Итерации преобразований отрезка

Пусть для функции $f: \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ при любом $n \in \mathbb {N}$ выполняется неравенство $f(n+1)>f(f(n))$. Докажите, что $f(n)=n$ при любом $n \in \mathbb {N}$.

Существует ли непрерывная функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, удовлетворяющая уравнению $f \circ f=F$, в следующих случаях:

Пусть $f(x)=x+1, g(x)=x-1(x \in \mathbb {R})$. Подберите две инволюции $h$ и $k$ таким образом, чтобы выполнялись соотношения $h \circ k=f, k \circ h=g$.

Докажите, что каждая биекция множества на себя есть композиция двух инволюций.

Неподвижной точкой отображения $f$ называется такая точка $x$ из области его задания, что $f(x)=x$.

Докажите, что непрерывное отображение $f: \Delta \rightarrow \mathbb {R}$, где $\Delta$ некоторый промежуток, обладает неподвижной точкой в каждом из следующих случаев:

Пусть функция $f \in C(\left[a, b\right])$ возрастает, $f(\left[a, b\right]) \subset [a, b]$. Докажите, что для каждого $x_{0} \in [a, b]$ последовательность $x_{n}=f\left(x_{n-1}\right)$ ($n \in \mathbb {N}$) сходится к неподвижной точке. Верно ли это, если $f$ — убывающая функция?

Пусть $f \in C(\mathbb {R})$. Для $x_{0} \in \mathbb {R}$ положим $x_{1}=f\left(x_{0}\right), x_{k}=f\left(x_{k-1}\right) (k \in \mathbb {N})$. Докажите, что если для некоторого $x_{0} \in \mathbb {R}$ последовательность $\left\{ \frac{1}{n} \sum_{0 \leqslant k<n} f\left(x_{k}\right)\right\}$ ограничена, то $f$ обладает неподвижной точкой. Верно ли это для непрерывных отображений $f: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ ?

Докажите, что конечная группа аффинных преобразований пло скости обладает неподвижной точкой (общей для всех преобразований группы).

Отображения $f: \Delta_{1} \rightarrow \Delta_{1}$ и $g: \Delta_{2} \rightarrow \Delta_{2}\left(\Delta_{1}, \Delta_{2}\right.$ — интервалы на прямой) называются топологически сопряжёнными, если существует такая непрерывная биекция (гомеоморфизм) $h: \Delta_{2} \rightarrow \Delta_{1}$, что $f=h \circ g \circ h^{-1}$ (т.е. $h \circ g=f \circ h$). В этом случае будем употреблять обозначение $f \sim g$, а отображение $h$ будем называть сопрягающим.

В задачах 1.9-1.12 предполагастся, что отображения непрерывны, заданы на интервалах и переводят их в себя.

Докажите, что отношение топологической сопряжённости есть отношение эквивалентности, т. е.

Докажите, что топологически сопряжённые отображения одновременно обладают или нет следующими свойствами:

Докажите, что топологически сопряжённые отображсния имеют

Докажите, что если $f \sim g$, то промежутки, на которых выполняется неравенство $f(x)>x$, переводятся сопрягающим отображением $h$ в промежутки, на которых (в зависимости от характера монотонности $h)$ выполняется такое же или противоположное строгое неравенство для отображения $g$. Докажите, что если отображения $f$ и $g$ заданы на $\mathbb {R}$ и одно из них нечётно, то сопрягающую биекцию $h$ можно выбрать возрастающей.

Выясните, будут ли определённые на $\mathbb {R}$ отображения $f$ и $g$ топологически сопряжены в следующих случаях:

Пусть $\alpha >0, \alpha \neq 1, f_{\alpha }(x)=x^{\alpha }, g_{\alpha }(x)=x^{-\alpha }(x>0)$. При каких $\alpha$ и $\beta$ топологически сопряжены функции

Докажите топологическую сопряжённость непрерывных отображений $f, g:\left[-1,1\right] \rightarrow [-1,1]$, задаваемых следующим образом:

Пусть $f:\left[a_{1}, b_{1}\right] \rightarrow \left[a_{1}, b_{1}\right], g:\left[a_{2}, b_{2}\right] \rightarrow \left[a_{2}, b_{2}\right]$ — гомеоморфизмы отрезков, не имеющие неподвижных внутренних точек. Докажите, что $f \sim g$. Проверьте, что утверждение остаётся в силе, если отрезки заменить открытыми интервалами.

Расклассифицируйте, с точностью до топологической сопряжённости, гомеоморфизмы отрезка на себя, имеющие конечное множество неподвижных точек, в число которых входят концы отрезка.

Пусть $f$ — отображение промежутка $\Delta \subset \mathbb {R}$ в себя,

Будем говорить, что метод последовательных приближений с начальной точкой $x_{0} \in \Delta$ сходится, если существует предел $\lim x_{n}$, где $x_{n}=f^{n}\left(x_{0}\right)$.

Пусть функция $f \in C(\left[a, b\right])$ возрастает. Докажите, что метод последовательных приближений сходится для любой начальной точки $x_{0} \in [a, b]$, если

Докажите сходимость метода последовательных приближений при любой начальной точке $x_{0} \in \Delta$ и найдите $\lim x_{n}$ для следующих отображений $f$ :

Выясните, для каких начальных точек $x_{0}$ из области задания отображения $f$ сходится метод последовательных приближений, и найдите $\lim x_{n}$, если

Пусть $x^{*}$ - неподвижная то чка отображения $f$, причём $f$ дифференцируемо в $x^{*}$. Докажите, что

При каких значениях параметра $a$ и при каких $x_{0} \in \mathbb {R}$ последовательность итераций $x_{n}=f^{n}\left(x_{0}\right)$ сходится, если

Пусть $\varphi \in C^{2}(\Delta ), c \in \Delta , \varphi (c)=0,\left|\varphi^{\prime }(x)\right|>m>0$ для $x \in \Delta$. Докажите, что если точка $x_{0}$ достаточно близка к $c$, то

Докажите, что если $\varphi \in C^{(n)}(\Delta ), c \in \Delta , \varphi (c)=\varphi^{\prime }(c)=\ldots = =\varphi^{(n-1)}(c)=0, \varphi^{(n)}(c) \neq 0$, то для начальных точек $x_{0}$, достаточно близких к $c$, итерационный процесс Ньютона сходится к $c$, причём $\left|x_{k}-c\right| \leqslant M q^{k}(M>0,0<q<1)$.

Пусть $\varphi \in C^{2}(\left[a, b\right])$ — такая функция, что $\varphi \varphi^{\prime \prime }>0$ в $(a, b)$ и $\varphi (a)=\varphi^{\prime \prime }(b)=0$ (или $\varphi (b)=\varphi^{\prime \prime }(a)=0$). Проверьте, что для любой начальной точки из $\left[a, b\right]$ итерационный процесс Ньютона сходится к корню $\varphi$.

Пусть $P$ — многочлен, имеющий лишь простые вещественные корни. Докажите, что если $x_{0}$ — точка пере гиба $P\left(\right.$ т. е. $P^{\prime \prime }\left(x_{0}\right)=0$), то итерационный процесс Ньютона, начатый в точке $x_{0}$, сходится к корню $P$. Подобным образом, варьируя точки перегиба, можно найти все корни, за исключением минимального и максимального.

Назовём множество $\left\{ x_{n}=f^{n}\left(x_{0}\right) \mid n \in \mathbb {N}\right\}$ траекторией точки $x_{0}$. Если траектория конечна, то, очевидно, существует такое $n \in \mathbb {N}$, что точки $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n-1}$ попарно различны, а $x_{n}=x_{0}, x_{n+1}=x_{1}, \ldots$ В этом случае $x_{0}$ называется периодической точкой, число $n$ — её периодом, а набор $\left(x_{0}, \ldots , x_{n-1}\right)$ — $n$-ииклом. Будем говорить, что $n$-иикл притягивающий, если точка $x_{0}$ — притягивающая неподвижная точка для $f^{n}$, и отталкивающий, если $x_{0}$ — отталкивающая неподвижная точка $f^{n}$.

Пусть $\left(x_{0}^{*}, x_{1}^{*}, \ldots , x_{n-1}^{*}\right)-n$-цикл отображения $f$. Докажите, что

Пусть $f$ - непрерывное отображение отрезка $\Delta$ в себя, $I_{0}, I_{1}, \ldots$ - конечная или бесконечная последовательность отрезков, причём $I_{0} \subset \Delta , I_{n+1} \subset f\left(I_{n}\right)$ при любом $n \geqslant 0$. Докажите, что

Докажите, что если непрерывное отображение отрезка в себя имеет 4 -цикл, то оно имеет также 2 -цикл.

Пусть $f: \Delta \rightarrow \Delta$ — непрерывное отображение отрезка в себя. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:

1. существует такая точка $a \in \Delta$, что точки $b=f(a), c=f^{2}(a)$, $d=f^{3}(a)$ удовлетворяют неравенствам $d \leqslant a<b<c$ или $c<b<a \leqslant d$;

2. в $\Delta$ существует точка, имеющая период три;

3. для любого $m \in \mathbb {N}$ в $\Delta$ существует точка, имеющая период $m$.

Импликация б) ⇒ в) и задача 1.30 являются частными случаями теоремы А.Н. Шарковского [Ш]. Пусть $f: \Delta \rightarrow \Delta$ — непрерывное отображение $(\Delta =\left[a, b\right])$. Рассмотрим натуральный ряд, упорядоченный следующим образом: $1,2,4,8, \ldots , 2^{n}, \ldots , \ldots , 2^{m} \cdot 7,2^{m} \cdot 5,2^{m} \cdot 3, \ldots$,

Если $p$ стоит в этом ряду левее $q$ и $f$ обладает $q$-циклом, то $f$ обладает также $p$-циклом.

Докажите, что при $n \geqslant 2$ многочлен Чебышёва $T_{n}$ (см. задачи I.2.20 и 1.16 б)), заданный на $\left[-1,1\right]$, обладает циклами произвольного порядка.

Найдите значения параметра $a$, при которых отображение $f(x)=1-a\left|x\right|(x \in \mathbb {R})$ обладает

Пусть $a>0, f(x)=1-a x^{2}(x \in \mathbb {R})$. Выясните, при каких значениях параметра $a$ существуют притягивающая неподвижная точка и притягивающий 2 -цикл. Найдите «моменты рождений» 2 -, 4 и 3 -циклов (т.е. нижние границы значений $a$, при которых эти циклы существуют).

Пусть $f(x)=b x(1-x)(x \in [0,1]), 0<b \leqslant 4$. Найдите нижнюю границу значений параметра $b$, при которых $f$ имеет

Пусть $x_{0} \in (0,1)$ — неподвижная точка непрерывного отображения $f:\left[0,1\right] \rightarrow [0,1]$. Докажите, что если односторонние производные $f_{ \pm }^{\prime }\left(x_{0}\right)$ отрицательны и $f_{+}^{\prime }\left(x_{0}\right) f_{-}^{\prime }\left(x_{0}\right)>1$, то $f$ имеет 2-цикл. В частности, 2 -цикл существует, если $f^{\prime }\left(x_{0}\right)<-1$.

Пусть $g$ — кусочно гладкое отображение отрезка $\left[0,1\right]$ в себя. Докажите, что если $\left|g^{\prime }(x)\right| \geqslant a>1$ во всех точках, где производная существует, то $g$ имеет $2^{n}$-цикл при любом $n \in \mathbb {N}$. Покажите на примере, что это неверно, если гладкость отображения нарушается в счётном множестве точек.

В задачах $1.38-1.40$ мы будем рассматривать такие отображения $f$ отрезка $\Delta =\left[a, b\right]$ в себя, что $f \in C^{3}(\Delta )$ и производная Шварца $S f$ (см. задачи VII.2.25, VII.2.26 и определение перед ними) отрицательна в тех точках $x$, которые не являются критическими точками $f$ (т. е. там, где $f^{\prime }(x) \neq 0$). Класс таких отображений обозначим символом $S(\Delta )$.

Пусть $f \in S(\Delta )$ и множество критических точек $f$ конечно. Докажите, что для каждого $n \in \mathbb {N}$ преобразование $f$ может обладать лишь конечным числом $n$-циклов.

Пусть $f \in S(\Delta ), g=f^{n}(n \geqslant 1), x<y<z$ — последовательные неподвижные точки отображения $g$. Докажите, что если отрезок $\left[x, y\right]$ не содержит критических точек $g$, то $g^{\prime }(y)>1$.

Пусть отображение $f \in S(\Delta )$ имеет единственную критическую точку $c \in (a, b)$. Докажите, что каждый притягивающий цикл отображения $f$ притягивает траекторию одной из точек $a, c, b$ и, следовательно, $f$ может иметь не более трёх притягивающих циклов.

Докажите, что отображение вида $f(x)=1-a x^{2}(x \in \mathbb {R})$ при $a \leqslant 2$ не может иметь более одного притягивающего цикла, а при $a=2$ имеет $n$-цикл для любого $n \in \mathbb {N}$, но ни один из них не является притягивающим.

Пусть $\varphi$ - непрерывное отображение окружности в себя, имеющее неподвижную точку и 3 -цикл.

Пусть $f$ - непрерывная возрастающая функция на прямой, удовлетворяющая условию $f(x+1)=f(x)+1$. Докажите, что

Проверьте, что следующие преобразования сохраняют меру Лебега:

Проверьте, что преобразование

(«преобразование пекаря») сохраняет меру Лебега $\lambda_{2}$.

Пусть $X=[0,1) \times [0,1), A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ — целочисленная матрица, причём $\operatorname {det} A= \pm 1$. Определим преобразование $T_{A}: X \rightarrow X$ формулами $T_{A}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(y_{1}, y_{2}\right)$ для $\left(x_{1}, x_{2}\right) \in X$, где

Докажите, что

1. $T_{A}$ взаимно однозначно;

2. $T_{A}$ сохраняет меру Лебега.

Отображение $\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto \left(e^{2 \pi i x_{1}}, e^{2 \pi i x_{2}}\right)$ позволяет отождествить $X$ с тором $T^{2}=S^{1} \times S^{1}$ и $T_{A}$ с автоморфизмом $T^{2}$ как группы. Это даёт право назвать преобразование $T_{A}$ автоморфизмом тора.

Напомним принципиальный результат: на всякой компактной группе $G$ существует нетривиальная конечная борелевская мера $\mu$, инвариантная относительно сдвигов:

где $A \subset G, g \in G, g A=\left\{ g x \mid x \in A\right\} , A g=\left\{ x g \mid x \in A\right\}$. В случае метризуемой группы эта мера определена однозначно (с точностью до постоянного множителя) и называется мерой Хаара. Её единственностью можно воспользоваться при решении следующей задачи.

Пусть отображение $T_{A}: X \rightarrow X$ — такое же, как в предыдущей задаче, но $\operatorname {det} A \in \mathbb {Z},\left|\operatorname {det} A\right|>1$. Такое отображение (уже не взаимно однозначное) называется эндоморфизмом тора. Докажите, что оно сохраняет меру Лебега.

Проверьте, что отображение $T(x)=\frac{1}{x} \bmod 1(x \in (0,1])$ сохраняет меру $d \mu =\frac{C}{1+x} d x$.

Найдите абсолютно непрерывную инвариантную меру

Докажите, что преобразование $T$ обладает инвариантной (соответственно, конечной инвариантной, абсолютно непрерывной инвариантной) мерой тогда и только тогда, когда этим свойством обладает некоторая его степень $T^{n}(n \in \mathbb {N})$.

Пусть $T:\left[a, b\right] \rightarrow [a, b]$ — строго монотонное непрерывное преобразование. Докажите, что оно обладает абсолютно непрерывной инвариантной мерой (вообще говоря, бесконечной).

Пусть преобразование $T:\left[a, b\right] \rightarrow [a, b]$ кусочно монотонное и гладкое. Докажите, что если оно обладает притягивающим циклом (см. §1), то $T$ не сохраняет никакую конечную меру, эквивалентную лебеговой.

Существует ли ненулевая мера на $\mathbb {R}$, инвариантная относительно всех

Существует ли нетривиальная мера на $(0,+\infty )$, инвариантная относительно всех преобразований вида

Докажите, что

Пусть $T$ - такое преобразование множества $X \subset \mathbb {R}^{n}$ в себя, что образ $T \lambda_{n}$ меры $\lambda_{n}$ абсолютно непрерывен относительно $\lambda_{n}$, и пусть $f$ - произвольная суммируемая на $X$ функция. Докажите следующие утверждения: