Банк задач по математике

Задача 5.3.1

(a)(b)(c)(d)

Для $x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}$ , $y = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix}$ определите, какие из следующих выражений являются скалярными произведениями для $\mathbb {R}^{3 \times 1}$ .

?

(a)

$\left\langle x, y \right\rangle = x_{1}y_{1} + x_{3}y_{3}$ ,

(b)

$\left\langle x, y \right\rangle = x_{1}y_{1} - x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}$ ,

(c)

$\left\langle x, y \right\rangle = 2x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + 4x_{3}y_{3}$ ,

(d)

$\left\langle x, y \right\rangle = x_{1}^{2}y_{1}^{2} + x_{2}^{2}y_{2}^{2} + x_{3}^{2}y_{3}^{2}$ .

Примечание.

?

Скалярное произведение на вещественном векторном пространстве $V$ — это функция $\left\langle x, y \right\rangle$ упорядоченных пар векторов, удовлетворяющая условиям: $\left\langle x, x \right\rangle$ вещественно и $\left\langle x, x \right\rangle \geq 0$ , причём $\left\langle x, x \right\rangle = 0$ тогда и только тогда, когда $x = 0$ ; $\left\langle x, \alpha y \right\rangle = \alpha \left\langle x, y \right\rangle$ для всех скаляров $\alpha$ ; $\left\langle x, y+z \right\rangle = \left\langle x, y \right\rangle + \left\langle x, z \right\rangle$ ; и $\left\langle x, y \right\rangle = \left\langle y, x \right\rangle$ .

Задача 5.3.2

(a)(b)(c)

Для общего пространства $V$ со скалярным произведением объясните, почему каждое из следующих утверждений верно.

?

(a)

Если $\left\langle x, y \right\rangle = 0$ для всех $x \in V$ , то $y = 0$ .

(b)

$\left\langle \alpha x, y \right\rangle = \alpha \left\langle x, y \right\rangle$ для всех $x, y \in V$ и всех скаляров $\alpha$ .

(c)

$\left\langle x+y, z \right\rangle = \left\langle x, z \right\rangle + \left\langle y, z \right\rangle$ для всех $x, y, z \in V$ .

Задача 5.3.3

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением $\left\langle x, y \right\rangle$ . Объясните, почему функция, заданная как $\left\| \star \right\| = \sqrt{ \left\langle \star , \star \right\rangle }$ , удовлетворяет первым двум общим свойствам матричной нормы $\left\| A\right\| \geq 0$ с $\left\| A\right\| =0 \iff A=0$ , и $\left\| \alpha A\right\| = \left|\alpha \right|\left\| A\right\|$ .

?

Задача 5.3.4

Для вещественного пространства со скалярным произведением, где $\left\| \star \right\|^{2} = \left\langle \star , \star \right\rangle$ , выведите неравенство

\left\langle x, y \right\rangle \leq \frac{\left\| x\right\| ^{2}+\left\| y\right\| ^{2}}{2}.

?

Задача 5.3.5

(a)(b)(c)

Для матриц $A$ и $B$ размера $n \times n$ объясните, почему каждое из следующих неравенств справедливо.

?

(a)

$\left|\operatorname {trace}(B)\right|^{2} \leq n \, \operatorname {trace}(B^{*}B)$ .

(b)

$\operatorname {trace}(B^{2}) \leq \operatorname {trace}(B^{T}B)$ для вещественных матриц.

(c)

$\operatorname {trace}(A^{T}B) \leq \dfrac {\operatorname {trace}(A^{T}A) + \operatorname {trace}(B^{T}B)}{2}$ для вещественных матриц.

Примечание.

?

Пример 5.3.3: для $A, B \in \mathbb {R}^{m \times n}$ , снабжённых стандартным матричным скалярным произведением $\left\langle A, B \right\rangle = \operatorname {trace}(A^{T}B)$ и соответствующей нормой Фробениуса $\left\| A\right\|_{F} = \sqrt{ \left\langle A, A \right\rangle } = \sqrt{\operatorname {trace}(A^{T}A)}$ , неравенство КБШ $\left\langle A, B \right\rangle^{2} \leq \left\| A\right\|_{F}^{2}\left\| B\right\|_{F}^{2}$ даёт $\operatorname {trace}(A^{T}B)^{2} \leq \operatorname {trace}(A^{T}A)\operatorname {trace}(B^{T}B)$ .

Задача 5.3.6

Распространите доказательство обратного утверждения к тождеству параллелограмма на комплексные пространства.

?

Примечание.

?

Тождество параллелограмма утверждает, что для заданной нормы $\left\| \star \right\|$ на векторном пространстве $V$ существует скалярное произведение на $V$ , такое что $\left\langle \star , \star \right\rangle = \left\| \star \right\|^{2}$ , тогда и только тогда, когда $\left\| x+y\right\|^{2} + \left\| x-y\right\|^{2} = 2\left(\left\| x\right\|^{2}+\left\| y\right\|^{2}\right)$ выполняется для всех $x, y \in V$ . Для вещественного пространства, удовлетворяющего этому тождеству, скалярное произведение, восстанавливающее норму, есть $\left\langle x, y \right\rangle = \frac{1}{4}\left(\left\| x+y\right\|^{2} - \left\| x-y\right\|^{2}\right)$ .

Задача 5.3.7

Объясните, почему не существует скалярного произведения на $\mathbb {C}^{n}$ ( $n \geq 2$ ), такого что $\left\| \star \right\|_{\infty } = \sqrt{ \left\langle \star , \star \right\rangle }$ .

?

Задача 5.3.8

Объясните, почему матричная норма Фробениуса на $\mathbb {C}^{n \times n}$ обязана удовлетворять тождеству параллелограмма.

?

Задача 5.3.9

Для $n \geq 2$ порождена ли скалярным произведением на $\mathbb {C}^{n \times n}$ хотя бы одна из матричных норм 1, 2 или $\infty$ ?

?

Пространства со скалярным произведением