Банк задач по математике

Задача 5.10.1

Если $A$ — квадратная матрица индекса $k>0$ , докажите, что $\operatorname {index}(A^{k})=1$ .

?

Задача 5.10.2

Если $A$ — нильпотентная матрица индекса $k$ , опишите компоненты разложения $A$ на невырожденную и нильпотентную части.

?

Задача 5.10.3

Докажите, что если $A$ — симметричная матрица, то $\operatorname {index}(A) \leq 1$ .

?

Задача 5.10.4

Матрица $A \in \mathbb {C}^{n\times n}$ называется нормальной, если $AA^{*}=A^{*}A$ . Докажите, что если $A$ нормальна, то $\operatorname {index}(A) \leq 1$ .

?

Примечание.

?

Все симметричные матрицы нормальны, так что этот результат включает упражнение 5.10.3 как частный случай.

Задача 5.10.5

Найдите разложение на невырожденную и нильпотентную части, а также псевдообратную Дрэзина для $A = \begin{pmatrix} -2& 0& -4 \\ 4& 2& 4 \\ 3& 2& 2 \end{pmatrix}$ .

?

Задача 5.10.6

(a)(b)

Для квадратной матрицы $A$ любой скаляр $\lambda$ , при котором $A-\lambda I$ вырождена, называется собственным значением $A$ . Индекс собственного значения $\lambda$ определяется как $\operatorname {index}(\lambda ) = \operatorname {index}(A-\lambda I)$ . Определите собственные значения и индекс каждого собственного значения для следующих матриц:

?

(a)

$J = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 1& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 2& 0 \\ 0& 0& 0& 0& 2 \end{pmatrix}$ .

(b)

$J = \begin{pmatrix} 1& 1& 0& 0& 0 \\ 0& 1& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 2& 1 \\ 0& 0& 0& 0& 2 \end{pmatrix}$ .

Задача 5.10.7

(a)(b)

Пусть $P$ — проектор, отличный от единичной матрицы.

?

(a)

Объясните, почему $\operatorname {index}(P)=1$ . Чему равен индекс $I$ ?

(b)

Определите разложение $P$ на невырожденную и нильпотентную части.

Задача 5.10.8

Пусть $N$ — нильпотентная матрица индекса $k$ , и пусть $x$ — такой вектор, что $N^{k-1}x \neq 0$ . Докажите, что множество $C = \left\{ x, Nx, N^{2}x, \ldots , N^{k-1}x\right\}$ линейно независимо.

?

Задача 5.10.9

(a)(b)(c)

Пусть $A$ — квадратная матрица индекса $k$ , и пусть $b \in \mathcal{R}(A^{k})$ .

?

(a)

Объясните, почему линейная система $Ax=b$ обязательно совместна.

(b)

Объясните, почему $x=A^{D}b$ — единственное решение в $\mathcal{R}(A^{k})$ .

(c)

Объясните, почему общее решение задаётся выражением $A^{D}b + \mathcal{N}(A)$ .

Задача 5.10.10

Предположим, что $A$ — квадратная матрица индекса $k$ , и пусть $A^{D}$ — псевдообратная Дрэзина матрицы $A$ . Объясните, почему $AA^{D}$ является проектором на $\mathcal{R}(A^{k})$ вдоль $\mathcal{N}(A^{k})$ . На что и вдоль чего проектирует $I-AA^{D}$ ?

?

Задача 5.10.11

(a)(b)(c)

Алгебраическая группа — это множество $G$ вместе с ассоциативной операцией между его элементами, такой что $G$ замкнуто относительно этой операции; $G$ обладает единичным элементом $E$ (единственным); и каждый элемент $A \in G$ имеет обратный $A^{\# }$ (единственный). Матричная группа — это множество квадратных матриц, образующее алгебраическую группу относительно обычного матричного умножения.

?

(a)

Покажите, что множество невырожденных матриц размера $n\times n$ является матричной группой.

(b)

Покажите, что множество унитарных матриц размера $n\times n$ является подгруппой невырожденных матриц размера $n\times n$ .

(c)

Покажите, что множество $G = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & \alpha \\ \alpha & \alpha \end{pmatrix} \; \middle |\; \alpha \neq 0\right\}$ является матричной группой. В частности, как выглядит единичный элемент $E \in G$ и как выглядит обратный $A^{\# }$ элемента $A \in G$ ?

Примечание.

?

Эти аксиомы по существу совпадают с (A1), (A2), (A4), (A5) в определении векторного пространства.

Задача 5.10.12

Для сингулярных матриц докажите, что следующие утверждения эквивалентны.

?

(a)

$A$ — групповая матрица (т.е. $A$ принадлежит некоторой матричной группе).

(b)

$\mathcal{R}(A) \cap \mathcal{N}(A) = 0$ .

(c)

$\mathcal{R}(A)$ и $\mathcal{N}(A)$ — дополнительные подпространства.

(d)

$\operatorname {index}(A) = 1$ .

(e)

Существуют невырожденные матрицы $Q_{n\times n}$ и $C_{r\times r}$ такие, что $Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} C_{r\times r}& 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}$ , где $r = \operatorname {rk}\left(A\right)$ .

Задача 5.10.13

(a)(b)

Пусть $A \in G$ для некоторой матричной группы $G$ .

?

(a)

Покажите, что единичный элемент $E \in G$ является проектором на $\mathcal{R}(A)$ вдоль $\mathcal{N}(A)$ , доказав, что $E$ должен иметь вид $E = Q\begin{pmatrix} I_{r\times r}& 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}Q^{-1}$ .

(b)

Покажите, что групповой обратный к $A$ (обратный к $A$ в $G$ ) должен иметь вид $A^{\# } = Q\begin{pmatrix} C^{-1}& 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}Q^{-1}$ .

Разложение на образ и ядро