Ортогональное приведение

Для $A \in \mathbb {R}^{m \times n}$ предположим, что $\operatorname {rk}\left(A\right) = n$, и пусть $P$ — ортогональная матрица такая, что $PA = T = \begin{pmatrix} R_{n \times n} \\ 0 \end{pmatrix}$, где $R$ — верхняя треугольная матрица. Если $P^{T}$ разбита на блоки как $P^{T} = \left[X_{m \times n} \mid Y\right]$, объясните, почему столбцы матрицы $X$ образуют ортонормированный базис для $\mathcal{R}(A)$.

Используя приведение Хаусхолдера, найдите ортонормированный базис для $\mathcal{R}(A)$, где $A = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 4 \\ 2 & -14 & -3 \\ -2 & 14 & 0 \\ 1 & -7 & 15 \end{pmatrix}$.

Используя приведение Хаусхолдера, вычислите решение методом наименьших квадратов для $Ax=b$, где $A = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 4 \\ 2 & -14 & -3 \\ -2 & 14 & 0 \\ 1 & -7 & 15 \end{pmatrix}$ и $b = \begin{pmatrix} 5 \\ -15 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix}$.

Если $A = QR$ — QR-разложение для $A$, объясните, почему $\left\| A\right\|_{F} = \left\| R\right\|_{F}$.

Найдите ортогональную матрицу $P$ такую, что $P^{T}AP = H$ имеет верхнюю форму Хессенберга, где $A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -4 \\ 3 & -25 & 50 \\ -4 & 50 & 25 \end{pmatrix}$.

Пусть $H$ — матрица верхней формы Хессенберга, и предположим, что $H = QR$, где $R$ — невырожденная верхнетреугольная матрица. Докажите, что $Q$, а также произведение $RQ$, также должны иметь верхнюю форму Хессенберга.

Приблизительно сколько умножений требуется, чтобы привести невырожденную матрицу $n \times n$ верхней формы Хессенберга к верхнетреугольной форме с помощью плоских вращений?