Рекуррентные последовательности

Пусть $x_{0}, x_{1} \in \mathbb {R}, x_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2 x_{n}+x_{n-1}\right)(n \in \mathbb {N})$. Докажите, что существует предел $\lim x_{n}$ и найдите его.

Пусть $x_{0}, x_{1} \in \mathbb {R}$. Докажите, что существует предел $\lim x_{n}$ и вычислите его в следующих случаях:

Пусть $x_{1} \in \mathbb {R}$ и $x_{n+1}=\left(2+\frac{2}{n}\right) x_{n}-1 \quad (n \in \mathbb {N})$.

Пусть $b \in \mathbb {R}, a_{n} \rightarrow a \in \mathbb {R}$ и $x_{n+1}=a_{n}+b x_{n}$. Докажите, что при любом $x_{1} \in \mathbb {R}$

Пусть последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ и число $p \in \mathbb {R}$ таковы, что $x_{n+1} \leqslant p x_{n}+(1-p) x_{n-1}$ для любого $n=2,3, \ldots$ Докажите, что если $p>0$, то существует предел $\lim x_{n} \in \overline{\mathbb {R}}$, а при $p \leqslant 0$ это утверждение неверно для некоторых последовательностей.

Пусть положительная последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ и число $p \in \mathbb {R}$ таковы, что $x_{n+1} \leqslant x_{n}^{p} x_{n-1}^{1-p}$ при $n=2,3, \ldots$ Докажите, что если $p \in (0,2)$, то последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ сходится, а для $p \notin (0,2)$ это утверждение неверно для некоторых последовательностей.

Пусть $x_{1}>0, x_{n+1}=\frac{1}{n^{\pi } x_{n}}(n \in \mathbb {N})$. При каком значении $x_{1}$ последовательность монотонна? Каков характер монотонности?

Пусть $p>0$ и $L_{p}=\lim x_{n}$, где $\left\{ x_{n}\right\}$ - такая последовательность, что $x_{1} \in (0,1)$ и $x_{n+1}=x_{n}+\left(\frac{x_{n}}{n}\right)^{p}$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что $L_{p}<+\infty$ лишь при $p>1$. Сколь быстро растёт предел $L_{2}$, если первый член последовательности $x_{1}$ приближается к единице?

При решении уравнения $x=\frac{1}{x}+a$ ($a$ - положительный параметр) методом итераций возникает рекуррентная последовательность $x_{n}=\frac{1}{x_{n-1}}+a, x_{0}>0$. Докажите, что существует предел $l=\lim x_{n}$, и найдите асимптотику разностей $x_{n}-l$.

При решении уравнения $x^{2}-a=0$ ($a$ - положительный параметр) методом Ньютона возникает рекуррентная последовательность $x_{n}=\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{a}{x_{n-1}}\right), x_{0}>0$. Докажите, что $x_{n} \rightarrow \sqrt{a}$ и что при этом имеет место «сверхсходимость»: $x_{n}-\sqrt{a} \sim C q^{2^{n}}$ для некоторых $q \in (0,1)$ и $C>0$. Чему равны $C$ и $q$ ?

Пусть $f \in C(\left[a, b\right])$, причём $f(x) \in [a, b]$ для всех $x \in [a, b]$. Рассмотрим такую последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$, что $x_{1} \in [a, b]$ и $x_{n+1}= \left(1-c_{n}\right) x_{n}+c_{n} f\left(x_{n}\right), c_{n} \in (0,1)$ для всех $n \in \mathbb {N}$.

Пусть последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ неотрицательных чисел такова, что $x_{n} \leqslant \frac{1}{n^{2}}\left(x_{n-1}+x_{n-2}\right)$ для $n \geqslant 3$. Докажите, что $x_{n}=O\left(\frac{1}{n!}\right)$.

Пусть $k \in \mathbb {N}, A_{n} \uparrow +\infty$ и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ - такая неотрицательная последовательность, что

при $n>k$. Положим $S_{n}=\frac{1}{A_{1}}+\ldots +\frac{1}{A_{n}}$. Докажите, что

Пусть $k \in \mathbb {N}, A_{n} \uparrow +\infty$ и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ - такая неотрицательная последовательность, что

при $n>k$. Предположим, что $A_{n+1}-A_{n} \geqslant \delta >0$. Докажите, что

Пусть $k \in \mathbb {N}, C>0$ и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ - такая неотрицательная последовательность, что

при $n>k$. Докажите, что $x_{n}=O\left(\frac{C^{n}}{n!} n^{p}\right)$, где $p=\frac{1}{k}\left(C-\frac{k(k-1)}{2}\right)$. Убедитесь, что эта оценка не может быть улучшена.

Пусть $k \in \mathbb {N}, A_{n} \uparrow +\infty , n\left(1-\frac{\ln A_{n-1}}{\ln A_{n}}\right) \rightarrow \theta \geqslant 0$ и $\left\{ x_{n}\right\}$ - такая неотрицательная последовательность, что

Докажите, что $x_{n}=O\left(A_{n}^{-\beta n}\right)$, если $0<\beta <\frac{1}{1+\theta }$.