

Пусть Xnj,j=1,…,kn→∞X_{n j}, j = 1, \ldots , k_{n} \rightarrow \infty — независимые в каждой строке с.в. с E[Xnj]=0\mathbb {E}\left[X_{n j}\right] = 0, σ2(Xnj)=σnj2<∞,sn2=∑j=1knσnj2=1\sigma^{2}\left(X_{n j}\right) = \sigma_{n j}^{2} < \infty , s_{n}^{2} = \sum_{j = 1}^{k_{n}} \sigma_{n j}^{2} = 1, и max⁡1≤j≤knσnj2→n→∞0\max_{1 \leq j \leq k_{n}} \sigma_{n j}^{2} \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } 0. Тогда, с Sn=∑j=1knXnjS_{n} = \sum_{j = 1}^{k_{n}} X_{n j}, и в предположении L(Sn)⇒N(0,1)\mathcal{L}\left(S_{n}\right) \Rightarrow N(0,1), покажите, что ∑j=1knXnj2→→P1\sum_{j = 1}^{k_{n}} X_{n j}^{2} \xrightarrow [\rightarrow ]{P} 1.

?
Задача 12.7

Для функции g:R→Cg: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} положим Δg(u)=g(u+h)−g(u−h),h∈R\Delta g(u) = g(u+h)-g(u-h), h \in \mathbb {R}, и определим Δ(n)g(u)\Delta^{(n)} g(u) рекурсивно. Тогда

?
(i)

Покажите, что

Δ(m)g(u)=∑r=0m(−1)r(mr)g(u+(m−2r)h). \Delta ^{(m)} g(u) = \sum _{r = 0}^{m}(-1)^{r}\binom {m}{r} g(u+(m-2 r) h) .
(ii)

Из пункта (i), разложив f(t)f(t) вокруг 0 вплоть до членов порядка 2n2 n, получите

Δ(2n)f(0)(2h)2n=f(2n)(0)+o(h2n)h2n( где o(t)t→0 при t→0), \begin{aligned} \frac{\Delta ^{(2 n)} f(0)}{(2 h)^{2 n}} = & f^{(2 n)}(0)+\frac{o\left(h^{2 n}\right)}{h^{2 n}} \\ & \left(\text{ где } \frac{o(t)}{t} \rightarrow 0 \text{ при } t \rightarrow 0\right), \end{aligned}

так что f(2n)(0)=lim⁡Δ(2n)f(0)(2h)2nf^{(2 n)}(0) = \lim \frac{\Delta^{(2 n)} f(0)}{(2 h)^{2 n}} при h→0h \rightarrow 0.

Задача 12.8

Для m=1,2,…m = 1,2, \ldots и целого kk покажите, что

∑r=0m(−1)r(mr)(m−2r)k={0 при (0≤)k<m2m×m!k=m \begin{align} & \sum _{r = 0}^{m}(-1)^{r}\binom {m}{r}(m-2 r)^{k} \\ & \quad = \begin{cases} 0 & \text{ при }(0 \leq ) k < m \\ 2^{m} \times m! & k = m \end{cases} \end{align}
?
Задача 12.9

Для j=1,…,kn→∞j = 1, \ldots , k_{n} \rightarrow \infty пусть XnjX_{n j} — независимые в каждой строке с.в. с соответствующими ф.р. FnjF_{n j}. Тогда покажите, что для каждого ε>0\varepsilon > 0 сходимость

P(max⁡1≤j≤kn∣Xnj∣≥ε)→n→∞0 \mathbb {P}\left(\max _{1 \leq j \leq k_{n}}\left|X_{n j}\right| \geq \varepsilon \right) \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } 0

эквивалентна

∑j=1kn∫(∣x∣≥ε)dFnj(x)→n→∞0 \sum _{j = 1}^{k_{n}} \int _{(\left|x\right| \geq \varepsilon )} d F_{n j}(x) \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } 0

и влечёт сходимость

max⁡1≤j≤knP(∣Xnj∣≥ε)→n→∞0 \max _{1 \leq j \leq k_{n}} \mathbb {P}\left(\left|X_{n j}\right| \geq \varepsilon \right) \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } 0
?
Задача 12.10

Покажите, что для каждого комплексного числа zz выполняется ∣z2∣=∣z∣2\left|z^{2}\right| = \left|z\right|^{2}.

?
Задача 12.11

В доказательстве предложения 2 (см. обсуждение после соотношения (12.36)) лемма 6 используется при n=1n = 1 для обеспечения конечности E[X2]\mathbb {E}\left[X^{2}\right], что, согласно лемме, следует из существования и конечности f(2)(0)f^{(2)}(0). Докажите этот факт напрямую; т.е. покажите, что существование и конечность f(2)(0)f^{(2)}(0) влечёт конечность E[X2]\mathbb {E}\left[X^{2}\right].

?