Ортогональное разложение

Проверьте теорему об ортогональном разложении для $A = \begin{pmatrix} 2& 1& 1 \\ -1& -1& 0 \\ -2& -1& -1 \end{pmatrix}$.

Для пространства со скалярным произведением $V$, чему равно $V^{\perp }$? Чему равно $0^{\perp }$?

Найдите базис ортогонального дополнения к $M = \left\langle \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 1\\ 6 \end{pmatrix}\right\rangle$.

Для любого пространства со скалярным произведением $V$ докажите, что если $M \subseteq V$, то $M^{\perp }$ является подпространством в $V$.

Если $M$ и $N$ — подпространства $n$-мерного пространства со скалярным произведением, докажите, что следующие утверждения верны.

Объясните, почему теорема о ранге и дефекте является следствием теоремы об ортогональном разложении.

Пусть $A = URV^{T}$ — URV-разложение матрицы размера $m\times n$ ранга $r$, и пусть $U$ разбита на блоки $U = \left[U_{1}\mid U_{2}\right]$, где $U_{1}$ имеет размер $m\times r$. Докажите, что $P = U_{1}U_{1}^{T}$ — проектор на $\mathcal{R}(A)$ вдоль $\mathcal{N}(A^{T})$.

Используя метод редукции Хаусхолдера, вычислите URV-разложение, а также ортонормированные базисы четырёх фундаментальных подпространств для $A = \begin{pmatrix} -4& -2& -4& -2 \\ 2& -2& 2& 1 \\ -4& 1& -4& -2 \end{pmatrix}$.

Вычислите URV-разложение для матрицы из упражнения 5.11.8, используя элементарные преобразования строк вместе с ортогонализацией Грама—Шмидта. Совпадают ли результаты с результатами упражнения 5.11.8?

Для матрицы $A$ из упражнения 5.11.8 найдите векторы $x \in \mathcal{R}(A)$ и $y \in \mathcal{N}(A^{T})$ такие, что $v = x+y$, где $v = \begin{pmatrix} 3& 3& 3 \end{pmatrix}^{T}$. Существует ли более одного выбора для $x$ и $y$?

Постройте квадратную матрицу такую, что $\mathcal{R}(A)\cap \mathcal{N}(A) = 0$, но $\mathcal{R}(A)$ не ортогонально $\mathcal{N}(A)$.

Для сингулярной $A_{n\times n}$ объясните, почему $\mathcal{R}(A)\perp \mathcal{N}(A)$ влечёт $\operatorname {index}(A)=1$, но не наоборот.

Докажите, что вещественно-симметричная матрица $\implies$ эрмитова $\implies$ нормальная $\implies$ (комплексная) RPN (т.е. $\mathcal{R}(A) \perp \mathcal{N}(A)$). Постройте примеры, показывающие, что ни одна из импликаций необратима.

Пусть $A$ — нормальная матрица.