Приложения сингулярных гомологий

Используя теорему 6.6.2 (гомотопическая эквивалентность пар индуцирует изоморфизм в гомологиях) и свойство размерности, покажите, что

Покажите, что

Используя длинную точную последовательность пары $(D^1, S^0)$, покажите, что

Приведите явный сингулярный симплекс $\sigma : \Delta_1 \to D^1$, представляющий образующую группы $H_1(D^1, S^0)$ (вычисленной в упражнении 6.8.3).

Покажите, что существует гомеоморфизм $h : D^1 \to S^1_+ = \left\{ x \in S^1 : x_2 \geq 0\right\}$, и с его помощью вычислите $H_k(S^1_+, S^0)$ для всех $k \geq 0$.

Пусть $B = S^1_+ \subset S^1$ — верхняя полуокружность $x_2 \geq 0$, а $A = S^1_-$ — нижняя полуокружность.

Используя упражнения 6.8.5 и 6.8.6, вычислите $H_k(S^1, S^1_-)$.

Приведите явный сингулярный симплекс $\sigma : \Delta_1 \to S^1$, представляющий образующую группы $H_1(S^1, S^1_-)$ (вычисленной в упражнении 6.8.7).

Используя упражнения 6.8.7 и 6.8.8, вычислите $H_k(S^1)$ с помощью длинной точной последовательности пары $(S^1, S^1_-)$.

Приведите явную сингулярную цепь, являющуюся суммой двух сингулярных симплексов, один из которых — ответ упражнения 6.8.8, а другой — сингулярный симплекс в $S^1_-$, представляющую образующую группы $H_1(S^1)$. Объясните, как это связано с изоморфизмом между $H_1(S^1)$ и $\pi_1(S^1, 1)$.

Пусть $p \geq 1$. Покажите, что $H_{k+1}(D^{p+1}, S^p) \simeq H_k(S^p)$, $k > 0$. Покажите, что $H_1(D^{p+1}, S^p) = 0$.

Пусть $p \geq 1$. Покажите, что $H_k(D^{p+1}, S^p) \simeq H_k(S^{p+1}_+, S^p)$, $k \geq 0$. Здесь $S^{p+1}_+$ обозначает часть сферы, где последняя координата $\geq 0$.

Пусть $p \geq 1$. Покажите, что $H_k(S^{p+1}_+, S^p) \simeq H_k(S^{p+1}, S^{p+1}_-)$, $k \geq 0$.

Пусть $p \geq 1$. Покажите, что $H_k(S^{p+1}) \simeq H_k(S^{p+1}, S^{p+1}_-)$, $k \geq 1$.

Пусть $p \geq 1$. Объединив упражнения 6.8.11--6.8.14, покажите, что $H_{k+1}(S^{p+1}) \simeq H_k(S^p)$ при $k \geq 1$, и $H_1(S^{p+1}) = 0$.

Используя индуктивное рассуждение (опираясь на упражнения 6.8.11--6.8.15), покажите, что

Если $A \subset X$ с вложением $i$, отображение $r : X \to A$ называется ретракцией, если $ri = 1_A$. Покажите, что если $r : X \to A$ — ретракция, то $r_* : H_k(X) \to H_k(A)$ сюръективно для каждого $k$.

Покажите, что если существует $k$ такое, что $H_k(X) = 0$ и $H_k(A) \neq 0$, то не существует ретракции (в смысле упражнения 6.8.17) $X$ на $A$.

Покажите, что $D^n$ не ретрагируется на $S^{n-1}$, $n \geq 1$.

Покажите, что если $f : D^n \to D^n$ непрерывно, то существует неподвижная точка $x \in D^n$ с $f(x) = x$.