Банк задач по математике

Задача 5.2.1

Вычислите норму Фробениуса для каждой из следующих матриц.

A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & -2 \\ 4 & -2 & 4 \end{pmatrix}.

?

Задача 5.2.2

(a)(b)(c)

Вычислите индуцированные 1-, 2- и $\infty$ -матричные нормы для каждой из трёх матриц, заданных в упражнении 5.2.1: $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & -2 \\ 4 & -2 & 4 \end{pmatrix}$ .

?

(a)

(b)

(c)

Задача 5.2.3

(a)(b)

?

(a)

Объясните, почему $\left\| I\right\| = 1$ для любой индуцированной матричной нормы $\left\| A\right\| = \max_{\left\| x\right\| =1} \left\| Ax\right\|$ .

(b)

Чему равно $\left\| I_{n \times n}\right\|_{F}$ ?

Задача 5.2.4

Объясните, почему $\left\| A\right\|_{F} = \left\| A^{*}\right\|_{F}$ для нормы Фробениуса $\left\| A\right\|_{F}^{2} = \sum_{i,j} \left|a_{ij}\right|^{2} = \operatorname {trace}(A^{*}A)$ .

?

Задача 5.2.5

(a)(b)(c)

Для матриц $A$ и $B$ и для векторов $x$ установите следующие свойства согласованности между векторной нормой, определённой на каждом $\mathbb {C}^{p}$ , и соответствующей индуцированной матричной нормой $\left\| A\right\| = \max_{\left\| x\right\| =1} \left\| Ax\right\|$ .

?

(a)

(b)

(c)

Объясните, почему $\left\| A\right\| = \max_{\left\| x\right\| \leq 1} \left\| Ax\right\|$ .

Задача 5.2.6

Установите следующие свойства матричной 2-нормы.

?

(a)

$\left\| A\right\|_{2} = \max_{\left\| x\right\|_{2}=1, \left\| y\right\|_{2}=1} \left|y^{*}Ax\right|$ ,

(b)

$\left\| A\right\|_{2} = \left\| A^{*}\right\|_{2}$ ,

(c)

$\left\| A^{*}A\right\|_{2} = \left\| A\right\|_{2}^{2}$ ,

(d)

$\left\| \begin{pmatrix} [cc] A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}\right\|_{2} = \max \left\{ \left\| A\right\|_{2}, \left\| B\right\|_{2}\right\}$ (считать $A, B$ вещественными),

(e)

$\left\| U^{*}AV\right\|_{2} = \left\| A\right\|_{2}$ , когда $UU^{*} = I$ и $V^{*}V = I$ .

Задача 5.2.7

Используя индуцированную матричную норму $\left\| A\right\| = \max_{\left\| x\right\| =1} \left\| Ax\right\|$ , докажите, что если $A$ невырождена, то

\left\| A\right\| = \frac{1}{\min _{\left\| x\right\| =1} \left\| A^{-1}x\right\| } \quad \text{или, что эквивалентно,} \quad \left\| A^{-1}\right\| = \frac{1}{\min _{\left\| x\right\| =1} \left\| Ax\right\| }.

?

Задача 5.2.8

Для $A \in \mathbb {C}^{n \times n}$ и параметра $z \in \mathbb {C}$ матрица $R(z) = (zI-A)^{-1}$ называется резольвентой $A$ . Докажите, что если $\left|z\right| > \left\| A\right\|$ для любой индуцированной матричной нормы, то

\left\| R(z)\right\| \leq \frac{1}{\left|z\right| - \left\| A\right\| }.

?

Примечание.

?

Матричные нормы