Унитарные и ортогональные матрицы

Определите, какие из следующих матриц являются изометриями.

Является ли $\begin{pmatrix} \dfrac {1+i}{\sqrt{3}} & \dfrac {1+i}{\sqrt{6}} \\ \dfrac {i}{\sqrt{3}} & \dfrac {-2i}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$ унитарной матрицей?

Пусть $U$ и $V$ — две унитарные (ортогональные) матрицы $n \times n$.

Докажите, как это сделал Кэли в 1846 году, что если $A$ косоэрмитова (или вещественная кососимметричная), то $U = (I-A)(I+A)^{-1} = (I+A)^{-1}(I-A)$ унитарна (ортогональна); для этого сначала покажите, что $(I+A)^{-1}$ существует для косоэрмитовых матриц, а также что $(I-A)(I+A)^{-1} = (I+A)^{-1}(I-A)$.

Предположим, что $R$ и $S$ — элементарные отражения.

Пусть $U_{m \times r}$ — матрица с ортонормированными столбцами, а $V_{k \times n}$ — матрица с ортонормированными строками. Для произвольной $A \in \mathbb {C}^{r \times k}$ решите следующие задачи, используя матричную 2-норму и норму Фробениуса.

Пусть $u = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ и $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Рассмотрим элементарные ортогональные проекторы $Q = I - uu^{*}$ (где $\left\| u\right\| =1$).

Для векторов $u, x \in \mathbb {C}^{n}$ таких, что $\left\| u\right\| =1$, пусть $p$ — ортогональная проекция $x$ на $\left\langle u\right\rangle$. Объясните, почему $\left\| p\right\| \leq \left\| x\right\|$, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда $x$ является скалярным кратным $u$.

Пусть $x = \dfrac {1}{3}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Пусть $R = I - 2uu^{*}$, где $\left\| u_{n \times 1}\right\| = 1$. Если $x$ — неподвижная точка $R$ в том смысле, что $Rx = x$, и если $n>1$, докажите, что $x$ должен быть ортогонален $u$, а затем изобразите эту ситуацию в $\mathbb {R}^{3}$.

Плоскость неподвижных точек u^{\perp } отражения R = I - 2uu^{*}, с изображённым u и неподвижной точкой x.

Пусть $x, y \in \mathbb {R}^{n}$ — векторы такие, что $\left\| x\right\| = \left\| y\right\|$, но $x \neq y$. Объясните, как построить элементарное отражение $R$ такое, что $Rx = y$.

Пусть $x_{n \times 1}$ — вектор такой, что $\left\| x\right\| = 1$, и разобьём $x$ на блоки $x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ \tilde{x} \end{pmatrix}$, где $\tilde{x}$ имеет размер $(n-1) \times 1$.

Выполните следующую последовательность поворотов в $\mathbb {R}^{3}$, начиная с $v_{0} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.

1. Поверните $v_{0}$ против часовой стрелки на $45°$ вокруг оси $x$, получив $v_{1}$.

2. Поверните $v_{1}$ по часовой стрелке на $90°$ вокруг оси $y$, получив $v_{2}$.

3. Поверните $v_{2}$ против часовой стрелки на $30°$ вокруг оси $z$, получив $v_{3}$. Найдите координаты $v_{3}$, а также ортогональную матрицу $Q$ такую, что $Qv_{0} = v_{3}$.

Имеет ли значение порядок, в котором выполняются повороты в $\mathbb {R}^{3}$? Например, предположим, что вектор $v \in \mathbb {R}^{3}$ сначала поворачивается против часовой стрелки вокруг оси $x$ на угол $\theta$, а затем этот вектор поворачивается против часовой стрелки вокруг оси $y$ на угол $\varphi$. Будет ли результат таким же, как если сначала повернуть $v$ против часовой стрелки вокруг оси $y$ на угол $\varphi$, а затем выполнить поворот против часовой стрелки вокруг оси $x$ на угол $\theta$?

Для каждого ненулевого вектора $u \in \mathbb {C}^{n}$ докажите, что $\dim u^{\perp } = n-1$.

Матрица, удовлетворяющая условию $A^{2} = I$, называется инволюцией или инволютивной матрицей, а матрица $P$, удовлетворяющая условию $P^{2} = P$, называется проектором или идемпотентной матрицей. Покажите, что между множеством инволюций и множеством проекторов в $\mathbb {C}^{n \times n}$ существует взаимно однозначное соответствие.

При использовании компьютера для построения и отображения трёхмерного выпуклого многогранника желательно не отрисовывать те грани, которые должны быть скрыты от наблюдателя. Векторное произведение в $\mathbb {R}^{3}$ можно использовать для того, чтобы определить, какие грани видимы, а какие нет: если $u = \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{pmatrix}$ и $v = \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{pmatrix}$, то $u \times v = \begin{pmatrix} u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2} \\ u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3} \\ u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1} \end{pmatrix}$ — это вектор, ортогональный как $u$, так и $v$, направление которого задаётся правилом правой руки.

Слева: наблюдатель, расположенный на положительной полуоси x и смотрящий в сторону начала координат (источник — рисунок 5.6.6). В центре: правило правой руки для u \times v (источник — рисунок 5.6.8). Справа: грань с вершинами p_0,p_1,p_2 и внешней нормалью n (источник — рисунок 5.6.9).

Предположим, что начало координат находится внутри многогранника, и рассмотрим отдельную грань и три вершины $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ на этой грани, перечисленные против часовой стрелки, если смотреть снаружи грани. Вектор $n = (p_{1}-p_{0}) \times (p_{2}-p_{1})$ ортогонален грани и направлен наружу. Объясните, почему внешняя сторона грани видна наблюдателю, расположенному на положительной полуоси $x$ и смотрящему в сторону начала координат, тогда и только тогда, когда первая компонента внешней нормали $n$ положительна. Другими словами, грань отрисовывается тогда и только тогда, когда $n_{1} > 0$.