Последовательности

$\lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{0 \leqslant k \leqslant 2 n} 2^{-k} \cos \sqrt{\frac{k}{n}}$;

$\lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{0 \leqslant k \leqslant 2 n} 2^{-n k /(n+k)}$.

С помощью интегрирования по частям докажите, что

Используя неравенства $W_{2 k+1}<W_{2 k}<W_{2 k-1}$, получите формулу Валлиса

Найдите предел $\lim S_{n}$.

Каков характер монотонности последовательности $\left\{ S_{n}\right\}$ ?

Верно ли, что $S_{n} \leqslant 2$ при любом $n \in \mathbb {N}$ ?

$\lim \sum_{0 \leqslant k \leqslant 2 n} \frac{k}{k^{2}+n^{2}}$;

$\lim \frac{1}{n^{2}} \sum_{0 \leqslant k \leqslant n} \sqrt{k(n-k)}$;

$\lim \sum_{0 \leqslant k \leqslant 2 n} \frac{k}{k+n^{2}}$;

$\lim \sum_{n \leqslant k \leqslant 2 n} \sin \frac{\pi }{k}$;

$\lim \sum_{1 \leqslant k<n} \frac{1}{\sqrt{k(n-k)}}$;

$\lim \sum_{1<k<n} \frac{1}{(n-k) \ln k}$.

$x_{n}=\frac{n^{3 n / 2}}{n!} \prod_{1 \leqslant k \leqslant n} \sin \frac{k}{n^{3 / 2}}$;

$x_{n}=\frac{2^{n}}{\sqrt{n}} \prod_{1 \leqslant k \leqslant n} \sin \frac{\pi k}{2 n}$.

$\lim \sin (2 \pi e n!)$;

$\lim n \sin (2 \pi e n!)$;

$\lim n^{2} \sin (2 \pi e n!)$;

$\lim n^{p} \sin \left(\pi (\sqrt{2}+1)^{n}\right)$.

$x_{n} \rightarrow l_{a}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4 a})$;

$l_{a}-x_{n} \sim \frac{C_{a}}{\left(2 l_{a}\right)^{n}}$ при некотором $C_{a}>0$. Чему равно $C_{2}$ ?

Пусть $p>1$ и $\left\{ c_{n}\right\}$ - неотрицательная последовательность. Положим $\alpha_{n}=\sqrt[p]{c_{1}+\sqrt[p]{c_{2}+\ldots +\sqrt[p]{c_{n}}}}$. Докажите, что сходимость последовательности $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ равносильна ограниченности сверху послеловательности $\left\{ \frac{1}{p^{n}} \ln c_{n}\right\}$.

Для каках неотрицательных последовательностей $\left\{ c_{n}\right\}$ сходится последовательность $\left\{ \beta_{n}\right\}$, где $\beta_{n}=c_{1}+\sqrt{c_{2}+\sqrt[3]{c_{3}+\ldots +\sqrt[n]{c_{n}}}}$ ?

Пусть $c>0,\left\{ p_{n}\right\}$ - последовательность чисел, больших единицы. Положим $\gamma_{n}=\sqrt[p_{1}]{c+\sqrt[p_{2}]{c+\ldots +\sqrt[p_{n}]{c}}}$. Докажите, что сходимость последовательности $\left\{ \gamma_{n}\right\}$ равносильна ограниченности сверху последовательности $\left\{ \frac{\ln n}{p_{1} \cdot p_{2} \cdots p_{n}}\right\}$.

$3=\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+\ldots }}}}$;

$3=\sqrt{5+\sqrt{6+2 \sqrt{7+3 \sqrt{8+4 \sqrt{9+\ldots }}}}}$;

$\cos x=\sqrt{\sin^{2} \frac{x}{2}+\cos \frac{3 x}{2} \sqrt{\sin^{2} \frac{x}{4}+\cos \frac{3 x}{4} \sqrt{\sin^{2} \frac{x}{8}+\ldots }}}$ при $x \in \left[-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}\right]$;

$9=\sqrt{3 u_{2} u_{4}+u_{4} \sqrt{3 u_{4} u_{6}+u_{6} \sqrt{3 u_{6} u_{8}+\ldots }}}$, где $\left\{ u_{n}\right\}$ - последовательность чисел Фибоначчи, т.е. $u_{1}=u_{2}=1$ и $u_{n+1}=u_{n}+u_{n-1}$ при $n \geqslant 2$;

$2 x^{2}=\sqrt{2 x T_{0} T_{1}+T_{1} \sqrt{2 x T_{1} T_{2}+T_{2} \sqrt{2 x T_{2} T_{3}+\ldots }}}$ при $x \geqslant 1$; здесь $\left\{ T_{n}\right\}$ - последовательность значений многочленов Чебышёва в точке $x$ (см. задачу I.2.20);

$2=\sqrt[3]{2+1 \cdot 2 \sqrt[3]{3+2 \cdot 3 \sqrt[3]{4+3 \cdot 4 \sqrt[3]{5+\ldots }}}}$.

Докажите, что $\overline{\lim }\left(\frac{x_{1}+x_{n+1}}{x_{n}}\right)^{n} \geqslant e$ для любой положительной юследовательности $\left\{ x_{n}\right\}$.

Для любого числа $x \geqslant e$ укажите такую положительную последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$, что $\left(\frac{x_{1}+x_{n+1}}{x_{n}}\right)^{n} \rightarrow x$.

Пусть последовательность вещественных чисел $\left\{ x_{n}\right\}$ такова, что $x_{n+m} \leqslant x_{n}+x_{m}$ для всех $n, m \in \mathbb {N}$. Докажите, что $\frac{x_{n}}{n} \rightarrow \inf \frac{x_{m}}{m}$.

Пусть последовательность комплексных чисел $\left\{ x_{n}\right\}$ такова, что $\left|x_{n+m}-x_{n}-x_{m}\right| \leqslant A$ для всех $n, m \in \mathbb {N}$. Докажите, что существует конечный предел $C=\lim \frac{x_{n}}{n}$. и $\left|\frac{x_{n}}{n}-C\right| \leqslant \frac{A}{n}$.

Опишите все последовательности комплексных чисел $\left\{ x_{n}\right\}$, удовлетворяющие неравенству $\left|x_{n+m}-x_{n}-x_{m}\right| \leqslant \frac{1}{n+m}$ для всех $n, m \in \mathbb {N}$.

Пусть последовательность вещественных чисел $\left\{ x_{n}\right\}$ такова, что $x_{n+1}+x_{n} \rightarrow 0$. Докажите, что множество её частичных пределов либо бесконечно, либо содержит не более двух точек.

Докажите, что в случае сходимости последовательности $\left\{ x_{n}+ +x_{n+1}+\ldots +x_{n+100}\right\}$ множество частичных пределов последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ можно представить в виде объединения $\Delta_{1} \cup \ldots \cup \Delta_{101}$, где $\Delta_{j}$ - замкнутые промежутки (возможно, вырожденные или пустые) в $\overline{\mathbb {R}}$.

Приведите пример такой ограниченной расходящейся последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$, что $x_{n+1}-x_{n} \rightarrow 0$.

Существует ли такая ограниченная последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$, что $x_{n+1}-x_{n} \rightarrow 0$, но последовательность $\left\{ \frac{1}{n}\left(x_{1}+\ldots +x_{n}\right)\right\}$ не имеет предела?

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{1}{k} \sim \ln n$;

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{\alpha -1} \sim \frac{n^{\alpha }}{\alpha }$;

$\sum_{k \geqslant n} \frac{1}{k^{\alpha +1}} \sim \frac{1}{\alpha n^{\alpha }}$;

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{\alpha -1} \ln k \sim \frac{n^{\alpha }}{\alpha } \ln n$;

$\sum_{k \geqslant n} \frac{\ln k}{k^{\alpha +1}} \sim \frac{\ln n}{\alpha n^{\alpha }}$.

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{\alpha k} \sim n^{\alpha n} \quad (\alpha >0)$;

$\sum_{k \geqslant n} k^{\alpha k} \sim n^{\alpha n} \quad (\alpha <0)$;

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} a^{k} k!\sim a^{n} n!\quad (a>0)$;

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n}(k!)^{-\alpha / k} \sim \frac{e^{\alpha }}{1-\alpha } n^{1-\alpha } \quad (\alpha <1)$;

$\sum_{k \geqslant n}(k!)^{-\alpha / k} \sim \frac{e^{\alpha }}{\alpha -1} n^{1-\alpha } \quad (\alpha >1)$.

$\ln \left(n+\frac{1}{2}\right)+\gamma <1+\frac{1}{2}+\ldots +\frac{1}{n}<\ln \left(n+\frac{1}{2}\right)+\gamma +\frac{1}{6(2 n+1)^{2}}$;

$\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n} e^{\frac{1}{12 n+1}}<n!<\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n} e^{\frac{1}{12 n}}$.

Следующее неравенство даёт для $n$ ! ещё более тесные границы:

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{p}=\frac{n^{p+1}}{p+1}+\alpha_{p}+o(1)$ $(p \in (-1,0]) ;$

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{p}=\frac{n^{p+1}}{p+1}+\frac{n^{p}}{2}+\beta_{p}+o(1)$ $(p \in (0,1]) ;$

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} k^{p}=\frac{n^{p+1}}{p+1}+\frac{n^{p}}{2}+\frac{p}{12} n^{p-1}+\gamma_{p}+o(1)$ $(p \in (1,2])$.

$\sum_{1<k \leqslant n} \frac{1}{k} \ln^{p} k=\frac{1}{p+1} \ln^{p+1} n+C_{p}+o(1) \quad (p>-1)$;

$\sum_{1<k \leqslant n} \frac{1}{k \ln k}=\ln (\ln n)+C+o(1)$;

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{1}{\sqrt[k]{k!}}=e \ln n+C^{\prime }+o(1)$.

$\theta (E)=\lim \frac{k}{n_{k}}$;

для любого числа $\alpha \in [0,1]$ существует такое множество $E \subset \mathbb {N}$, что $\theta (E)=\alpha$.

если $x_{n} \rightarrow a \in \mathbb {R}$, то $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-a\right| \rightarrow 0$;

если соотношение $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-a\right| \rightarrow 0$ справедливо при некотором $a \in \mathbb {R}$, то существует такая последовательность $\left\{ n_{k}\right\}$ плотности 1 (см. задачу 2.14), что $x_{n_{k}} \rightarrow a$;

если последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ ограничена и $x_{n_{k}} \rightarrow a$ для некоторой последовательности $\left\{ n_{k}\right\}$ плотности 1 , то $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-a\right| \rightarrow 0$.

Покажите на примерах, что существование одного из пределов $\lim \frac{1}{n}\left(a_{1}+\ldots +a_{n}\right)$ и $\lim \frac{1}{n}\left(a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}\right)$ не связано с существованием другого.

Пусть $\frac{1}{n}\left(a_{1}+\ldots +a_{n}\right) \rightarrow a$ и $\frac{1}{n}\left(a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}\right) \rightarrow b$. Докажите, что $a^{2} \leqslant b \leqslant a$ и что $b$ может принимать любые значения между $a^{2}$ и $a$.

Докажите, что если множество $E$ имеет плотность, то она не превосходит его периодической плотности.

Докажите, что множество с нулевой периодической плотностью имеет нулевую плотность.

Приведите пример множества с нулевой плотностью, периодическая плотность которого равна единице.

Чему равна периодическая плотность множества всех натуральных чисел, представимых в виде суммы различных слагаемых вида $\pm 4^{k}, k \in \mathbb {Z}_{+}$?

$x_{n+1}=\left(1-\frac{1}{n}\right) x_{n}+\frac{1}{n} x_{n-1} \quad (n \in \mathbb {N})$;

$x_{n+1}=\left(1-\frac{1}{2 n}\right) x_{n}+\frac{1}{2 n} x_{n-1} \quad (n \in \mathbb {N})$.

Для каких значений $x_{1}$ последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ расходится? Какова асимптотика $\left\{ x_{n}\right\}$ ?

Для каких $x_{1}$ последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ сходится? Чему равен предел $\lim x_{n}$ ?

$x_{n} \rightarrow \frac{a}{1-b}$, если $\left|b\right|<1$;

$x_{n} \rightarrow \frac{a}{1-b}$, если $\left|b\right|>1$ и $x_{1}+\sum \frac{a_{k}}{b^{k}}=0$;

$x_{n} \sim S b^{n-1}$, если $\left|b\right|>1$ и $S=x_{1}+\sum \frac{a_{k}}{b^{k}} \neq 0$.

Пусть $f \in C(\left[a, b\right])$, причём $f(x) \in [a, b]$ для всех $x \in [a, b]$. Докажите, что последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$, где $x_{1} \in [a, b], x_{n+1}= \frac{1}{n}\left(f\left(x_{1}\right)+\ldots +f\left(x_{n}\right)\right)$, сходится, и её предел $x^{*}$ - неподвижная точка функции $f$ (т.е. $f\left(x^{*}\right)=x^{*}$).

Справедливо ли аналогичное утверждение в двумерном случае, когда вместо непрерывной на отрезке функции рассматривается непрерывное отображение некоторого выпуклого компакта на плоскости (папример, круга) в себя?

Докажите, что если $c_{n} \rightarrow 0$, то существует предел $x^{*}=\lim x_{n}$. Можно ли отказаться от условия $c_{n} \rightarrow 0$ ?

Если $c_{n} \rightarrow 0$ и $\sum c_{n}=+\infty$, то $x^{*}$ - неподвижная точка функции $f$. Можно ли отказаться от условия $\sum c_{n}=+\infty$ ?