Банк задач по математике

Задача 5.15.1

(a)(b)

Определите углы $\theta_{\min }$ и $\theta_{\max }$ между следующими подпространствами $\mathbb {R}^{3}$ .

?

(a)

$M = xy\text{-плоскость}$ , $N = \left\langle (1,0,0),(0,1,1)\right\rangle$ .

(b)

$M = xy\text{-плоскость}$ , $N = \left\langle (0,1,1)\right\rangle$ .

Задача 5.15.2

(a)(b)

Определите главные углы между следующими подпространствами $\mathbb {R}^{3}$ .

?

(a)

$M = xy\text{-плоскость}$ , $N = \left\langle (1,0,0),(0,1,1)\right\rangle$ .

(b)

$M = xy\text{-плоскость}$ , $N = \left\langle (0,1,1)\right\rangle$ .

Примечание.

?

Главные углы между $M$ и $N$ определяются рекурсивно: $\theta_{1} = \theta_{\min }$ , где $u_{1}, v_{1}$ — единичные векторы, на которых достигается максимум в $\cos \theta_{\min } = v_{1}^{T}u_{1}$ ; затем $M_{2} = u_{1}^{\perp } \cap M$ , $N_{2} = v_{1}^{\perp } \cap N$ , и $\theta_{2}$ — минимальный угол между $M_{2}$ и $N_{2}$ , и так далее.

Задача 5.15.3

(a)(b)(c)

Пусть $\theta_{\min }$ — минимальный угол между ненулевыми подпространствами $M, N \subseteq \mathbb {R}^{n}$ .

?

(a)

Объясните, почему $\theta_{\max }=0$ тогда и только тогда, когда $M=N$ .

(b)

Объясните, почему $\theta_{\min }=0$ тогда и только тогда, когда $M\cap N \neq 0$ .

(c)

Объясните, почему $\theta_{\min }=\pi /2$ тогда и только тогда, когда $M\perp N$ .

Примечание.

?

Формула (5.15.16): максимальный угол удовлетворяет $\sin \theta_{\max } = \operatorname {gap}(M,N) = \left\| P_{M}-P_{N}\right\|_{2}$ .

Задача 5.15.4

Пусть $\theta_{\min }$ — минимальный угол между ненулевыми подпространствами $M, N \subset \mathbb {R}^{n}$ , и пусть $\theta_{\min }^{\perp }$ обозначает минимальный угол между $M^{\perp }$ и $N^{\perp }$ . Докажите, что если $M\oplus N = \mathbb {R}^{n}$ , то $\theta_{\min } = \theta_{\min }^{\perp }$ .

?

Примечание.

?

Формула (5.15.4): если $M, N$ дополнительны, $\sin \theta_{\min } = 1/\left\| (P_{M} - P_{N})^{-1}\right\|_{2}$ .

Задача 5.15.5

Для ненулевых подпространств $M, N \subset \mathbb {R}^{n}$ пусть $\tilde{\theta }_{\min }$ обозначает минимальный угол между $M$ и $N^{\perp }$ , а $\theta_{\max }$ — максимальный угол между $M$ и $N$ . Докажите, что если $M \oplus N^{\perp } = \mathbb {R}^{n}$ , то $\cos \tilde{\theta }_{\min } = \sin \theta_{\max }$ .

?

Примечание.

?

Задача 5.15.6

Для подпространств $M, N \subseteq \mathbb {R}^{n}$ докажите, что $P_{M}-P_{N}$ невырождена тогда и только тогда, когда $M$ и $N$ — дополнительные подпространства.

?

Примечание.

?

Формула (5.15.7): при U = [U1 | U2], V = [V1 | V2] — ортогональные матрицы, столбцы которых дают ортонормированные базисы для M, M-perp, N-perp, N соответственно (так что P_M = U1 U1^T, P_N = V2 V2^T), U^T (P_M - P_N) V = block-diag(U1^T V1, -U2^T V2).

Задача 5.15.7

(a)(b)(c)

Для дополнительных подпространств $M, N \subset \mathbb {R}^{n}$ пусть $P = P_{MN}$ — косой проектор на $M$ вдоль $N$ , а $Q = P_{M^{\perp }N^{\perp }}$ — косой проектор на $M^{\perp }$ вдоль $N^{\perp }$ .

?

(a)

Докажите, что $(P_{M}-P_{N})^{-1} = P-Q$ .

(b)

Если $\theta_{\min }$ — минимальный угол между $M$ и $N$ , объясните, почему $\sin \theta_{\min } = 1/\left\| P-Q\right\|_{2}$ .

(c)

Объясните, почему $\left\| P-Q\right\|_{2} = \left\| P\right\|_{2}$ .

Задача 5.15.8

Докажите, что если $f: V \to \mathbb {R}$ — функция, определённая на пространстве $V$ такая, что $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ для скаляров $\alpha \geq 0$ , то $\max_{\left\| x\right\| =1} f(x) = \max_{\left\| x\right\| \leq 1} f(x)$ .

?

Задача 5.15.9

(a)(b)

Пусть $M$ и $N$ — ненулевые дополнительные подпространства пространства $\mathbb {R}^{n}$ .

?

(a)

Объясните, почему $P_{MN} = \left[(I-P_{N})P_{M}\right]^{\dagger }$ , где $P_{M}$ и $P_{N}$ — ортогональные проекторы на $M$ и $N$ соответственно, а $P_{MN}$ — косой проектор на $M$ вдоль $N$ .

(b)

Если $\theta_{\min }$ — минимальный угол между $M$ и $N$ , объясните, почему

\sin \theta _{\min } = \left\| \left[(I-P_{N})P_{M}\right]^{\dagger }\right\| _{2}^{-1} = \left\| \left[P_{M}(I-P_{N})\right]^{\dagger }\right\| _{2}^{-1} = \left\| \left[(I-P_{M})P_{N}\right]^{\dagger }\right\| _{2}^{-1} = \left\| \left[P_{N}(I-P_{M})\right]^{\dagger }\right\| _{2}^{-1}.

Задача 5.15.10

(a)(b)

Для дополнительных подпространств $M, N \subset \mathbb {R}^{n}$ пусть $\theta_{\min }$ — минимальный угол между $M$ и $N$ , а $\bar{\theta }_{\min }$ обозначает минимальный угол между $M$ и $N^{\perp }$ .

?

(a)

Если $P_{MN}$ — косой проектор на $M$ вдоль $N$ , докажите, что $\cos \bar{\theta }_{\min } = \left\| P_{MN}^{\dagger }\right\|_{2}$ .

(b)

Объясните, почему $\sin \theta_{\min } \leq \cos \bar{\theta }_{\min }$ .

Задача 5.15.11

(a)(b)

Пусть $U = \left[U_{1}\mid U_{2}\right]$ и $V = \left[V_{1}\mid V_{2}\right]$ — ортогональные матрицы, столбцы которых дают ортонормированные базисы для $M, M^{\perp }, N^{\perp }, N$ соответственно (как в доказательстве (5.15.3)-(5.15.4)).

?

(a)

Докажите, что если $U_{2}^{T}V_{2}$ невырождена, то $\dfrac {1}{\left\| (U_{2}^{T}V_{2})^{-1}\right\|_{2}^{2}} = 1 - \left\| U_{2}^{T}V_{1}\right\|_{2}^{2}$ .

(b)

Докажите, что если $U_{2}^{T}V_{1}$ невырождена, то $\left\| U_{2}^{T}V_{2}\right\|_{2}^{2} = 1 - \dfrac {1}{\left\| (U_{2}^{T}V_{1})^{-1}\right\|_{2}^{2}}$ .

Углы между подпространствами