Дополнительные подпространства

Пусть $X$ и $Y$ — подпространства $\mathbb {R}^{3}$, базисами которых служат соответственно $B_{X} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\right\}$ и $B_{Y} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right\}$.

Постройте пример пары нетривиальных дополнительных подпространств $\mathbb {R}^{5}$ и объясните, почему ваш пример подходит.

Постройте пример, показывающий, что если $V = X+Y$, но $X \cap Y \neq 0$, то вектор $v \in V$ может иметь два разных представления $v = x_{1}+y_{1}$ и $v = x_{2}+y_{2}$, где $x_{1},x_{2} \in X$ и $y_{1},y_{2} \in Y$, но $x_{1} \neq x_{2}$ и $y_{1} \neq y_{2}$.

Объясните, почему $\mathbb {R}^{n \times n} = S \oplus K$, где $S$ и $K$ — подпространства симметричных и кососимметричных матриц размера $n\times n$ соответственно. Чему равна проекция $A = \begin{pmatrix} 1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 \\ 7& 8& 9 \end{pmatrix}$ на $S$ вдоль $K$?

Для произвольного векторного пространства пусть $X$ и $Y$ — два подпространства с базисами $B_{X} = \left\{ x_{1},\ldots ,x_{m}\right\}$ и $B_{Y} = \left\{ y_{1},\ldots ,y_{n}\right\}$ соответственно.

Пусть $P$ — проектор, определённый на векторном пространстве $V$. Докажите, что образ проектора есть множество его «неподвижных точек», т.е. $\mathcal{R}(P) = \left\{ x \in V \mid Px=x\right\}$.

Предположим, что $V = X\oplus Y$, и пусть $P$ — проектор на $X$ вдоль $Y$. Докажите, что $\mathcal{R}(P) = \mathcal{N}(I-P) = X$ и $\mathcal{R}(I-P) = \mathcal{N}(P) = Y$.

Объясните, почему $\left\| P\right\|_{2} \geq 1$ для любого проектора $P \neq 0$. Когда $\left\| P\right\|_{2} = 1$?

Объясните, почему $\left\| I-P\right\|_{2} = \left\| P\right\|_{2}$ для всех проекторов, не равных нулю и не равных тождественному оператору.

Докажите, что если $u,v \in \mathbb {R}^{n}$ — векторы, такие что $v^{T}u=1$, то $\left\| I-uv^{T}\right\|_{2} = \left\| uv^{T}\right\|_{2} = \left\| u\right\|_{2}\left\| v\right\|_{2} = \left\| uv^{T}\right\|_{F}$.

Предположим, что $X$ и $Y$ — дополнительные подпространства $\mathbb {R}^{n}$, и пусть $B = \left[X \mid Y\right]$ — невырожденная матрица, столбцы $X$ и $Y$ которой образуют соответствующие базисы $X$ и $Y$. Для произвольного вектора $v \in \mathbb {R}^{n}$ объясните, почему проекцию $v$ на $X$ вдоль $Y$ можно получить следующим двухшаговым процессом.

1. Решить систему $Bz=v$ относительно $z$.

2. Разбить $z$ на блоки $z = \begin{pmatrix} z_{1} \\ z_{2} \end{pmatrix}$ и положить $p = Xz_{1}$.

Пусть $P$ и $Q$ — проекторы.

Докажите, что $\operatorname {rk}\left(P\right) = \operatorname {trace}(P)$ для каждого проектора $P$, определённого на $\mathbb {R}^{n}$.

Пусть $\left\{ X_{i}\right\}_{i=1}^{k}$ — набор подпространств векторного пространства $V$, и пусть $B_{i}$ обозначает базис для $X_{i}$. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. $V = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{k}$ и $X_{j}\cap (X_{1}+\cdots +X_{j-1})=0$ для каждого $j=2,3,\ldots ,k$.

2. Для каждого вектора $v \in V$ существует один и только один способ записать $v = x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}$, где $x_{i}\in X_{i}$.

3. $B = B_{1}\cup B_{2}\cup \cdots \cup B_{k}$, где $B_{i}\cap B_{j}=\emptyset$ при $i\neq j$, является базисом для $V$.

Для дополнительных подпространств $X$ и $Y$ пространства $\mathbb {R}^{n}$ пусть $P$ — проектор на $X$ вдоль $Y$, и пусть $Q = \left[X\mid Y\right]$, где столбцы $X$ и $Y$ составляют базисы для $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что если $Q^{-1}A_{n\times n}Q$ разбито на блоки как $Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} A_{11}& A_{12} \\ A_{21}& A_{22} \end{pmatrix}$, то

Предположим, что $\mathbb {R}^{n} = X\oplus Y$, где $\dim X = r$, и пусть $P$ — проектор на $X$ вдоль $Y$. Объясните, почему существуют матрицы $X_{n\times r}$ и $A_{r\times n}$ такие, что $P = XA$, где $\operatorname {rk}\left(X\right)=\operatorname {rk}\left(A\right)=r$ и $AX = I_{r}$.

Для вещественного или комплексного векторного пространства пусть $E$ — проектор на $X_{1}$ вдоль $Y_{1}$, а $F$ — проектор на $X_{2}$ вдоль $Y_{2}$. Докажите, что $E+F$ является проектором тогда и только тогда, когда $EF=FE=0$, и при этом условии докажите, что $\mathcal{R}(E+F) = X_{1}\oplus X_{2}$ и $\mathcal{N}(E+F) = Y_{1}\cap Y_{2}$.

Для вещественного или комплексного векторного пространства пусть $E$ — проектор на $X_{1}$ вдоль $Y_{1}$, а $F$ — проектор на $X_{2}$ вдоль $Y_{2}$. Докажите, что $E-F$ является проектором тогда и только тогда, когда $EF=FE=F$, и при этом условии докажите, что $\mathcal{R}(E-F) = X_{1}\cap Y_{2}$ и $\mathcal{N}(E-F) = Y_{1}\oplus X_{2}$.

Для вещественного или комплексного векторного пространства пусть $E$ — проектор на $X_{1}$ вдоль $Y_{1}$, а $F$ — проектор на $X_{2}$ вдоль $Y_{2}$. Докажите, что если $EF=P=FE$, то $P$ является проектором на $X_{1}\cap X_{2}$ вдоль $Y_{1}+Y_{2}$.

Внутренним псевдообратным для $A_{m\times n}$ называется матрица $X_{n\times m}$ такая, что $AXA=A$, а внешним псевдообратным для $A$ называется матрица $X$, удовлетворяющая $XAX=X$. Если $X$ является одновременно внутренним и внешним псевдообратным, $X$ называется рефлексивным псевдообратным.