Преобразования с инвариантной мерой

Проверьте, что следующие преобразования сохраняют меру Лебега:

Проверьте, что преобразование

(«преобразование пекаря») сохраняет меру Лебега $\lambda_{2}$.

Пусть $X=[0,1) \times [0,1), A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ — целочисленная матрица, причём $\operatorname {det} A= \pm 1$. Определим преобразование $T_{A}: X \rightarrow X$ формулами $T_{A}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(y_{1}, y_{2}\right)$ для $\left(x_{1}, x_{2}\right) \in X$, где

Докажите, что

1. $T_{A}$ взаимно однозначно;

2. $T_{A}$ сохраняет меру Лебега.

Отображение $\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto \left(e^{2 \pi i x_{1}}, e^{2 \pi i x_{2}}\right)$ позволяет отождествить $X$ с тором $T^{2}=S^{1} \times S^{1}$ и $T_{A}$ с автоморфизмом $T^{2}$ как группы. Это даёт право назвать преобразование $T_{A}$ автоморфизмом тора.

Напомним принципиальный результат: на всякой компактной группе $G$ существует нетривиальная конечная борелевская мера $\mu$, инвариантная относительно сдвигов:

где $A \subset G, g \in G, g A=\left\{ g x \mid x \in A\right\} , A g=\left\{ x g \mid x \in A\right\}$. В случае метризуемой группы эта мера определена однозначно (с точностью до постоянного множителя) и называется мерой Хаара. Её единственностью можно воспользоваться при решении следующей задачи.

Пусть отображение $T_{A}: X \rightarrow X$ — такое же, как в предыдущей задаче, но $\operatorname {det} A \in \mathbb {Z},\left|\operatorname {det} A\right|>1$. Такое отображение (уже не взаимно однозначное) называется эндоморфизмом тора. Докажите, что оно сохраняет меру Лебега.

Проверьте, что отображение $T(x)=\frac{1}{x} \bmod 1(x \in (0,1])$ сохраняет меру $d \mu =\frac{C}{1+x} d x$.

Найдите абсолютно непрерывную инвариантную меру

Докажите, что преобразование $T$ обладает инвариантной (соответственно, конечной инвариантной, абсолютно непрерывной инвариантной) мерой тогда и только тогда, когда этим свойством обладает некоторая его степень $T^{n}(n \in \mathbb {N})$.

Пусть $T:\left[a, b\right] \rightarrow [a, b]$ — строго монотонное непрерывное преобразование. Докажите, что оно обладает абсолютно непрерывной инвариантной мерой (вообще говоря, бесконечной).

Пусть преобразование $T:\left[a, b\right] \rightarrow [a, b]$ кусочно монотонное и гладкое. Докажите, что если оно обладает притягивающим циклом (см. §1), то $T$ не сохраняет никакую конечную меру, эквивалентную лебеговой.

Существует ли ненулевая мера на $\mathbb {R}$, инвариантная относительно всех

Существует ли нетривиальная мера на $(0,+\infty )$, инвариантная относительно всех преобразований вида

Докажите, что

Пусть $T$ - такое преобразование множества $X \subset \mathbb {R}^{n}$ в себя, что образ $T \lambda_{n}$ меры $\lambda_{n}$ абсолютно непрерывен относительно $\lambda_{n}$, и пусть $f$ - произвольная суммируемая на $X$ функция. Докажите следующие утверждения:

Пусть $T:[0,1) \rightarrow [0,1)$ - произвольное преобразование.

Пусть $T:\left[0,1\right] \rightarrow [0,1]$.

Пусть $\Omega =\left\{ z \in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} z>0\right\}$. Найдите абсолютно непрерывную меру, инвариантную относительно всех конформных автоморфизмов $\Omega$, т.е. прсобразований $T(z)=\frac{a z+b}{c z+d}$, где $a, b, c, d \in \mathbb {R}$ и $\operatorname {det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)>0$.

Пусть $P=\left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} \mid x>0\right\}$. Для каждой точки $(a, b) \in P$ определим преобразования $L_{a, b}$ и $R_{a, b}$ полуплоскости $P$ в себя:

Найдите абсолютно непрерывные меры $\mu_{L}$ и $\mu_{R}$ на $P$, инвариантные относительно всех преобразований $L_{a, b}$ и $R_{a, b}$ соответственно.

Отметим, что преобразования, о которых идёт речь, отвечают преобразованиям левого и правого сдвигов на группе (по умножению) матриц

т.е. преобразованиям $M_{x, y} \mapsto M_{a, b} M_{x, y} ; M_{x, y} \mapsto M_{x, y} M_{a, b}$. Меры $\mu_{L}$ и $\mu_{R}$ называются мерами Xaapa (левой и правой) для этой группы.

Докажите, что если преобразование $T:\left[a, b\right] \rightarrow [a, b]$ сохраняет некоторую конечную абсолютно непрерывную меру, то $T$ топологически сопряжено с некоторым преобразованием того же промежутка, сохраняющим меру Лебега.

Существование инвариантной меры (не обязательно абсолютно непрерывной) часто устанавливается с помощью следующей теоремы Боголюбова—Крылова [КСФ]: для всякого непрерывного отображения компактного множества в себя существует конечная инвариантная мера.

Докажите, что если $T$ — гомеоморфизм окружности $S^{1}$ с иррациональным числом вращения $\alpha$ (см. задачу 1.43), то $T$ связан с поворотом $T_{\alpha }$ окружности на угол $\alpha$ (т.е. $\left.T_{\alpha }\left(e^{2 \pi i x}\right)=e^{2 \pi i(x+\alpha )}\right)$ следующим образом: $h \circ T=T_{\alpha } \circ h$ для некоторого непрерывного отображения $h: S^{1} \rightarrow S^{1}$.

В дальнейшем будем предполагать, что мера $\mu$ конечна и удовлетворяет условию нормировки $\mu (X)=1$ (такие меры называются вероятностными).

Пусть $T$ — преобразование множества $X$. Множество $A \subset X$ называется инвариантньм, если $T^{-1}(A)=A$. Преобразование $T$, сохраняющее меру $\mu$, называется эргодическим, если для каждого инвариантного множества $A \subset X$ справедливо одно из двух: либо $\mu (A)=0$, либо $\mu (X \backslash A)=0$.

Измеримую функцию $f$, заданную на множестве $X$ с мерой $\mu$, назовём инвариантной относительно преобразования $T: X \rightarrow X$, если $f(T x)=f(x)$ для почти всех $x$. Докажите, что для эргодичности $T$ необходимо и достаточно, чтобы всякая инвариантная измеримая функция совпадала с константой почти везде.

Эргодичны ли следующие преобразования:

Пусть $X$ — множество в $\mathbb {R}^{n}$, которое является замыканием множества своих внутренних точек, $T$-- преобразование $X$, сохраняющее меру Лебега. Докажите, что если $T$ эргодично, то для почти всех $x \in X$ траектория точки $x$ всюду плотна.

Пусть $X=[0,1)^{n}$ — $n$-мерный тор $(n \in \mathbb {N}), S$ — сдвиг $x \mapsto y=S(x), \quad$ задаваемый формулой $\quad y_{k}=\left(x_{k}+\alpha_{k}\right) \bmod 1$, $k=1, \ldots , n$. При каких значениях $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ сдвиг эргодичен?

Докажите, что отображения отрезка $\left[0,1\right]$ в себя, задаваемые формулами

метрически сопряжены. (Отображения $T: X \rightarrow X$ и $S: Y \rightarrow Y$, сохраняющие меры $\mu$ и $v$ соответственно, называются метрически сопряжёнными, если существует такое измеримое отображение $h: X \rightarrow Y$, что $h \mu =v$ и $S \circ h(x)=h \circ T(x)$ для почти всех $x \in X$.)

Докажите, что отображение $T$ отрезка $\left[-1,1\right]$ в себя, сохраняющее меру $\mu$, эргодично, если

Докажите, что если $T: X \rightarrow X$ — преобразование, сохраняющее вероятностную меру $\mu$, а $f$ — положительная функция, то $\sum_{k} f\left(T^{k}(x)\right)=+\infty$ для почти всех (относительно $\left.\mu \right) x \in X$.

Основной теоремой теории преобразований с инвариантной мерой (или «эргодической теории») является эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина (см. [Би], [КСФ]): Пусть $T$ — сохраняющее вероятностную меру $\mu$ преобразование множества $X, f$ — измеримая функция, причём

Тогда для почти каждого (по мере $\mu$) $x \in X$ существует предел

который называется средним значением функции $f$ вдоль траектории точки $x$. При этом функция $\bar{f}$ инвариантна и

Если $T$ эргодично, то $\bar{f}$ оказывается константой (см. задачу 2.20), равной $\int_{X} f(x) d \mu (x)$ (т. е. среднему значению $f$ на $X$).

Пусть $T: X \rightarrow X$ — эргодическое преобразование, сохраняющее вероятностную меру $\mu , A$ — измеримое подмножество в $X$.

Пусть $\varepsilon_{n}=0$, если $T^{n}(x) \notin A$, и $\varepsilon_{n}=1$, если $T^{n}(x) \in A(n \geqslant 0)$. Докажите, что для почти всех $x \in X$ существует предел $\lim \frac{1}{n} \sum_{0 \leqslant k<n} \varepsilon_{k}$ (среднее число попаданий траектории в множество $A$), и найдите его.

Вероятностные меры $\mu_{1}, \mu_{2}$ на $X$ называются взаимно сингулярными, если существует такое множество $A \subset X$, что $\mu_{1}(A)=1$ и $\mu_{2}(A)=0$.

Пусть $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$-- две вероятностные меры на $X, T$-- преобразование, эргодическое относительно как $\mu_{1}$, так и $\mu_{2}$. Докажите, что меры $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ либо совпадают, либо взаимно сингулярны.

Рассмотрим иррациональный сдвиг

Он эргодичен согласно 2.21 а). По эргодической теореме для любой суммируемой функции $f$ на $X$ и для почти всех $x \in X$ выполняется равенство

1. Докажите, что если $f \in C(\left[0,1\right])$, то для сдвига $S$ можно утверждать большее, а именно что равенство (1) справедливо для любого $x \in [0,1)$. (Предположите вначале, что $f(0)=f(1)$, а затем рассмотрите общий случай.)

2. Докажите, что если $\Delta =\langle a, b\rangle \subset [0,1), \chi_{\Delta }(x)=1$ при $x \in \Delta$, $\chi_{\Delta }(x)=0$ при $x \notin \Delta$, то

   $$\lim \frac{1}{n} \sum _{0 \leqslant k<n} \chi _{\Delta }\left(S^{k}(x)\right)=b-a \tag {2}$$

   для всех $x \in [0,1)$. Если $\left\{ S^{k}(x)\right\}$ заменить произвольной последовательностью $\left\{ x_{k}\right\}$, то свойство б) называют равномерной распределённостью этой последовательности (см. [ПС], [КН]).

Для равномерного распределения последовательности $\left\{ x_{k}\right\}$ и непрерывной на $\left[0,1\right]$ функции $f$ выполняется соотношение, аналогичное (1):

В частности,

Это условие не только необходимо, но и достаточно для равномерной распределенности. Последнее утверждение называется критерием Вейля (ср. с задачей I.3.9).

Пусть $x=\sum \frac{x_{k}}{2^{k}}, x_{k} \in \left\{ 0,1\right\}$ — двоичное разложение числа $x \in [0,1)$. Используя эргодичность преобразования удвоения (см. задачу 2.21 б)), докажите, что для почти всех $x \in [0,1)$ существует предел $\lim \frac{1}{n} \sum_{0 \leqslant k<n} x_{k}$ (частота появления единицы), и найдите его. Решите аналогичную задачу для разложений в $p$-ичную дробь (ср. с задачами IX.2.14, IX.2.16).

Докажите, что если преобразование $T: X \rightarrow X$, сохраняющее вероятностную меру $\mu$, обладает свойством

(свойство перемешивания относительно меры $\mu$), то $T$ эргодично.

Докажите, что преобразование

перемешивающее, а иррациональный сдвиг (см. задачу 2.29) — не перемешивающее относительно меры Лебега.

Пусть $p \in (0,1), q=1-p, \mu_{p}$ — мера на отрезке $\left[0,1\right]$, задаваемая следующим образом: если $\varepsilon_{1}, \ldots , \varepsilon_{n} \in \left\{ 0,1\right\}$ и

(здесь $x=\sum \frac{x_{k}}{2^{k}}$ — двоичное разложение числа $x$), то

а на остальные отрезки мера распространяется по аддитивности. Проверьте, что

1. преобразование $T(x)=(2 x) \bmod 1$ перемешивающее относительно меры $\mu_{p}$ (см. задачу 2.32);

2. $\mu_{1 / 2}=\lambda$;

3. меры $\mu_{p}$ и $\lambda$ взаимно сингулярны при $p \neq \frac{1}{2}$;

4. $\mu_{p_{1}}$ взаимно сингулярна с $\mu_{p_{2}}$ при $p_{1} \neq p_{2}$.

Пусть $a_{k}$ — первая цифра десятичной записи числа $2^{k} (k=0,1, \ldots )$, т.е. $a_{0}=1, a_{1}=2, a_{2}=4, a_{3}=8, a_{4}=1, \ldots$ Какова частота появления в этой последовательности цифры $p \in \left\{ 1, \ldots , 9\right\}$ ?

Как известно, всякое число $x$ из промежутка $(0,1]$ можно однозначно представить в виде непрерывной (цепной) дроби

что также записывается в виде $x=\left[a_{1}, a_{2}, \ldots \right]$, где $a_{1}=a_{1}(x), a_{2}=a_{2}(x)$, $a_{3}=a_{3}(x), \ldots$ — натуральные числа. Такая дробь содержит конечное число членов лишь в том случае, когда $x$ рационально. Конечная цепная дробь $\left[a_{1}, \ldots , a_{n}\right]$ однозначно записывается в виде несократимой дроби $\frac{p_{n}}{q_{n}}$. Под значением бесконечной цепной дроби понимается предел конечных:

число $\frac{p_{n}}{q_{n}}=\frac{p_{n}(x)}{q_{n}(x)}$ называется подходящей дробью. Несложно проверяется, что

Разнообразные сведения о цепных дробях можно почерпнуть из книги $[\mathrm{X}]$. С разложением чисел в цепную дробь связано преобразование Гаусса

Действительно, пусть $x=\left[a_{1}, a_{2}, \ldots \right], y=\left[a_{2}, a_{3}, \ldots \right]$. Тогда $x=\frac{1}{a_{1}+y}$, откуда следует, что $y=T(x)$. С помощью $T$ числа $a_{n}$ записываются так:

Преобразование Гаусса сохраняет меру $d \mu =\frac{c}{1+x} d x$ (см. задачу 2.5). Мера $\mu$ вероятностная при $c=\frac{1}{\ln 2}$. С интересными приложениями эргодической теории к теории чисел и цепным дробям читатель может познакомиться в [Po].