Ортогональные векторы

Используя стандартное скалярное произведение, определите, какие из следующих пар являются ортогональными векторами в указанном пространстве.

Найдите два вектора единичной нормы, ортогональных вектору $u = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Рассмотрим следующий набор из трёх векторов:

Используя стандартное скалярное произведение, определите разложение Фурье вектора $x$ по $B$, где

Используя скалярное произведение для матриц $\left\langle A, B \right\rangle = \operatorname {trace}(A^{T}B)$, проверьте, что набор

является ортонормированным базисом пространства $\mathbb {R}^{2 \times 2}$, а затем вычислите разложение Фурье матрицы $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ по $B$.

Определите угол между $x = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ и $y = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Дан ортонормированный базис $B$ пространства $V$; объясните, почему разложение Фурье вектора $x \in V$ однозначно определяется базисом $B$.

Объясните, почему столбцы матрицы $U_{n \times n}$ образуют ортонормированный базис пространства $\mathbb {C}^{n}$ тогда и только тогда, когда $U^{*} = U^{-1}$.

Матрицы со свойством $A^{*}A = AA^{*}$ называются нормальными (эрмитовы матрицы, а также вещественные симметричные матрицы входят в этот класс). Докажите, что если $A$ нормальна, то $\mathcal{R}(A) \perp \mathcal{N}(A)$ — то есть каждый вектор из образа матрицы $A$ ортогонален каждому вектору из её нуль-пространства.

Используя скалярное произведение через след $\left\langle A, B \right\rangle = \operatorname {trace}(A^{T}B)$, определите угол между следующими парами матриц.

Почему определение $\cos \theta = \left\langle x, y \right\rangle /\left\| x\right\| \left\| y\right\|$ не годится для $\mathbb {C}^{n}$? Объясните, как следует определить $\cos \theta$, чтобы оно имело смысл в $\mathbb {C}^{n}$.

Если $\left\{ u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{n}\right\}$ — ортонормированный базис пространства со скалярным произведением $V$, объясните, почему

выполняется для всех $x, y \in V$.

Рассмотрим вещественное пространство со скалярным произведением, где $\left\| \star \right\|^{2} = \left\langle \star , \star \right\rangle$.

Пусть $V$ — общее пространство со скалярным произведением, в котором $\left\| \star \right\|^{2} = \left\langle \star , \star \right\rangle$.

Пусть $B = \left\{ u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{n}\right\}$ — ортонормированный базис пространства со скалярным произведением $V$, и пусть $x = \sum_{i} \xi_{i}u_{i}$ — разложение Фурье вектора $x \in V$.

Пусть $B = \left\{ u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{k}\right\}$ — ортонормированное множество в $n$-мерном пространстве со скалярным произведением $V$. Выведите неравенство Бесселя, которое утверждает, что если $x \in V$ и $\xi_{i} = \left\langle u_{i}, x \right\rangle$, то

Объясните, почему равенство выполняется тогда и только тогда, когда $x \in \left\langle u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{k}\right\rangle$.

Постройте пример со стандартным скалярным произведением в $\mathbb {R}^{n}$, показывающий, что угол между двумя векторами $x$ и $y$ может быть близок к $\pi /2$, при этом $x^{T}y$ не будет близко к $0$.

Пример 5.4.3 показывает, что $y$ линейно коррелирует с $x$ в том смысле, что $y \approx \beta_{0}e + \beta_{1}x$, тогда и только тогда, когда стандартизованные векторы $z_{x} = (x-\mu_{x}e)/\sigma_{x}$ и $z_{y} = (y-\mu_{y}e)/\sigma_{y}$ «близки» в том смысле, что они почти лежат на одной прямой в $\mathbb {R}^{n}$ (где $\mu_{x}, \sigma_{x}$ — среднее и стандартное отклонение компонент $x$, и аналогично для $y$). Объясните, почему простое измерение $\left\| z_{x}-z_{y}\right\|_{2}$ не всегда позволяет оценить степень линейной корреляции.

Пусть $\theta$ — угол между двумя векторами $x$ и $y$ из вещественного пространства со скалярным произведением.

Относительно ортонормированного множества

определите разложение в ряд Фурье пилообразной функции, заданной как $f(t) = t$ для $-\pi < t < \pi$ (продолженной периодически).

Периодическое продолжение пилообразной функции f(t)=t на (-\pi ,\pi ).