Переформулировка вырезания и точная последовательность Майера--Вьеториса

Свойство вырезания в гомологиях гласит, что если $\bar{U} \subset \mathrm{int}\, A$, то вложение $(X \setminus U, A \setminus U) \to (X, A)$ индуцирует изоморфизм в гомологиях.

Теорема 6.7.2 даёт переформулировку: пусть $X = A \cup B$, где $\mathrm{int}\, A, \mathrm{int}\, B$ покрывают $X$. Тогда существует изоморфизм $H_k(B, A \cap B) \to H_k(X, A)$, индуцированный вложением.

Покажите, что теорема 6.7.2 эквивалентна сформулированному выше свойству вырезания.

Пусть $S^{\left\{ A,B\right\} }(X) = S(A) + S(B)$ обозначает сумму как подкомплекс цепного комплекса $S(X)$ (не прямую сумму), где $\left\{ \mathrm{int}\, A, \mathrm{int}\, B\right\}$ — открытое покрытие $X$; существует гомоморфизм $S^{\left\{ A,B\right\} }(X) \to S(X)$, индуцированный двумя вложениями $S(A), S(B) \to S(X)$. Теорема 6.7.1 утверждает, что этот гомоморфизм индуцирует изоморфизм $H_k^{\left\{ A,B\right\} }(X) \to H_k(X)$ в гомологиях при всех $k \geq 0$ (это доказывается в разделе 6.17).

Теорема 6.7.3 (точная последовательность Майера--Вьеториса): пусть $X = A \cup B$, где $\left\{ \mathrm{int}\, A, \mathrm{int}\, B\right\}$ — открытое покрытие $X$. Тогда существует длинная точная последовательность

где $i_*(x) = ((i_A)_*(x), -(i_B)_*(x))$ и $j_*(x,y) = (j_A)_*(x) + (j_B)_*(y)$, причём $i_A : A \cap B \to A$, $i_B : A \cap B \to B$, $j_A : A \to X$, $j_B : B \to X$ — вложения.

Следуя плану, докажите теорему 6.7.3.

Отображение $\delta : H_k(X) \to H_{k-1}(A \cap B)$ в точной последовательности Майера--Вьеториса (теорема 6.7.3, упражнение 6.7.2) использует композицию $H_k(X) \to H_k^{\left\{ A,B\right\} }(X) \to H_{k-1}(A \cap B)$: первое отображение — это изоморфизм из теоремы 6.7.1, а второе — граничное отображение $\partial$ из пункта (b) упражнения 6.7.2. Предположим, что $x \in H_k(X)$ представлен циклом $\alpha + \beta$, где $\alpha \in S_k(A)$, $\beta \in S_k(B)$. Покажите, что

Предположим, что $X = A \cup B = A' \cup B'$, где $A \subset A'$, $B \subset B'$. Предположим, что вложения $A \cap B \to A' \cap B'$, $A \to A'$, $B \to B'$ индуцируют изоморфизмы в гомологиях и $X = \mathrm{int}\, A' \cup \mathrm{int}\, B'$. Следуя приведённому ниже плану, покажите, что существует точная последовательность Майера--Вьеториса

Предположим, что поверхность $S = A \cup B$ разложена на две поверхности с краем $(A, \partial A)$, $(B, \partial B)$, причём $A \cap B = \partial A = \partial B$. Предположим, что существует замкнутая окрестность $N$ множества $A \cap B$, такая что $(N, N \cap A, N \cap B, N \cap A \cap B)$ гомеоморфна $(\partial A \times [-1,1], \partial A \times [-1, 0], \partial A \times [0, 1], \partial A \times \left\{ 0\right\} )$ ($N$ называется бивороткой окрестностью $A \cap B$, возникающей из воротников в $A, B$). Используя упражнение 6.7.4, покажите, что существует точная последовательность Майера--Вьеториса, основанная на $X = A \cup B$.

$n$-многообразие $A$ с краем $\partial A$ обладает внутренним воротником $(C, \partial A) \simeq (\partial A \times [0,1], \partial A \times \left\{ 0\right\} )$. Предположим, что $A$ — подмножество большего $n$-многообразия $M$, так что $M$ расщепляется как $M = A \cup B$, где $A, B$ — $n$-многообразия с общим краем $\partial A = \partial B$, чьи внутренние воротники склеиваются, образуя биворотковую окрестность $N$, такую что

Обобщите упражнение 6.7.5 на этот случай, то есть на разложения $n$-многообразий для произвольного $n$.

Предположим, что $U' \subset U \subset A \subset X$, где

• $\bar{U}' \subset \mathrm{int}\, A$;

• вложение $(X \setminus U, A \setminus U) \to (X \setminus U', A \setminus U')$ индуцирует изоморфизм в гомологиях.

Покажите, что вложение $(X \setminus U, A \setminus U) \to (X, A)$ индуцирует изоморфизм в гомологиях.

Предположим, что $M = A \cup B$ — $n$-многообразие, и $A, B \subset M$ — вложенные $n$-многообразия с общим краем. Предположим, что внутренние воротники $A, B$ склеиваются, образуя биворотковую окрестность $N$, такую что $(N, N \cap A, N \cap B, N \cap A \cap B) \simeq (\partial A \times (-1,1), \partial A \times (-1,0], \partial A \times [0,1), \partial A \times \left\{ 0\right\} )$. Покажите, что отображения вложения индуцируют изоморфизм $H_k(B, \partial B) \to H_k(M, A)$.

Предположим, что $A \cup B = A' \cup B' = X$ и $A \subset A'$, $B \subset B'$. Предположим, что $\mathrm{int}\, A' \cup \mathrm{int}\, B' = X$ и вложение $(B, A \cap B) \to (B', A' \cap B')$ индуцирует изоморфизм в гомологиях. Покажите, что вложение $(B, A \cap B) \to (X, A)$ индуцирует изоморфизм в гомологиях.