Вопросы теории характеристических функций

Пусть $g$ и $h$ — вещественнозначные функции, определённые на $\mathbb {R}$, для которых $\int_{\mathbb {R}} g(x) d \mu$ и $\int_{\mathbb {R}} h(x) d \mu$ конечны, где $\mu$ — ($\sigma$-конечная) мера на $\mathbb {R}$. Тогда покажите, что:

В частности, $\left|\mathbb {E}\left[Z\right]\right| \leq \mathbb {E}\left[\left|Z\right|\right]$, где $Z$ — комплекснозначная с.в.; т.е., $Z = X+i Y$ с вещественнозначными с.в. $X$ и $Y$.

В связи с доказательством теоремы 2, покажите, что $\lim_{t \rightarrow 0} g(t) = b-a$, как там утверждается.

В связи с доказательством предложения 1 (см. также доказательство предложения 3), приведите подробности сходимости

Покажите, что $\left|e^{i x}-1\right| \leq \left|x\right|$ для всех $x \in \mathbb {R}$.

Покажите, что $\left(1+\frac{c_{n}}{n}\right)^{n} \underset {n \rightarrow \infty }{\rightarrow } e^{c}$, когда $c_{n} \rightarrow \infty$, где $c_{n} \in \mathbb {C}$ — комплексная плоскость, $n \geq 1$.

Пусть $X$ — с.в., имеющая распределение Коши с параметрами $\mu = 0$ и $\sigma = 1$ (т.е. плотность $X$ задана формулой $p(x) = \frac{1}{\pi } \times \frac{1}{1+x^{2}}, x \in \mathbb {R}$). Тогда покажите, что:

Покажите, что: $\frac{[(2 n)!]^{1 / 2 n}}{[(2 n-1)!]^{1 /(2 n-1)}} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{\rightarrow } 1$.

Вспомним следующую лемму (лемма 6). Пусть $X$ — с.в. такая, что $\mu^{(n)} = \mathbb {E}\left[\left|X\right|^{n}\right] < \infty$ для всех $n = 1, 2, \ldots$ (так что $m^{(n)} = \mathbb {E}\left[X^{n}\right]$ также конечны). Тогда ряды

имеют одинаковый радиус сходимости.

Установите справедливость соотношений, заявленных в следующем следствии (следствие из леммы 6). Достаточным условием сходимости ряда $S(t)$ при некотором $t_{0} \neq 0$ является

Если $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — н.о.р. с.в. с $\mathbb {E}\left[X_{1}\right] = \mu \in \mathbb {R}$ и $\sigma^{2}\left(X_{1}\right) = \sigma^{2} \in (0, \infty )$, то (по приложению 2 к теореме 9 в этой главе) отсюда следует, что $\frac{S_{n}-n \mu }{\sigma \sqrt{n}} \underset {n \rightarrow \infty }{\Rightarrow } Z \sim N(0,1)$, где $S_{n} = \sum_{j = 1}^{n} X_{j}$. Покажите, что $\left\{ \frac{S_{n}-n \mu }{\sigma \sqrt{n}}\right\}$ не сходится по вероятности при $n \rightarrow \infty$.

Согласно ЗБЧ (приложение 1 к теореме 9), если с.в. $X_{1}, \ldots , X_{n}$ н.о.р. с конечным $\mathbb {E}\left[X_{1}\right]$, то

Следующий пример показывает, что возможна ситуация, когда $\left\{ \frac{S_{n}}{n}\right\}$ сходится по вероятности к конечной константе, при $n \rightarrow \infty$, даже если $\mathbb {E}\left[X_{1}\right]$ не существует. С этой целью, для $j = 1,2, \ldots$, пусть $X_{j}$ — н.о.р. с.в. такие, что $\mathbb {P}\left(X_{j} = -n\right) = \mathbb {P}\left(X_{j} = n\right) = c / n^{2} \log n, n \geq 3$, где $c = \frac{1}{2} \sum_{n = 3}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} \log n$. Тогда покажите, что $\mathbb {E}\left[X_{1}\right]$ не существует, но $\frac{S_{n}}{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} 0$, где $S_{n} = \sum_{j = 1}^{n} X_{j}$.

Если $X \sim B(n, p)$, покажите, что

Если $X \sim \operatorname {Pois}\left(\lambda \right)$, покажите, что

Если $X$ имеет гамма-распределение с параметрами $\alpha$ и $\beta$; т.е., если её плотность задана формулой

где гамма-функция $\Gamma (\alpha )$ задана формулой $\Gamma (\alpha ) = \int_{0}^{\infty } y^{\alpha -1} e^{-y} d y(\alpha , \beta > 0)$, то покажите, что

В частности, при $\alpha = 1$ и $\beta = 1 / \lambda$, получаем х.ф. показательного распределения с параметром $\lambda$; т.е., $f_{X}(t) = 1 /\left(1-\frac{i t}{\lambda }\right)$; а при $\alpha = \frac{r}{2}(r > 0$ целое) и $\beta = 2$, получаем х.ф. распределения хи-квадрат с $r$ степенями свободы; т.е., $f_{X}(t) = 1 /(1-2 i t)^{r / 2}$.

Если с.в. $X$ и $Y$ имеют двумерное нормальное распределение с параметрами $\mu_{1}, \mu_{2}$ в $\mathbb {R}, 0 < \sigma_{1}, \sigma_{2} < \infty$, и $\rho \in [-1,1]$, покажите, что их совместная х.ф. задаётся выражением

Для этого сделайте следующее:

Пусть с.в. $X$ и $Y$ имеют двумерное нормальное распределение с параметрами $\mu_{1}, \mu_{2} \in \mathbb {R}, 0 < \sigma_{1}, \sigma_{2} < \infty$, и $\rho \in [-1,1]$, и положим $U = X+Y, V = X-Y$.

В этом упражнении с.в. $X_{1}, \ldots , X_{k}$ независимы с указанными распределениями, и $X = X_{1}+\cdots +X_{k}$. Затем используйте упражнение 13 из главы 10, формулу обращения (теорема 2) и соответствующие х.ф., чтобы показать, что:

Покажите, что с.в. $X_{1}, \ldots , X_{k}$ независимы тогда и только тогда, когда для всех $t_{1}, \ldots , t_{k}$ из $\mathbb {R}, f_{X_{1}, \ldots , X_{k}}\left(t_{1}, \ldots , t_{k}\right) = f_{X_{1}}\left(t_{1}\right) \times \cdots \times f_{X_{k}}\left(t_{k}\right)$.

Если $f$ — х.ф., то покажите, что $f$ положительно определена; т.е. для всех вещественных $t_{k}, t_{l}$ и всех комплексных чисел $z_{k}, z_{l}$ имеем

для каждого целого $n \geq 1$.

Для $n = 1,2, \ldots$ пусть $X_{n}$ — с.в., распределённая по закону Пуассона с параметром $n, X_{n} \sim \operatorname {Pois}\left(n\right)$ (так что $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] = \operatorname {Var}\left[X_{n}\right] = n$), и положим $Y_{n} = \left(X_{n}-n\right) / \sqrt{n}$. Тогда покажите, что $Y_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{d} Z \sim N(0,1)$.

Пусть $F_{1}$ и $F_{2}$ — ф.р., и пусть $G$ — их свёртка, $G = F_{1} * F_{2}$. Тогда:

Если с.в. $X$ и $Y$ н.о.р. с х.ф. $f$, то х.ф. с.в. $X-Y$ равна $\left|f(t)\right|^{2}$.

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые с.в., каждая из которых симметрична относительно 0. Тогда с.в. $X_{1}+\cdots +X_{n}$ также симметрична относительно 0.

Для $n \geq 1$ пусть $g_{n}$ и $g$ — функции, определённые на $E \subseteq \mathbb {R}^{k}$ со значениями в $\mathbb {R}$, и напомним, что говорят, что $\left\{ g_{n}\right\}$ непрерывно сходится к $g$ на $E$, если для каждого $x \in E, g_{n}\left(x_{n}\right) \rightarrow g(x)$ всякий раз, когда $x_{n} \rightarrow x$, при $n \rightarrow \infty$. Тогда покажите, что если $\left\{ g_{n}\right\}$ непрерывно сходится к $g$ на $E$, то отсюда следует, что $g$ непрерывна на $E$.

Для $n \geq 1$ пусть $g_{n}, g$ и $E$ такие же, как в упражнении 24. Тогда:

Для $n \geq 1$ пусть $X_{n}, Y_{n}$ и $X, Y$ — с.в., определённые на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, пусть $d_{1}, d_{2}$ и $c_{n}$ — константы с $0 \neq c_{n} \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$, и предположим, что $c_{n}\left(X_{n}-d_{1}, Y_{n}-d_{2}\right) \xrightarrow {d}(X, Y)$ при $n \rightarrow \infty$. Пусть $g: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцируема, и предположим, что её частные производные (первого порядка) $\dot{g}_{x}, \dot{g}_{y}$ непрерывны в точке ($d_{1}, d_{2}$). Тогда покажите, что при $n \rightarrow \infty$,