Банк задач по математике

Задача 5.1.1

(a)(b)

Найдите 1-, 2- и $\infty$ -нормы для $x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ и $x = \begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \\ 1 \\ 4i \end{pmatrix}$ .

?

(a)

(b)

Задача 5.1.2

(a)(b)(c)

Рассмотрим евклидову норму с $u = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ и $v = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

?

(a)

Определите расстояние между $u$ и $v$ .

(b)

Проверьте, что неравенство треугольника выполняется для $u$ и $v$ .

(c)

Проверьте, что неравенство КБШ выполняется для $u$ и $v$ .

Задача 5.1.3

Покажите, что $\left(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \cdots + \alpha_{n}\right)^{2} \leq n \left(\alpha_{1}^{2} + \alpha_{2}^{2} + \cdots + \alpha_{n}^{2}\right)$ для $\alpha_{i} \in \mathbb {R}$ .

?

Задача 5.1.4

(a)(b)

?

(a)

Используя евклидову норму, опишите замкнутый шар в $\mathbb {R}^{n}$ с центром в начале координат и единичным радиусом.

(b)

Опишите замкнутый шар с центром в точке $c = \left(\xi_{1} \; \xi_{2} \; \cdots \; \xi_{n}\right)$ радиуса $\rho$ .

Задача 5.1.5

Если $x, y \in \mathbb {R}^{n}$ таковы, что $\left\| x-y\right\|_{2} = \left\| x+y\right\|_{2}$ , чему равно $x^{T}y$ ?

?

Задача 5.1.6

Объясните, почему $\left\| x-y\right\| = \left\| y-x\right\|$ верно для всех норм.

?

Задача 5.1.7

Для произвольной векторной нормы на $\mathbb {C}^{n}$ докажите, что $\left\| v\right\|$ непрерывно зависит от компонент $v$ в том смысле, что для каждого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta > 0$ , что $\left|\left\| x\right\| - \left\| y\right\| \right| < \varepsilon$ , как только $\left|x_{i} - y_{i}\right| < \delta$ для каждого $i$ .

?

Задача 5.1.8

(a)(b)

?

(a)

Для $x \in \mathbb {C}^{n \times 1}$ объясните, почему $\left\| x\right\|_{1} \geq \left\| x\right\|_{2} \geq \left\| x\right\|_{\infty }$ .

(b)

Для $x \in \mathbb {C}^{n \times 1}$ покажите, что $\left\| x\right\|_{i} \leq \alpha \left\| x\right\|_{j}$ , где $\alpha$ — это $(i,j)$ -элемент следующей матрицы. (См. упражнение 5.12.3 для аналогичного утверждения относительно матричных норм.)

\begin{pmatrix} [ccc] & 1 & 2 & \infty \\ 1 & * & \sqrt{n} & n \\ 2 & * & * & \sqrt{n} \\ \infty & * & * & * \end{pmatrix}

Задача 5.1.9

Для $x, y \in \mathbb {C}^{n}$ , $x \neq 0$ , объясните, почему равенство в неравенстве КБШ имеет место тогда и только тогда, когда $y = \alpha x$ , где $\alpha = x^{*}y / x^{*}x$ .

?

Примечание.

?

Формула (5.1.4) из доказательства неравенства КБШ утверждает, что при $\alpha = x^{*}y/x^{*}x$

0 \leq \left\| \alpha x - y\right\| _{2} = \left\| y\right\| _{2}\left\| x\right\| _{2} - \frac{(x^{*}y)(y^{*}x)}{\left\| x\right\| _{2}}.

Задача 5.1.10

Для ненулевых векторов $x, y \in \mathbb {C}^{n}$ с евклидовой нормой докажите, что равенство в неравенстве треугольника имеет место тогда и только тогда, когда $y = \alpha x$ , где $\alpha$ вещественно и положительно.

?

Задача 5.1.11

Используя неравенство Гёльдера

\left|x^{*}y\right| \leq \left\| x\right\| _{p}\left\| y\right\| _{q}

(где $p>1$ , $q>1$ , $1/p+1/q=1$ ), докажите, что если компоненты $x \in \mathbb {R}^{n \times 1}$ в сумме дают нуль (т.е. $x^{T}e = 0$ для $e^{T} = (1,1,\ldots ,1)$ ), то

\left|x^{T}y\right| \leq \left\| x\right\| _{1} \left(\frac{y_{\max }-y_{\min }}{2}\right)

для всех $y \in \mathbb {R}^{n \times 1}$ .

?

Примечание.

?

Для векторов $x$ с "нулевой суммой" эта оценка не хуже, а обычно и точнее, чем само неравенство Гёльдера, поскольку $(y_{\max }-y_{\min })/2 \leq \max_{i} \left|y_{i}\right| = \left\| y\right\|_{\infty }$ .

Задача 5.1.12

(a)(b)(c)

Классическая форма неравенства Гёльдера утверждает, что если $p>1$ и $q>1$ — вещественные числа, такие что $1/p+1/q=1$ , то

\sum _{i=1}^{n} \left|x_{i}y_{i}\right| \leq \left(\sum _{i=1}^{n} \left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p} \left(\sum _{i=1}^{n} \left|y_{i}\right|^{q}\right)^{1/q}.

Выведите это неравенство, выполнив следующие шаги:

?

(a)

Рассматривая функцию $f(t) = (1-\lambda ) + \lambda t - t^{\lambda }$ при $0 < \lambda < 1$ , установите неравенство

\alpha ^{\lambda }\beta ^{1-\lambda } \leq \lambda \alpha + (1-\lambda )\beta

для неотрицательных вещественных чисел $\alpha$ и $\beta$ .

(b)

Пусть $\hat{x} = x/\left\| x\right\|_{p}$ и $\hat{y} = y/\left\| y\right\|_{q}$ ; применяя неравенство из пункта (а), получите

\sum _{i=1}^{n} \left|\hat{x}_{i}\hat{y}_{i}\right| \leq \frac{1}{p}\sum _{i=1}^{n} \left|\hat{x}_{i}\right|^{p} + \frac{1}{q}\sum _{i=1}^{n} \left|\hat{y}_{i}\right|^{q} = 1.

(c)

Выведите классическую форму неравенства Гёльдера, а затем объясните, почему из этого следует, что $\left|x^{*}y\right| \leq \left\| x\right\|_{p}\left\| y\right\|_{q}$ .

Задача 5.1.13

Неравенство треугольника $\left\| x+y\right\|_{p} \leq \left\| x\right\|_{p}+\left\| y\right\|_{p}$ для общей $p$ -нормы на самом деле является классическим неравенством Минковского, которое утверждает, что при $p \geq 1$

\left(\sum _{i=1}^{n} \left|x_{i}+y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p} \leq \left(\sum _{i=1}^{n} \left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p} + \left(\sum _{i=1}^{n} \left|y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.

Выведите неравенство Минковского.

?

Векторные нормы