Сингулярное разложение

Следуя выводу из текста, найдите SVD для $C = \begin{pmatrix} -4& -6 \\ 3& -8 \end{pmatrix}$.

Если $\sigma_{1}\geq \sigma_{2}\geq \cdots \geq \sigma_{r}$ — ненулевые сингулярные числа матрицы $A$, то можно показать, что функция $\nu_{k}(A) = \left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\cdots +\sigma_{k}^{2}\right)^{1/2}$ задаёт унитарно инвариантную норму (упражнение 5.6.9) на $\mathbb {R}^{m\times n}$ (или $\mathbb {C}^{m\times n}$) для каждого $k=1,2,\ldots ,r$. Объясните, почему 2-норма и норма Фробениуса являются крайними случаями в том смысле, что $\left\| A\right\|_{2}^{2} = \sigma_{1}^{2}$ и $\left\| A\right\|_{F}^{2} = \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\cdots +\sigma_{r}^{2}$.

Объясните, почему $\left\| A\right\|_{2} \leq \left\| A\right\|_{F} \leq \sqrt{n}\left\| A\right\|_{2}$ (элементы $(2,F)$ и $(F,2)$ таблицы эквивалентности матричных норм из упражнения 5.1.8/собственной ограничивающей матрицы упражнения 5.12.3).

Докажите, что если $\sigma_{1}\geq \sigma_{2}\geq \cdots \geq \sigma_{r}$ — ненулевые сингулярные числа матрицы $A$ ранга $r$, и если $\left\| E\right\|_{2} < \sigma_{r}$, то $\operatorname {rk}\left(A+E\right) \geq \operatorname {rk}\left(A\right)$.

Обобщите результат об образе единичной сферы, включив сингулярные и прямоугольные матрицы, показав, что если $\sigma_{1}\geq \sigma_{2}\geq \cdots \geq \sigma_{r}>0$ — ненулевые сингулярные числа матрицы $A_{m\times n}$, то образ $A(S_{2}) \subset \mathbb {R}^{m}$ единичной 2-сферы $S_{2}\subset \mathbb {R}^{n}$ является эллипсоидом (возможно, вырожденным), у которого $k$-я полуось равна $\sigma_{k}U_{*k} = AV_{*k}$, где $U_{*k}$ и $V_{*k}$ — соответственно левые и правые сингулярные векторы матрицы $A$.

Докажите, что если $\sigma_{r}$ — наименьшее ненулевое сингулярное число матрицы $A_{m\times n}$, то

Обобщите оценку $\kappa^{-1}\left\| e\right\| /\left\| b\right\| \leq \left\| x-\tilde{x}\right\| /\left\| x\right\| \leq \kappa \left\| e\right\| /\left\| b\right\|$ (где $\kappa = \left\| A\right\| \left\| A^{-1}\right\|$ — для анализа неопределённости невырожденной системы), включив сингулярные и прямоугольные матрицы, показав, что если $x$ и $\tilde{x}$ — соответствующие решения с минимальной 2-нормой совместных систем $Ax=b$ и $A\tilde{x} = \tilde{b} = b-e$, то

Можно ли использовать те же рассуждения, что и в примере с неопределённостью для невырожденного случая, чтобы утверждать, что для $\left\| \star \right\|_{2}$ верхняя и нижняя границы достижимы для любой $A$?

Докажите, что если $\left|\epsilon \right| < \sigma_{r}^{2}$ для наименьшего ненулевого сингулярного числа матрицы $A_{m\times n}$, то $(A^{T}A+\epsilon I)^{-1}$ существует, и $\lim_{\epsilon \to 0}(A^{T}A+\epsilon I)^{-1}A^{T} = A^{\dagger }$.

Рассмотрим систему $Ax=b$, в которой $A = \begin{pmatrix} .835& .667 \\ .333& .266 \end{pmatrix}$, и предположим, что $b$ подвержен неопределённости $e$. Используя $\infty$-нормы, определите направления $b$ и $e$, приводящие к наихудшему случаю $\left\| x-\tilde{x}\right\|_{\infty }/\left\| x\right\|_{\infty } = \kappa_{\infty }\left\| e\right\|_{\infty }/\left\| b\right\|_{\infty }$.

Плохую обусловленность матрицы подозревают, когда при LU-разложении $A$ появляется малый ведущий элемент $u_{ii}$ (поскольку тогда $\left[U^{-1}\right]_{ii} = 1/u_{ii}$ велик), однако это не абсолютный критерий.

Оцените относительную неопределённость решения невырожденной системы $Ax=b$, в которой есть некоторая неопределённость в $A$, но не в $b$, показав, что если $(A-E)\tilde{x}=b$, где $\alpha = \left\| A^{-1}E\right\| < 1$ для любой матричной нормы с $\left\| I\right\| =1$, то

Теперь оцените относительную неопределённость решения невырожденной системы $Ax=b$, в которой есть некоторая неопределённость и в $A$, и в $b$, показав, что если $(A-E)\tilde{x} = b-e$, где $\alpha = \left\| A^{-1}E\right\| < 1$ для любой матричной нормы с $\left\| I\right\| =1$, то

Рассмотрим матрицу $A = \begin{pmatrix} -4& -2& -4& -2 \\ 2& -2& 2& 1 \\ -4& 1& -4& -2 \end{pmatrix}$.

Для матрицы $A$ из упражнения 5.11.8 и $b = \begin{pmatrix} -12& 3& -9 \end{pmatrix}^{T}$ найдите решение $Ax=b$, имеющее минимальную евклидову норму.

Пусть $A = URV^{T}$ — URV-разложение (в частности, это может быть SVD) матрицы $m\times n$ ранга $r$, и пусть $U$ разбита на блоки $U = \left[U_{1}\mid U_{2}\right]$, где $U_{1}$ имеет размер $m\times r$. Докажите, что $P = U_{1}U_{1}^{T} = AA^{\dagger }$ — это проектор на $\mathcal{R}(A)$ вдоль $\mathcal{N}(A^{T})$.

Установите следующие свойства $A^{\dagger }$.

Объясните, почему $A^{\dagger } = A^{D}$ тогда и только тогда, когда $A$ — RPN-матрица (то есть $\mathcal{R}(A)\perp \mathcal{N}(A)$).

Пусть $X, Y \in \mathbb {R}^{m\times n}$ таковы, что $\mathcal{R}(X) \perp \mathcal{R}(Y)$.