Интеграл

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{1}^{\infty } \frac{|\sin x| d x}{\exp \left(x^{2} \sin^{2} x\right)}$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{1}^{\infty } \frac{d x}{1+x^{p} \sin^{2} x}$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{1}^{\infty } \frac{x^{q} d x}{1+x^{p}|\sin x|^{r}}$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{1}^{\infty } \frac{x^{q} d x}{\exp \left(x^{p}|\sin x|^{r}\right)}$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{1}^{\infty } \frac{\left|\sin x^{p}\right|}{x^{q}} d x$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{1}^{\infty }\left|\sin \left(x^{p}+\ln^{q} x\right)\right| \frac{d x}{x}$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{1}^{\infty } x^{p}|\sin x|^{x^{q}} d x$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{1}^{\infty } \cos \left(x^{3}-x\right) d x$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{1}^{\infty } \sin (x \ln x) d x$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{1}^{\infty } \sin \left(x^{p}+a x+b\right) d x, p>1$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{\pi }^{\infty } \frac{\sin x d x}{\ln x+\cos \sqrt{x}}$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{\pi }^{\infty } \frac{\sin x d x}{\ln x+\cos x}$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{2 \pi }^{\infty } \frac{\sin x d x}{\ln x+\cos x+\sin x}$.

Исследуйте сходимость интеграла $\int_{\pi }^{\infty } \frac{\sin x d x}{\ln x+\cos x^{2}}$.

Вытекает ли из сходимости интеграла $\int_{1}^{\infty } f(x) d x$ сходимость интегралов

Пусть

При каких $\varepsilon >0$ сходится интеграл $\int_{0}^{\infty } f(x) d x ?$

Вычислите интеграл Фруллани

где $a, b>0$, функция $f$ непрерывна на $[0, \infty )$ и удовлетворяет одному из условий:

Пусть интеграл $\int_{0}^{\infty } f(x) d x$ сходится. Докажите, что

Пусть $\varphi$ — непрерывная $2 \pi$-периодическая функция. Докажите, что интеграл

сходится лишь в том случае, когда $\varphi$ — нечётная функция. В задачах $1.21-1.44$ вычислите интегралы. Некоторые из них выражаются через постоянную Эйлера $\gamma$ (см. задачу II.2.8).

$\int_{0}^{\infty } \ln \left|1-x^{2}\right| \frac{d x}{x^{2}}$.

$\int_{0}^{\pi / 2} \ln (\sin x) d x$.

$\int_{0}^{1} \frac{\ln x d x}{1-x}$.

$\int_{0}^{1} \frac{\ln x d x}{1+x}$.

$\int_{0}^{\infty } \frac{x^{2}}{\operatorname {ch}^{2} x} d x$.

$\int_{0}^{\infty } \frac{\sin x}{x} e^{-a x} d x \quad (a>0)$.

$\int_{0}^{\infty } \frac{\sin x}{x} d x$.

$\int_{0}^{\infty } \frac{x-\sin x}{x^{3}} d x$.

$\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-x}-\cos x}{x} d x$.

$\int_{-\infty }^{\infty } \frac{\left(e^{i a x}-1\right)\left(e^{i b x}-1\right)}{x^{2}} d x \quad (a, b \in \mathbb {R})$.

$\int_{0}^{\infty } \frac{\ln x}{e^{x}} d x$.

$\int_{0}^{\infty } \frac{\ln^{2} x}{e^{x}} d x$.

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2} d x}{(1-x) \ln^{2}(1-x)}$.

$\int_{0}^{\infty } \frac{\ln x}{1+e^{x}} d x$.

$\int_{1}^{\infty } \frac{\{ x\} (1-\{ x\} )}{x^{2}} d x \quad (\{ x\}$ — дробная часть числа $x)$.

Используя результат задачи I.2.23 а), докажите, что

С помощью формулы Стирлинга найдите значение интеграла Эйлера-Пуассона $\int_{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}} d x$.

$\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-x}-e^{-2 x}}{x^{p}} d x$, где $p=\frac{k}{2}-1, k=0,1,2,3,4,5$.

$\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-x^{2}}}{\left(x^{2}+\frac{1}{2}\right)^{2}} d x$.

$\int_{0}^{\infty } e^{-\left(x^{2}+a^{2} x^{-2}\right)} d x$.

$\int_{0}^{\infty } \frac{1-|\cos x|^{p}}{x^{2}} d x \quad (p>-1)$.

$\int_{2}^{\infty } \frac{\pi (x)}{x^{3}-x} d x$, где $\pi (x)$ — число простых чисел, не превосходящих $x$.

Пусть $\varphi (x)=\frac{e^{2 \pi i x}-1}{x}, x \in \mathbb {R}$. Докажите, что для любого $n \in \mathbb {Z}$, $n \neq 0$

Чему равен этот интеграл при $n=0$ ?

Докажите, что $\int_{0}^{\infty } x^{n} \sin (2 \pi \ln x) \frac{d x}{x^{\ln x}}=0$ при $n=0,1,2, \ldots$

Докажите, что $\int_{0}^{\pi / 2} \cos (p+1) x \cos^{p-1} x d x=0$ для всех $p>0$.

Вычислите интеграл $\int_{0}^{+\infty } \int_{0}^{+\infty }|\ln x-\ln y| e^{-(x+y)} d x d y$.

Вычислите интегралы

Вычислите интеграл $\int_{\mathbb {R}^{n}} e^{-\| x\|^{2} / 2} d x$.

Вычислите интегралы

Вычислите интеграл $\int_{\| y\| \leqslant 1} \frac{d y}{\| x-y\| } \quad \left(x, y \in \mathbb {R}^{3}\right)$.

Вычислите интеграл $\iiint \int_{x^{2}+y^{2}+u^{2}+v^{2} \leqslant 1} e^{x^{2}+y^{2}-u^{2}-v^{2}} d x d y d u d v$.

Вычислите интеграл $\int_{(A x, x) \leqslant 1} e^{(A x, x)} d x$ $\left(x \in \mathbb {R}^{4}, A\right.$ — положительно определённая матрица).

Пусть $A=\left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb {R}^{4} \mid \sqrt{x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}<x_{1}\right\}$. Для каких $t \in \mathbb {R}^{4}$ конечен и чему равен интеграл

В задачах 2.9-2.13, говоря о случайном выборе точек, мы подразумеваем, что вероятность выбрать точку, принадлежащую некоторому множеству, пропорциональна его мере (длине, площади, объёму).

На отрезке $\left[a, b\right]$ случайным образом выбираются две точки. Найдите среднее значение $M$ расстояния между ними. Какова вероятность $P$ того, что расстояние больше $M$ ? При каком $m$ события «расстояние больше $m$ » и «расстояние меньше $m$ » равновероятны?

На отрезке $\left[0, a\right]$ случайным образом выбираются три числа. Какова вероятность того, что они являются длинами сторон некоторого треугольника?

На отрезке $\left[-a, a\right]$ случайным образом выбираются две точки $u, v$.

В единичном круге случайным образом выбираются две точки. Каково среднее значение $S$ площади круга, построенного на соединяющем их отрезке как на диаметре?

На окружности радиуса $R$ случайным образом выбираются две точки. Найдите среднее значение $L$ длины соединяющей их хорды.

Пусть

Докажите, что при любом $t \in \mathbb {R}$ справедливо равенство

Докажите, что при $m, n \in \mathbb {N}, m \leqslant n, a>0$, справедливо равенство

где $\Delta_{1} f(a)=\Delta f(a)=f(a+1)-f(a), \quad \Delta_{n} f(a)=\Delta \left(\Delta_{n-1} f(a)\right)$.

Пусть $a_{0}, \ldots , a_{n}$ — положительные числа, $b_{0}=a_{1}$, $b_{k}=a_{k+1}-a_{k}$ при $k=1, \ldots , n\left(a_{n+1}=a_{0}\right)$,

Докажите, что

Пусть $f \in C\left(\left[0,1\right]^{2}\right)$. Найдите предел

Пусть $p<1$ и

Докажите, что $\Phi , \Psi \in C^{1}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$, и найдите $\Psi$.