Некоторые геометрические задачи

Если бросить тяжелый выпуклый полиэдр с произвольным внутренним распределением массы на горизонтальную плоскость, то он останется лежать на одной из своих граней. Иными словами, для любой точки $P$, содержащейся внутри выпуклого полиэдра, найдется (по меньшей мере) одна грань $F$ такая, что основание перпендикуляра, опущенного из $P$ на плоскость грани $F$, будет лежать внутри этой грани. Дать чисто геометрическое доказательство, независимое от всяких механических представлений.

Пересечение плоскости $\pi$ с круговым конусом есть эллипс. Пусть $S$ обозначает площадь части конической поверхности, заключенной между эллипсом и вершиной конуса, $p$ и $q$ — расстояния вершины от двух концов большой оси эллипса, а $\alpha$ — угол между осью конуса и любой его образующей. Доказать, что

Два шара, один радиуса $r$, другой радиуса $R$, касаются друг друга извне. Обозначим через $B$ наименьшее выпуклое тело, содержащее оба шара (туго натянутый мешок, содержащий два шара). Пусть $V$ обозначает объем тела $B$, $S$ — площадь его поверхности, а $M$ — его постоянную Минковского (поверхностный интеграл средней кривизны). Доказать, что

Абажур имеет форму усеченного прямого кругового конуса. Его периметр внизу равен $P$, вверху $p$, его образующая равна $s$, а наклон $i$ образующей к плоскости основания $\geqslant 60°$; $P \geqslant p$. Показать, что такой абажур может быть вырезан из одного куска прямоугольного листа бумаги размерами $P$ и $s + \left[p(P-p)\right]/8s$. При этом останется еще бумага на клапан для склейки концов, кроме предельного случая, когда $P=p$, $i=\pi /2$, и бумага совсем не пропадает.

Числа $a$ и $b$ положительны, а $f(x)$ — нелинейная функция, для которой

в интервале $[0, a]$. Доказать, что

(Неравенство становится наглядно очевидным, если обе его части истолковать как площади поверхностей вращения.)

Если на круглой площадке ссыпано данное количество зерна, то максимальный «наклон» получающейся кучи будет тогда наименьшим, когда этой куче придана форма прямого кругового конуса. Доказать следующую теорему, являющуюся аналитической перефразировкой указанного факта:

Пусть функция $f(x, y)$ обладает обеими частными производными

Если $f(x, y)=0$ на границе единичного круга $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$, то в единичном круге имеется точка $\xi$, $\eta$, в которой

причем двойной интеграл распространен по единичному кругу.

Если материальная точка, проходя в единицу времени единицу длины, переходит от состояния покоя к состоянию покоя, то где-нибудь между двумя этими состояниями она должна испытать ускорение, по абсолютной величине превышающее 4. Дать аналитическое истолкование этому факту.

Если кривая всюду выпукла относительно точки $O$, то она занимает угол зрения, меньший $180^{\circ }$, если же она относительно $O$ всюду вогнута и простирается в бесконечность, то угол зрения, занимаемый ею, будет больше $180^{\circ }$.

Пусть $O$ — полюс полярной системы координат $r, \varphi$ и $r=\frac{1}{f(\varphi )}$ уравнение кривой, причем $f(x)$ имеет непрерывные первую и вторую производные. Вычисление радиуса кривизны приводит к следующим двум теоремам:

1. Если $f(x)>0$ в интервале $a \leqslant x \leqslant a+\pi$, то существует такая точка $\xi$ $(a<\xi <a+\pi )$, что

   $$f(\xi )+f^{\prime \prime }(\xi )>0 .$$

2. Если $f(x)>0$, $f(x)+f^{\prime \prime }(x)>0$ при $a<x<b$ и $f(a)=f(b)=0$, то $b-a>\pi$. Доказать эти теоремы чисто аналитически.

На замкнутой выпуклой кривой с непрерывной кривизной существуют всегда по меньшей мере три различные пары точек, обладающие тем свойством, что касательные в обеих точках одной и той же пары параллельны, а кривизна кривой одинакова.

Если выпуклая кривая длины $l$, охватывающая площадь $f$, может свободно катиться по внутренней стороне некоторой другой кривой длины $L$, охватывающей площадь $F$, то

Пусть объем, поверхность и интеграл от средней кривизны для двух выпуклых поверхностей будут соответственно $v, o, m$ и $V, O, M$. Если первая из этих поверхностей может свободно катиться по внутренней стороне второй, то имеют место неравенства

Замкнутая поверхность, подвергнутая всестороннему равномерному давлению, остается в равновесии. Для обоснования этого факта доказать следующие формулы, справедливые для всех замкнутых поверхностей:

Здесь $\cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma$ обозначают направляющие косинусы внешней нормали, $d S$ — элемент площади.

Если на каждый элемент $d S$ замкнутой твердой поверхности с непрерывной кривизной действует направленная по внутренней нормали сила величиной в $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right) d S$, где $R_{1}, R_{2}$ — главные радиусы кривизны, то поверхность остается в равновесии.

Если величина силы, действующей на элемент $d S$ в направлении внутренней нормали, равна $\frac{1}{R_{1} R_{2}} d S$ (т. е. пропорциональна гауссовой кривизне, а не, как выше, средней кривизне), то поверхность также остается в равновесии.

На каждое ребро $k$ твердого полиэдра действует сила $K$, приложенная к центру ребра, перпендикулярная к этому ребру и лежащая в плоскости, делящей внутренний угол между гранями, встречающимися в ребре $k$, пополам. Величина силы $K$ равна $l\left|\cos \frac{\alpha }{2}\right|$, где $l$ — длина ребра $k$ и $\alpha$ — упомянутый только что внутренний угол. Наконец, сила $K$ направлена внутрь или вовне, смотря по тому, является ли ребро $k$ выпуклым или же вдавленным, т. е. сообразно знаку $\cos \frac{\alpha }{2}$.

Система сил $K$ оставляет полиэдр в равновесии.

Если на каждый элемент $d s$ замкнутой твердой пространственной кривой, имеющей непрерывную кривизну, действует сила, равная по величине $\frac{d s}{r}$, где $r$ — радиус кривизны, и направленная в положительную сторону главной нормали, то кривая остается в равновесии.

Пусть из начала координат проведены единичные векторы, параллельные направлению касательной в различных точках непрерывно дифференцируемой пространственной кривой. Концы этих единичных векторов описывают сферическую индикатрису пространственной кривой. Если эта кривая замкнута, то ее сферическая индикатриса пересекает все главные окружности единичной сферы.

Пусть функция $f(x)$ определена в конечном интервале $a \leqslant x \leqslant b$ и удовлетворяет в нем следующим условиям:

1. $f(x)$ положительна внутри и равна нулю на концах интервала $[a, b]$;

2. $f(x)$ в интервале $a<x<b$ имеет непрерывные первую и вторую производные;

3. $f^{\prime }(x) \rightarrow +\infty$ при $x \rightarrow a$, $f^{\prime }(x) \rightarrow -\infty$ при $x \rightarrow b$. При этих предположениях функция

не может оставаться монотонной во всем интервале $a<x<b$, за исключением случая

На замкнутой поверхности вращения с непрерывной кривизной всегда существуют две различные параллели с одинаковой гауссовой кривизной.

Пусть $a, b, c$ — стороны, $\alpha , \beta , \gamma$ — углы (в радианах) некоторого треугольника; $a$ лежит против $\alpha$, $b$ — против $\beta$, $c$ — против $\gamma$. Тогда

Равенство слева имеет место тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний, а справа — когда треугольник вырождается в сложенный вдвое отрезок.

Пусть $k_{1}, k_{2}, \ldots , k_{6}$ — длины шести ребер тетраэдра и $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{6}$ — соответствующие углы между гранями, выраженные в радианах. Тогда

Указанные границы не могут быть сближены.

Рассмотрим треугольник. Пусть $a$, $b$ и $c$ обозначают его стороны, а $A$ — его площадь. Доказать, что

причем равенство имеет место только для равносторонних треугольников.

(Продолжение.) Если $p > 0$, то

причем равенство имеет место только для равносторонних треугольников.

(Продолжение.) Пусть $r$ и $R$ обозначают радиусы соответственно вписанной и описанной окружности треугольника. Доказать, что

причем равенство имеет место только для равносторонних треугольников.

Сформулировать предложение, которое относится к 17.1 так же, как 17 относится к 16.

(Продолжение.) Попытаться найти простые частные случаи, на которых сформулированное выше предложение удобно проверить.

Пусть $P_{0} P_{1} P_{2}$ — прямоугольный треугольник с прямым углом в $P_{2}$, $P_{2} P_{3}$ — перпендикуляр из $P_{2}$ на $P_{0} P_{1}$, точно так же $P_{3} P_{4} \perp P_{1} P_{2}$, $P_{4} P_{5} \perp P_{2} P_{3}$ и т. д. Найти предельную точку $\lim_{n \rightarrow \infty } P_{n}$.

Пусть в пространстве даны две окружности $K$ и $K^{\prime }$, каждая в виде пересечения шаровой поверхности с плоскостью:

Найти целую рациональную функцию от 16 вещественных коэффициентов $a, \ldots , d, A, \ldots , D, a^{\prime }, \ldots , d^{\prime }, A^{\prime }, \ldots , D^{\prime }$, которая была бы отрицательна тогда и только тогда, когда обе окружности сцеплены, т. е. находятся в таком взаимном положении, что хотя и не имеют общих точек, однако, будучи материализованы (скажем, изготовлены из проволоки), не могут быть удалены друг от друга на достаточное расстояние без разрыва.

Пусть $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ — проективные координаты точки на плоскости и $X_{0}$ определено соотношением $X_{0}+X_{1}+X_{2}+X_{3} \equiv 0$. В трехпараметрическом семействе конических сечений

существует двухпараметрическое подсемейство конических сечений, вырождающихся в пары прямых, причем каждая точка плоскости служит особой точкой (вершиной) такой пары. Найти интегральные кривые этих пар прямых. (Во всякой точке $P$ искомой кривой касательная должна совпадать с одной из прямых пары, имеющей вершиной $P$.)

Пусть точка $P$ описывает плоскую кривую. Пусть, далее, $\rho$ — радиус кривизны в точке $P$, и отрезок нормали в $P$, заключающийся между осями прямоугольной системы координат, имеет длину $v$. Определить те кривые, для которых $\rho$ и $v$ находятся в данном отношении:

Постоянная $n$ может считаться положительной, так как $n$ перейдет в $-n$, если поменять ролями $x$ и $y$.

При целом $n$ одно из решений получается в виде рациональной кривой порядка $2 n$, имеющей с бесконечно удаленной прямой $2 n$-кратную точку пересечения.

Семейство поверхностей второго порядка

с параметром $t$ имеет огибающую поверхность $H$ порядка 10 и класса 4. Определить линии кривизны поверхности $H$.

Вывести параметрическое представление поверхности $H$, в котором параметрическими линиями были бы линии кривизны. Эти последние представляют собой алгебраические кривые 12-го порядка.

Поверхность центров кривизны поверхности $H$ и параллельные поверхности служат также огибающими поверхностями некоторого семейства поверхностей второго порядка.

Пусть $F(x, y)$ — непрерывная функция, периодическая с периодом 1 относительно обеих переменных $x, y$:

Пусть, кроме того, функция $F(x, y)$ обладает тем свойством (достаточно предположить, например, что она удовлетворяет условию Липшица), что через каждую точку плоскости проходит одна и только одна неограниченно продолжаемая интегральная кривая дифференциального уравнения

Тогда функции $F(x, y)$ соответствует такое число $\omega$, что для каждой интегральной кривой $y=f(x)$ разность $f(x)-\omega x$ остается ограниченной при всех значениях $x$.