Некоторые классы множеств, измеримость и поточечное приближение

Рассмотрим измеримое пространство $(\Omega , \mathcal{A})$ и пусть $A_{n} \in \mathcal{A}, n = 1,2, \ldots$ Напомним, что

Напомним следующую теорему (теорема 1). Пусть $I$ -- произвольное множество индексов. Тогда

1. Если $\mathcal{F}_{j}, j \in I$, – поля, то и $\cap_{j \in I} \mathcal{F}_{j} = \left\{ A \subseteq \Omega ; A \in \mathcal{F}_{j}, j \in I\right\}$ – поле.

2. Если $\mathcal{A}_{j}, j \in I$, – $\sigma$-поля, то и $\cap_{j \in I} \mathcal{A}_{j} = \left\{ A \subseteq \Omega ; A \in \mathcal{A}_{j}, j \in I\right\}$ – $\sigma$-поле.

Проведите подробное доказательство теоремы 1.

С помощью примера покажите, что из $A_{j} \in \mathcal{F}, j \geq 1$, не обязательно следует $\bigcup_{j = 1}^{\infty } A_{j} \in \mathcal{F}$, и аналогично для $\bigcap_{j = 1}^{\infty } A_{j}$.

Пусть $\mathcal{P} = \left\{ A_{n}, n = 1,2, \ldots \right\}$ -- разбиение $\Omega$, где $A_{n} \neq \varnothing , n \geq 1$, и пусть $\mathcal{C}$ -- класс всех сумм членов $\mathcal{P}$. Тогда покажите, что $\mathcal{C}$ является $\sigma$-полем, порождённым классом $\mathcal{P}$.

Пусть $\mathcal{C}_{0}$ -- класс всех интервалов в $\mathbb {R}$, и рассмотрим восемь классов $\mathcal{C}_{j}$, $j = 1, \ldots , 8$, каждый из которых состоит из всех интервалов класса $\mathcal{C}_{0}$ одного определённого типа. Тогда $\mathcal{B} = \sigma \left(\mathcal{C}_{j}\right), j = 1, \ldots , 8$. Кроме того, если $\mathcal{C}_{j}^{\prime }$ обозначает класс, получаемый из $\mathcal{C}_{j}$ рассмотрением интервалов с рациональными концами, то $\sigma \left(\mathcal{C}_{j}^{\prime }\right) = \mathcal{B}, j = 1, \ldots , 8$.

Рассмотрим пространство $(\Omega , \mathcal{F})$ и для произвольного, но фиксированного множества $A$ с $\oslash \subset A \subset \Omega$ определим $\mathcal{F}_{A}$ следующим образом: $\mathcal{F}_{A} = \left\{ B \subseteq \Omega ; B = A \cap C, C \in \mathcal{F}\right\}$. Тогда $\mathcal{F}_{A}$ -- поле (подмножеств $A$).

Рассмотрим пространство $(\Omega , \mathcal{A})$ и пусть $A$ таково же, как в упражнении 8. Определим $\mathcal{A}_{A}$ по формуле $\mathcal{A}_{A} = \left\{ B \subseteq \Omega ; B = A \cap C, C \in \mathcal{A}\right\}$. Тогда $\mathcal{A}_{A}$ -- $\sigma$-поле (подмножеств $A$). Более того, $\mathcal{A}_{A} = \sigma \left(\mathcal{F}_{A}\right)$, где $\mathcal{F}_{A}$ таково же, как в упражнении 8, а $\mathcal{A} = \sigma (\mathcal{F})$.

Покажите, что если $\left\{ \mathcal{A}_{n}\right\} , n \geq 1$, -- неубывающая последовательность $\sigma$-полей, то $\bigcup_{n = 1}^{\infty } \mathcal{A}_{n}$ всегда является полем, но может не быть $\sigma$-полем.

Напомним (определение 4), что класс $\mathcal{C}$ подмножеств $\Omega$ называется монотонным классом, если всякий раз, когда $A_{j} \in \mathcal{C}, j = 1, 2, \ldots$, и $A_{j} \uparrow$ (т.е. $A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \cdots$) или $A_{j} \downarrow$ (т.е. $A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq \cdots$), то $\lim_{j \rightarrow \infty } A_{j} \stackrel{\text{def}}{=} \cup_{j=1}^{\infty } A_{j} \in \mathcal{C}$ и $\lim_{j \rightarrow \infty } A_{j} \stackrel{\text{def}}{=} \cap_{j=1}^{\infty } A_{j} \in \mathcal{C}$ соответственно.

Проведите подробное доказательство следующей теоремы (теорема 4). Если $\mathcal{M}_{j}, j \in I$, -- монотонные классы, то и $\cap_{j \in I} \mathcal{M}_{j} = \left\{ A \subseteq \Omega ; A \in \mathcal{M}_{j}, j \in I\right\}$ -- монотонный класс.

С помощью примера покажите, что монотонный класс не обязан быть полем.

Напомним следующую лемму (лемма 2). Рассмотрим прямоугольник $E = A \times B$. Тогда, обозначая через ``$+$'' объединение непересекающихся событий,

1. $E^{c} = \left(A \times B^{c}\right) + \left(A^{c} \times \Omega_{2}\right) = \left(A^{c} \times B\right) + \left(\Omega_{1} \times B^{c}\right)$. Рассмотрим прямоугольники $E_{1} = A_{1} \times B_{1}$, $E_{2} = A_{2} \times B_{2}$. Тогда

2. $E_{1} \cap E_{2} = \left(A_{1} \cap A_{2}\right) \times \left(B_{1} \cap B_{2}\right)$. Следовательно, $E_{1} \cap E_{2} = \oslash$ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множеств $A_{1} \cap A_{2}, B_{1} \cap B_{2}$ равно $\oslash$. Рассмотрим прямоугольники $E_{1}, E_{2}$, как выше, и прямоугольники $F_{1} = A_{1}^{\prime } \times B_{1}^{\prime }, F_{2} = A_{2}^{\prime } \times B_{2}^{\prime }$. Тогда

3. $\left(E_{1} \cap F_{1}\right) \cap \left(E_{2} \cap F_{2}\right) = \left[\left(A_{1} \cap A_{1}^{\prime }\right) \times \left(B_{1} \cap B_{1}^{\prime }\right)\right] \cap \left[\left(A_{2} \cap A_{2}^{\prime }\right) \times \left(B_{2} \cap B_{2}^{\prime }\right)\right]$ (по (ii)) $= \left[\left(A_{1} \cap A_{1}^{\prime }\right) \cap \left(A_{2} \cap A_{2}^{\prime }\right)\right] \times \left[\left(B_{1} \cap B_{1}^{\prime }\right) \cap \left(B_{2} \cap B_{2}^{\prime }\right)\right]$ (по (ii)) $= \left[\left(A_{1} \cap A_{2}\right) \cap \left(A_{1}^{\prime } \cap A_{2}^{\prime }\right)\right] \times \left[\left(B_{1} \cap B_{2}\right) \cap \left(B_{1}^{\prime } \cap B_{2}^{\prime }\right)\right]$. Следовательно, левая часть равна $\oslash$ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из $\left(A_{1} \cap A_{2}\right) \cap \left(A_{1}^{\prime } \cap A_{2}^{\prime }\right)$, $\left(B_{1} \cap B_{2}\right) \cap \left(B_{1}^{\prime } \cap B_{2}^{\prime }\right)$ равно $\oslash$.

Проведите подробное доказательство леммы 2.

Пусть $\Omega_{1}, \Omega_{2}$ -- два пространства, и пусть $A, A_{i} \subseteq \Omega_{1}, B, B_{i} \subseteq \Omega_{2}, i = 1,2$. Тогда покажите, что

Для $i = 1,2, \ldots , n$ пусть $A_{i}, B_{i}, C_{i} \subseteq \Omega_{i}$, и положим $E = A_{1} \times \cdots , \times A_{n}, F = B_{1} \times \cdots \times B_{n}, G = C_{1} \times \cdots \times C_{n}$. Предположим, что $E, F$ и $G$ все $\neq \varnothing$ и что $E = F+G$. Тогда докажите, что существует $j$ с $1 \leq j \leq n$, такое что $A_{j} = B_{j}+C_{j}$, тогда как $A_{i} = B_{i} = C_{i}$ для всех $i \neq j$.

Ссылаясь на теорему 7, покажите, что $\mathcal{C}$ по-прежнему является полем, если $\mathcal{A}_{i}$ заменить на поле $\mathcal{F}_{i}, i = 1,2$.

Рассмотрим измеримые пространства $\left(\Omega_{i}, \mathcal{A}_{i}\right), i = 1,2$, и пусть $\mathcal{C}$ — класс всех счётных сумм прямоугольников (объединений попарно непересекающихся прямоугольников) в произведении пространств $\Omega_{1} \times \Omega_{2}$. Тогда на примере покажите, что $\mathcal{C}$ не обязательно является $\sigma$-полем.

Напомним следующую теорему (теорема 10). Пусть $X$ — отображение из $\Omega$ в $\Omega^{\prime }$, где $\Omega^{\prime }$ снабжено $\sigma$-полем $\mathcal{A}^{\prime }$, и определим класс $\mathcal{C}$ подмножеств $\Omega$ следующим образом: $\mathcal{C} = X^{-1}\left(\mathcal{A}^{\prime }\right)$. Тогда $\mathcal{C}$ является $\sigma$-полем (т.е. прообраз $\sigma$-поля является $\sigma$-полем).

Изложите подробности доказательства теоремы 10.

Напомним следующую теорему (теорема 11). Пусть $X$ — отображение из $\Omega$ в $\Omega^{\prime }$, где $\Omega$ снабжено $\sigma$-полем $\mathcal{A}$, и определим класс $\mathcal{C}^{\prime }$ подмножеств $\Omega^{\prime }$ следующим образом: $\mathcal{C}^{\prime } = \left\{ A^{\prime } \subseteq \Omega^{\prime } ; X^{-1}\left(A^{\prime }\right) \in \mathcal{A}\right\}$. Тогда $\mathcal{C}^{\prime }$ является $\sigma$-полем.

Изложите подробности доказательства теоремы 11.

Рассмотрим отображение $X$, определённое на $(\Omega , \mathcal{A})$ на $\Omega^{\prime } = X(\Omega )$ — образ $\Omega$ при отображении $X$, и пусть $\mathcal{C}^{\prime } \subseteq \mathcal{P}\left(\Omega^{\prime }\right)$ определён следующим образом:

Тогда на примере покажите, что $\mathcal{C}^{\prime }$ не обязательно является $\sigma$-полем.

Рассмотрим измеримое пространство $(\Omega , \mathcal{A})$ и пусть $X$ определено как $\sum_{i = 1}^{n} \alpha_{i} I_{A_{i}}$ или $X = \sum_{i = 1}^{\infty } \alpha_{i} I_{A_{i}}$, где $\alpha_{i} \in \mathbb {R}$ различны для всех $i$, а $\left\{ A_{1}, \ldots , A_{n}\right\}$ или $\left\{ A_{i}, i \geq 1\right\}$ являются разбиениями $\Omega$. Тогда докажите, что $X$ является случайной величиной (соответственно простой случайной величиной и элементарной случайной величиной) в том и только в том случае, если разбиения измеримы (т.е. $A_{i} \in \mathcal{A}$ для всех $i$).

Если $X$ и $Y$ — отображения из $\Omega$ в $\mathbb {R}$, покажите, что

где $Q$ — множество рациональных чисел в $\mathbb {R}$.

Если $X$ — случайная величина, определённая на измеримом пространстве $(\Omega , \mathcal{A})$, то $\left|X\right|$ также является случайной величиной. На примере покажите, что обратное не обязательно верно.

Прямым рассуждением (то есть используя определение измеримости) покажите, что если $X$ и $Y$ — случайные величины, то таковыми являются и отображения $X \pm Y, X Y$, и $X / Y(Y \neq 0$ п.н.; т.е. $Y \neq 0$ с вероятностью 1, или $Y \neq 0$ почти наверное).

Напомним следующую теорему (теорема 14). Пусть $f : \Omega \rightarrow \Omega^{\prime }$ непрерывно, где $\Omega$ и $\Omega^{\prime }$ снабжены топологиями $\mathcal{T}$ и $\mathcal{T}^{\prime }$ соответственно, и пусть $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{A}$, $\mathcal{A}^{\prime } = \sigma \left(\mathcal{T}^{\prime }\right)$. Тогда $f$ измеримо.

Изложите подробности доказательства следующего следствия (следствия из теоремы 14). Пусть $X : (\Omega , \mathcal{A}) \rightarrow \left(\mathbb {R}^{n}, \mathcal{B}^{n}\right)$ измеримо, и пусть $f : \left(\mathbb {R}^{n}, \mathcal{B}^{n}\right) \rightarrow \left(\mathbb {R}^{m}, \mathcal{B}^{m}\right)$ непрерывно. Тогда $f(X) : \Omega \rightarrow \mathbb {R}^{m}$ измеримо (т.е. непрерывные функции случайного вектора являются случайными векторами), где $\mathcal{T}_{n}, \mathcal{T}_{m}$ обозначают обычные топологии на $\mathbb {R}^{n}, \mathbb {R}^{m}$, порождающие $\mathcal{B}^{n}, \mathcal{B}^{m}$ соответственно.

Если $X$ и $Y$ — случайные величины, определённые на $(\Omega , \mathcal{A})$, покажите, что $(X+Y)^{+} \leq X^{+}+Y^{+}$ и $(X+Y)^{-} \leq X^{-}+Y^{-}$.

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — произвольные события в $(\Omega , \mathcal{A})$, и определим $B_{m}$ следующим образом: $B_{m} =$ «$A_{m}$ — первое событие, которое происходит среди событий $A_{1}, A_{2}, \ldots$», $m \geq 1$. Тогда

Для последовательности событий $\left\{ A_{n}\right\} , n \geq 1$, покажите, что

Если $A_{n}$ и $B_{n}$ — события, такие что $A_{n} \subseteq B_{n}, n \geq 1$, то покажите, что ($A_{n}$ б.ч.) $\subseteq$ ($B_{n}$ б.ч.).

В $\mathbb {R}$ пусть $Q$ — множество рациональных чисел, и для $n = 1,2, \ldots$ пусть $A_{n}$ определено как

Выясните, существует ли $\lim_{n \rightarrow \infty } A_{n}$.

В $\mathbb {R}$ определим множества $A_{n}, n = 1,2, \ldots$ следующим образом:

Выясните, существует ли $\lim_{n \rightarrow \infty } A_{n}$.

Возьмём $\Omega = \mathbb {R}$, и пусть $\mathcal{A}_{n}$ — $\sigma$-поле, порождённое классом $\{ [0,1),[1,2), \ldots$, $[n-1, n)\} , n \geq 1$. Тогда покажите, что

Пусть $A_{1}, \ldots , A_{n}$ — произвольные подмножества абстрактного множества $\Omega$, и пусть $A_{i}^{\prime }$ есть либо $A_{i}$, либо $A_{i}^{c}, i = 1, \ldots , n$. Определим класс $\mathcal{C}$ подмножеств $\Omega$ следующим образом:

Тогда покажите, что

Если $f: \Omega \rightarrow \Omega^{\prime }$, то покажите, что

Для последовательности случайных величин $\left\{ X_{n}\right\} , n \geq 1$, положим $\mathcal{B}_{k} = \sigma \left(X_{k}, X_{k+1}, \ldots \right), k \geq 1$. Тогда покажите, что для всех $k$ и $l$ с $k < l$ выполняется $\mathcal{B}_{k} \supseteq \mathcal{B}_{l}$.

Для случайных величин $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ положим $S_{k} = \sum_{j = 1}^{k} X_{j}, k = 1, \ldots , n$, и покажите, что $\sigma \left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right) = \sigma \left(S_{1}, S_{2}, \ldots , S_{n}\right)$.

Для любого множества $B \subseteq \mathbb {R}$ множество $B+c \stackrel{\text{ def }}{ = } B_{c}$ определяется как: $B_{c} = \{ y \in \mathbb {R}$; $y = x+c, x \in B\}$. Тогда покажите, что если $B$ измеримо, то и $B_{c}$ измеримо.

Пусть $\Omega$ — абстрактное множество, и пусть $\mathcal{C}$ — произвольный непустой класс подмножеств $\Omega$. Определим класс $\mathcal{F}_{1}$, состоящий из всех элементов $\mathcal{C}$, а также всех их дополнений; т.е.

так что $\mathcal{F}_{1}$ замкнут относительно дополнения. Далее, определим класс $\mathcal{F}_{2}$ следующим образом:

Также определим класс $\mathcal{F}_{3}$ как

Положим $\mathcal{F}_{3} = \mathcal{F}$ и покажите, что

Обратимся к упражнению 41 и положим $\mathcal{A}_{1} = \mathcal{F}_{1}$. Затем определим классы $\mathcal{A}_{2}$ и $\mathcal{A}_{3}$ вместо $\mathcal{F}_{2}$ и $\mathcal{F}_{3}$ соответственно, заменив конечные пересечения и конечные объединения счётными пересечениями и счётными объединениями соответственно. Положим $\mathcal{A}_{3} = \mathcal{A}$ и выясните, является ли $\mathcal{A}$ $\sigma$-полем.