V.2

Вычисление кратных интегралов

[19/100%]
Показать
LaTeX
Задача V.2.1

Вычислите интеграл ∫0+∞∫0+∞∣ln⁡x−ln⁡y∣e−(x+y)dxdy\int_{0}^{+\infty } \int_{0}^{+\infty }|\ln x-\ln y| e^{-(x+y)} d x d y.

?
Задача V.2.2

Вычислите интегралы

?
(а)

∫(0,1)nmax⁡(x1,…,xn)dx1…dxn\int_{(0,1)^{n}} \max \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) d x_{1} \ldots d x_{n};

(б)

∫(0,1)nmin⁡(x1,…,xn)dx1…dxn\int_{(0,1)^{n}} \min \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) d x_{1} \ldots d x_{n};

(в)

∫(0,1)n(min⁡(x1,…,xn)max⁡(x1,…,xn))pdx1…dxn(p>−1)\int_{(0,1)^{n}}\left(\frac{\min \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)}{\max \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)}\right)^{p} d x_{1} \ldots d x_{n} \quad (p>-1);

(г)

∫[1,+∞)ndx1…dxnx1…xn(max⁡(x1,…,xn))ε(ε>0)\int_{[1,+\infty )^{n}} \frac{d x_{1} \ldots d x_{n}}{x_{1} \ldots x_{n}\left(\max \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)\right)^{\varepsilon }} \quad (\varepsilon >0).

Задача V.2.3

Вычислите интеграл ∫Rne−∥x∥2/2dx\int_{\mathbb {R}^{n}} e^{-\| x\|^{2} / 2} d x.

?
Задача V.2.4

Вычислите интегралы

?
(а)

∬R2∣ax+by∣dxdye(x2+y2)/2\iint_{\mathbb {R}^{2}}\left|a x+b y\right| \frac{d x d y}{e^{\left(x^{2}+y^{2}\right) / 2}};

(б)

∫Rn∣(a,x)∣pdxe∥x∥2/2(a∈Rn,p>−1)\int_{\mathbb {R}^{n}}\left|(a, x)\right|^{p} \frac{d x}{e^{\left\| x\right\|^{2} / 2}} \quad \left(a \in \mathbb {R}^{n}, p>-1\right).

Задача V.2.5

Вычислите интеграл ∫∥y∥⩽1dy∥x−y∥(x,y∈R3)\int_{\| y\| \leqslant 1} \frac{d y}{\| x-y\| } \quad \left(x, y \in \mathbb {R}^{3}\right).

?
Задача V.2.6

Вычислите интеграл ∭∫x2+y2+u2+v2⩽1ex2+y2−u2−v2dxdydudv\iiint \int_{x^{2}+y^{2}+u^{2}+v^{2} \leqslant 1} e^{x^{2}+y^{2}-u^{2}-v^{2}} d x d y d u d v.

?
Задача V.2.7

Вычислите интеграл ∫(Ax,x)⩽1e(Ax,x)dx\int_{(A x, x) \leqslant 1} e^{(A x, x)} d x (x∈R4,A\left(x \in \mathbb {R}^{4}, A\right. — положительно определённая матрица).

?
Задача V.2.8

Пусть A={(x1,x2,x3,x4)∈R4∣x22+x32+x42<x1}A=\left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb {R}^{4} \mid \sqrt{x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}<x_{1}\right\}. Для каких t∈R4t \in \mathbb {R}^{4} конечен и чему равен интеграл

K(t)=∫Ae−(x,t)dx? K(t)=\int _{A} e^{-(x, t)} d x ?

В задачах 2.9-2.13, говоря о случайном выборе точек, мы подразумеваем, что вероятность выбрать точку, принадлежащую некоторому множеству, пропорциональна его мере (длине, площади, объёму).

?
Задача V.2.9

На отрезке [a,b]\left[a, b\right] случайным образом выбираются две точки. Найдите среднее значение MM расстояния между ними. Какова вероятность PP того, что расстояние больше MM ? При каком mm события «расстояние больше mm » и «расстояние меньше mm » равновероятны?

?
Задача V.2.10

На отрезке [0,a]\left[0, a\right] случайным образом выбираются три числа. Какова вероятность того, что они являются длинами сторон некоторого треугольника?

?
Задача V.2.11

На отрезке [−a,a]\left[-a, a\right] случайным образом выбираются две точки u,vu, v.

?
(а)

Что вероятнее: корни уравнения z2+uz+v=0z^{2}+u z+v=0 лежат на вещественной оси (вероятность P1(a)P_{1}(a)) или корни этого уравнения не лежат на вещественной оси (вероятность P2(a)P_{2}(a))? К чему стремятся вероятности P1(a),P2(a)P_{1}(a), P_{2}(a) при a→+∞a \rightarrow +\infty ?

(б)

Какова вероятность того, что биквадратное уравнение z4+uz2++v=0z^{4}+u z^{2}+ +v=0 имеет как вещественные, так и комплексные корни?

Задача V.2.12

В единичном круге случайным образом выбираются две точки. Каково среднее значение SS площади круга, построенного на соединяющем их отрезке как на диаметре?

?
Задача V.2.13

На окружности радиуса RR случайным образом выбираются две точки. Найдите среднее значение LL длины соединяющей их хорды.

?
Задача V.2.14

Пусть

A={(x1,…,xn)∈Rn∣ ∑1⩽k⩽nxkk⩽1,x1,…,xn⩾0}. A=\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in \mathbb {R}^{n} \left\lvert \, \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{x_{k}}{k} \leqslant 1\right., x_{1}, \ldots , x_{n} \geqslant 0\right\} .

Докажите, что при любом t∈Rt \in \mathbb {R} справедливо равенство

∫…∫et(x1+…+xn)dx1…dxn=(et−1t)n \int \ldots \int e^{t\left(x_{1}+\ldots +x_{n}\right)} d x_{1} \ldots d x_{n}=\left(\frac{e^{t}-1}{t}\right)^{n}
?
Задача V.2.15

Докажите, что при m,n∈N,m⩽n,a>0m, n \in \mathbb {N}, m \leqslant n, a>0, справедливо равенство

∫[0,1]ndx(a+x1+…+xn)m=(−1)m−1Δn(an−mln⁡a)(m−1)!(n−m)! \int _{\left[0,1\right]^{n}} \frac{d x}{\left(a+x_{1}+\ldots +x_{n}\right)^{m}}=(-1)^{m-1} \frac{\Delta _{n}\left(a^{n-m} \ln a\right)}{(m-1)!(n-m)!}

где Δ1f(a)=Δf(a)=f(a+1)−f(a),Δnf(a)=Δ(Δn−1f(a))\Delta_{1} f(a)=\Delta f(a)=f(a+1)-f(a), \quad \Delta_{n} f(a)=\Delta \left(\Delta_{n-1} f(a)\right).

?
Задача V.2.16

Пусть a0,…,ana_{0}, \ldots , a_{n} — положительные числа, b0=a1b_{0}=a_{1}, bk=ak+1−akb_{k}=a_{k+1}-a_{k} при k=1,…,n(an+1=a0)k=1, \ldots , n\left(a_{n+1}=a_{0}\right),

Wn={(x1,…,xn)∈Rn∣∑1⩽k⩽nxk<1,x1,…,xn>0}. W_{n}=\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in \mathbb {R}^{n} \mid \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} x_{k}<1, x_{1}, \ldots , x_{n}>0\right\} .
?
(а)

Докажите, что для любой неотрицательной и непрерывной на (0,+∞)(0,+\infty ) функции ff справедливо равенство

∫…∫f(b0+∑k=1nbkx1…xk)x1n−1x2n−2…xn−1dx1…dxn==∫…∫f(a0+∑k=1n(ak−a0)xk)dx1…dxn \begin{aligned} \int \ldots \int f\left(b_{0}+\sum _{k=1}^{n} b_{k} x_{1} \ldots x_{k}\right) x_{1}^{n-1} x_{2}^{n-2} \ldots x_{n-1} d x_{1} \ldots d x_{n} & = \\ & =\int \ldots \int f\left(a_{0}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{0}\right) x_{k}\right) d x_{1} \ldots d x_{n} \end{aligned}
(б)

Вычислите интегралы

∫…∫(0,1)nx1n−1x2n−2…xn−1dx1…dxn(b0+b1x1+b2x1x2+…+bnx1…xn)n+1∫…∫dx1…dxn(a0+(a1−a0)x1+(a2−a0)x2+…+(an−a0)xn)n+1. \begin{gathered} \int \ldots \int _{(0,1)^{n}} \frac{x_{1}^{n-1} x_{2}^{n-2} \ldots x_{n-1} d x_{1} \ldots d x_{n}}{\left(b_{0}+b_{1} x_{1}+b_{2} x_{1} x_{2}+\ldots +b_{n} x_{1} \ldots x_{n}\right)^{n+1}} \\ \int \ldots \int \frac{d x_{1} \ldots d x_{n}}{\left(a_{0}+\left(a_{1}-a_{0}\right) x_{1}+\left(a_{2}-a_{0}\right) x_{2}+\ldots +\left(a_{n}-a_{0}\right) x_{n}\right)^{n+1}} . \end{gathered}
Задача V.2.17

Докажите, что

?
(а)

если функция ff непрерывна и неотрицательна на R\mathbb {R}, то для любых вещественных чисел aa и bb справедливо равенство

1π∬R2f(ax+by)dxdy(1+x2)(1+y2)=∫−∞+∞f((∣a∣+∣b∣)u)du1+u2 \frac{1}{\pi } \iint _{\mathbb {R}^{2}} \frac{f(a x+b y) d x d y}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right)}=\int _{-\infty }^{+\infty } f((\left|a\right|+\left|b\right|) u) \frac{d u}{1+u^{2}}
(б)

при 0<p<10<p<1 и a=(a1,…,an)∈Rna=\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right) \in \mathbb {R}^{n} справедливо равенство (x=(x1,…,xn)∈Rn)\left(x=\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in \mathbb {R}^{n}\right)

∫Rn∣(a,x)∣pdx1…dxn(1+x12)(1+x22)…(1+xn2)=πncos⁡π2p(∑1⩽k⩽n∣ak∣)p. \int _{\mathbb {R}^{n}} \frac{\left|(a, x)\right|^{p} d x_{1} \ldots d x_{n}}{\left(1+x_{1}^{2}\right)\left(1+x_{2}^{2}\right) \ldots \left(1+x_{n}^{2}\right)}=\frac{\pi ^{n}}{\cos \frac{\pi }{2} p}\left(\sum _{1 \leqslant k \leqslant n}\left|a_{k}\right|\right)^{p} .
Задача V.2.18

Пусть f∈C([0,1]2)f \in C\left(\left[0,1\right]^{2}\right). Найдите предел

lim⁡n→∞n2(∬[0,1]2f(x,y)dxdy−1n2∑1⩽k⩽n1⩽j⩽nf(k−12n,j−12n)) \lim _{n \rightarrow \infty } n^{2}\left(\iint _{\left[0,1\right]^{2}} f(x, y) d x d y-\frac{1}{n^{2}} \sum _{\substack {1 \leqslant k \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}} f\left(\frac{k-\frac{1}{2}}{n}, \frac{j-\frac{1}{2}}{n}\right)\right)
?
Задача V.2.19

Пусть p<1p<1 и

Φ(x,y)=∬u2+v2⩽1((x−u)2+(y−v)2)−p/2dudvΨ(x,y)=∬u2+v2⩽1ln⁡((x−u)2+(y−v)2)dudv \begin{aligned} & \Phi (x, y)=\iint _{u^{2}+v^{2} \leqslant 1}\left((x-u)^{2}+(y-v)^{2}\right)^{-p / 2} d u d v \\ & \Psi (x, y)=\iint _{u^{2}+v^{2} \leqslant 1} \ln \left((x-u)^{2}+(y-v)^{2}\right) d u d v \end{aligned}

Докажите, что Φ,Ψ∈C1(R2)\Phi , \Psi \in C^{1}\left(\mathbb {R}^{2}\right), и найдите Ψ\Psi.

?