Независимость

Если события $A_{1}, \ldots , A_{n}$ независимы, то независимы и события $A_{1}^{\prime }, \ldots , A_{n}^{\prime }$, где $A_{i}^{\prime }$ -- это либо $A_{i}$, либо $A_{i}^{c}, i = 1, \ldots , n$.

Рассмотрим измеримое пространство $(\Omega , \mathcal{A})$, пусть $\mathcal{F}_{i}, i = 1,2$, — поля с $\mathcal{F}_{i} \subseteq \mathcal{A}, i = 1,2$, и определим $\mathcal{F}$ по формуле

Тогда покажите, что $\mathcal{F}$ является полем.

Для любых вещественных чисел $p_{1}, \ldots , p_{n}$ таких, что $0 \leq p_{i} \leq 1, i = 1, \ldots , n$, покажите, что

Пусть $A_{n}, n = 1,2, \ldots$, — независимые события в вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$. Тогда покажите, что

Пусть $A_{n}, n = 1,2, \ldots$, — независимые события в вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, и предположим, что $\lim_{n \rightarrow \infty } A_{n}$ существует, обозначим его $A$. Тогда покажите, что $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$ или $\mathbb {P}\left(A\right) = 1$.

Пусть $X_{n}, n \geq 1$, — независимые с.в., распределённые как $B(1, p)$, и положим $\bar{X}_{n} = n^{-1} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$. Тогда покажите, что $\bar{X}_{n} \xrightarrow [n \rightarrow \infty ]{P} p$ и $\bar{X}_{k^{2}} \underset {k \rightarrow \infty }{\text{ п.н. }} p$.

Обратитесь к упражнению 11 в главе 9 и постройте конкретный пример, с помощью независимых с.в. (например, биномиально распределённых с.в.), демонстрирующий правильность сделанного там утверждения.

С.в. $X_{1}, \ldots , X_{k}$ независимы тогда и только тогда, когда в соотношении (10.4) все $B_{j}$ заменены интервалами $\left(a_{j}, b_{j}\right]$ с $a_{j}, b_{j}$ в $\mathbb {R}$ и $a_{j} < b_{j}, j = 1, \ldots , k$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые с.в., и предположим, что $\mathbb {E}\left[X\right]$ существует. Для каждого $B \in \mathcal{B}$ пусть $A = Y^{-1}(B)$, и покажите, что $\int_{A} X d P = (\mathbb {E}\left[X\right]) \mathbb {P}\left(A\right)$.

Покажите, что с.в. $X$ независима сама от себя тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}\left(X = c\right) = 1$ для некоторой (конечной) константы $c$.

Если с.в. $X_{1}$ и $X_{2}$ независимы, то покажите, что

и по индукции,

для независимых с.в. $X_{1}, \ldots , X_{k}$.

Рассмотрим вероятностное пространство $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, и пусть $A_{1}, \ldots , A_{n}$ — независимые события с $\mathbb {P}\left(A_{k}\right) = p, k = 1, \ldots , n$. Далее, определим функцию $X: \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ следующим образом:

Тогда покажите, что

Рассмотрим вероятностное пространство $(\Omega , \mathcal{A}, P)$, пусть $\left\{ A_{n}\right\} , n \geq 1$, — последовательность событий, и положим $X_{n} = I_{A_{n}}$. Тогда покажите, что события $\left\{ A_{1}, A_{2}, \ldots \right\}$ независимы тогда и только тогда, когда с.в. $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы.

Если $X \sim B(n, p)$, вычислите вероятность того, что $P$ (число гербов $=$ число решек$+ r), r = 0,1, \ldots , n$.

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые (н.о.р.) с.в., определённые на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{A}, P)$ и имеющие ф.р. $F$. Пусть $F_{n}$ — эмпирическая ф.р., определённая через с.в. $X_{i}$; т.е.,

Тогда покажите, что $\sup \left\{ \left|F_{n}(x, \cdot )-F(x)\right| ; x \in \mathbb {R}\right\} \stackrel{\text{ def }}{ = } D_{n}(\cdot )$ является с.в. То есть, хотя $D_{n}(\cdot )$ получается посредством несчётных операций, она всё же является с.в.

(Гливенко--Кантелли). Обратитесь к упражнению 18 и покажите, что