Степень отображения $f : S^n \to S^n$

Для $n > 0$, $H_n(S^n) = \mathbb {Z}$; пусть $g$ обозначает образующую. Если $f : S^n \to S^n$ непрерывно, то $f_*(g) = dg$ для некоторого целого $d$; степенью отображения $f$ называется целое число $d = \deg (f)$, для которого $f_*(g) = \deg (f) g$.

Докажите следующие элементарные факты о степени:

• $\deg (1) = 1$;

• $\deg (hf) = \deg (h)\deg (f)$;

• если $f$ гомотопно $f'$, то $\deg (f) = \deg (f')$;

• если $f$ — гомотопическая эквивалентность, то $\deg (f) = \pm 1$.

Также покажите, что степень не зависит от того, какую образующую $H_n(S^n) = \mathbb {Z}$ вы выбрали.

Когда $f : (D^{n+1}, S^n) \to (D^{n+1}, S^n)$, существует определение степени, аналогичное определению из упражнения 6.9.1, использующее $H_{n+1}(D^{n+1}, S^n) \simeq \mathbb {Z}$: если $g$ — образующая, степень определяется той же формулой, $f_*(g) = \deg (f) g$.

Покажите, что $\deg (f)$, определённая таким образом, совпадает с $\deg (f|_{S^n})$.

Пусть $f : (S^{n+1}, S^{n+1}_+, S^{n+1}_-, S^n) \to (S^{n+1}, S^{n+1}_+, S^{n+1}_-, S^n)$. Можно определить $\deg (f)$ и $\deg (f|_{S^n})$. Покажите, что они равны.

Для любой сферы размерности не меньше $0$ существует отражение $r_1 : S^n \to S^n$, заданное формулой $r_1(x_1, x_2, \ldots , x_{n+1}) = (-x_1, x_2, \ldots , x_{n+1})$. Начиная со случая $S^0$, покажите, что степень $r_1$ равна $-1$ для всех $n$.

Пусть $r : S^n \to S^n$ — отражение вида $r(x) = x - 2(x \cdot v)v$, где $v \in S^n$ — нормальный вектор плоскости, относительно которой производится отражение (например, для $r_1$ из упражнения 6.9.4, $v = e_1$; для $r_2(x_1, x_2, \ldots , x_{n+1}) = (x_1, -x_2, \ldots , x_{n+1})$, $v = e_2$). Пусть $n > 0$.

Антиподальное отображение $A : S^n \to S^n$ задаётся формулой $A(x) = -x$; его можно записать как композицию $n+1$ отражений по отдельным координатам (как в упражнении 6.9.5). Покажите, что степень антиподального отображения сферы $S^n$ равна $(-1)^{n+1}$.

Покажите, что антиподальное отображение сферы $S^n$ гомотопно тождественному тогда и только тогда, когда $n$ нечётно.

Покажите, что локальная степень (как определено в замечании ниже) корректно определена, то есть не зависит от выбора диска $D_x$.

Покажите, что следующее альтернативное определение локальной степени (как определено в замечании к упражнению 6.9.8) даёт тот же ответ: выберите малый диск $D_y$ вокруг $y$ так, чтобы $f(D_x) \subset D_y$ и $f : (D_x, D_x \setminus \left\{ x\right\} ) \to (D_y, D_y \setminus \left\{ y\right\} )$. Затем определите $\deg_x(f)$ равенством $f_*(g_x^D) = \deg_x(f) g_y^D$.

Покажите, что локальная степень (упражнение 6.9.8) обладает следующими свойствами, аналогичными свойствам степени:

• $\deg_x(1) = 1$;

• если $f(x) = y$, $h(y) = z$, и существуют диски $D_x, D_y, D_z$, такие что $f : (D_x, D_x \setminus \left\{ x\right\} ) \to (D_y, D_y \setminus \left\{ y\right\} )$, $h : (D_y, D_y \setminus \left\{ y\right\} ) \to (D_z, D_z \setminus \left\{ z\right\} )$, то $\deg_x(hf) = \deg_y(h) \deg_x(f)$;

• если $f$ является локальным гомеоморфизмом в точке $x$, то есть существует диск $D_x$, который отображается гомеоморфно на диск $D_y$, то $\deg_x(f) = \pm 1$.

Пусть $f : (S^n, S_x) \to (S^n, S_y)$ (обозначения как в замечании к упражнению 6.9.8), и $f^{-1}(\left\{ y\right\} ) = \left\{ x\right\}$. Покажите, что $f_*(g_x) = \deg (f) g_y$, и, следовательно, $\deg (f) = \deg_x(f)$.

Обычно не бывает так, что $f^{-1}(\left\{ y\right\} ) = \left\{ x\right\}$, но существуют геометрические приёмы, позволяющие прогомотопировать $f$ так, чтобы $f^{-1}(\left\{ y\right\} )$ было конечным числом точек $x_1, \ldots , x_k$; выбирая малые диски вокруг этих точек, можно определить локальные степени $\deg_{x_i}(f)$, как в упражнении 6.9.8. Теорема 6.9.1 утверждает: когда $f^{-1}(\left\{ y\right\} ) = \left\{ x_1, \ldots , x_k\right\}$, то $\deg (f) = \sum_{i=1}^k \deg_{x_i}(f)$.

Заметим, что из этого предположения следует, что $f : (S^n, S^n \setminus \left\{ x_1, \ldots , x_k\right\} ) \to (S^n, S_y)$, и имеется коммутативная диаграмма

Покажите, что $H_n(S^n, S^n \setminus \left\{ x_1, \ldots , x_k\right\} ) \simeq \bigoplus_{i=1}^k H_n(D_{x_i}, D_{x_i} \setminus \left\{ x_i\right\} )$ и, используя это отождествление, $e_x(g) = \sum_{i=1}^k g_{x_i}^D$.

Используя упражнение 6.9.12 и приведённую там коммутативную диаграмму, докажите теорему 6.9.1 (что $\deg (f) = \sum_{i=1}^k \deg_{x_i}(f)$, когда $f^{-1}(\left\{ y\right\} ) = \left\{ x_1, \ldots , x_k\right\}$).

Пусть $T : S^n \to S^n$ — гомеоморфизм, а $f : S^n \to S^n$ удовлетворяет условию $fT(x) = f(x)$. Предположим, что локальная степень $\deg_x(f)$ отображения $f$ определена в точке $x$ (как в упражнении 6.9.8). Покажите, что $\deg_{T(x)}(f)$ также определена и

Рассмотрим факторотображение $q : S^n \to S^n/(x \sim -x) = \mathbb {RP}^n$. Скомпонуем его с отображением $\mathbb {RP}^n \to \mathbb {RP}^n/\mathbb {RP}^{n-1}$, которое стягивает $\mathbb {RP}^{n-1}$ в точку, и отождествим это факторпространство со сферой $S^n$ (оно гомеоморфно диску с границей, стянутой в точку). Эта композиция задаёт отображение $S^n \to S^n$. Используя упражнение 6.9.14 и теорему 6.9.1 (упражнение 6.9.13), покажите, что степень этого отображения равна $\pm (1 + (-1)^{n+1})$.