Банк задач по математике

Задача 6.5.1

Пусть $(C_k, \partial_k^C)$ , $(D_k, \partial_k^D)$ — цепные комплексы. Последовательность гомоморфизмов $h_k : C_k \to D_k$ называется цепным отображением, если $\partial_k^D h_k = h_{k-1} \partial_k^C$ . Важный факт о цепных отображениях состоит в том, что они индуцируют отображения на гомологиях по формуле $h_*([c]) = [h(c)]$ , где $[c]$ обозначает элемент гомологий, представленный цепью $c$ с $\partial (c) = 0$ .

Проверьте это утверждение: покажите, что если $[c] = [c'] \in H_n(C)$ , то $[h_n(c)] = [h_n(c')] \in H_n(D)$ .

?

Задача 6.5.2

Покажите, что если $A \xrightarrow {f} B \xrightarrow {g} C$ — композиция цепных отображений (как определено в упражнении 6.5.1), то $(gf)_* = g_* f_*$ .

?

Задача 6.5.3

Пусть $C, D, E$ — абелевы группы с гомоморфизмами $f : C \to D$ и $g : D \to E$ . Последовательность $C \xrightarrow {f} D \xrightarrow {g} E$ называется точной в $D$ , если $\ker (g) = \mathrm{im}(f)$ . Последовательность $0 \to C \xrightarrow {f} D \xrightarrow {g} E \to 0$ называется короткой точной последовательностью, если она точна в $C, D, E$ ; это означает, что $f$ — инъекция, а $g$ — сюръекция, а также что $\ker (g) = \mathrm{im}(f)$ .

Короткая точная последовательность называется расщепимой, если средний член является (с точностью до коммутативной диаграммы изоморфизмов) прямой суммой первого и третьего членов, причём отображения имеют стандартный вид $F(c) = (f(c), 0)$ , $G(c, e) = e$ . Например, последовательность $0 \to \mathbb {Z} \xrightarrow {f} \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \xrightarrow {g} \mathbb {Z} \to 0$ , где $f(n) = (n,0)$ , $g(n,m) = m$ , расщепима, в то время как $0 \to \mathbb {Z} \xrightarrow {f} \mathbb {Z} \xrightarrow {g} \mathbb {Z}_2 \to 0$ , где $f(n) = 2n$ и $g(n) = n \bmod 2$ , — короткая точная последовательность, которая не расщепима (наличие кручения в третьем члене препятствует расщеплению).

Покажите, что если $E \simeq \mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z}$ — конечно порождённая свободная абелева группа, то короткая точная последовательность $0 \to C \xrightarrow {f} D \xrightarrow {g} E \to 0$ эквивалентна расщепимой короткой точной последовательности (то есть существует коммутативная диаграмма с вертикальными изоморфизмами, связывающая её с $0 \to C \xrightarrow {F} C \oplus E \xrightarrow {G} E \to 0$ ).

?

Примечание.

?

Определите отображение $r : E \to D$ с условием $gr(e) = e$ , сначала задав его на образующих и продолжив по линейности. Затем определите отображение $I : C \oplus E \to D$ формулой $I(c,e) = f(c) + r(e)$ . Покажите, что $I$ задаёт изоморфизм и приводит к требуемой коммутативной диаграмме. Чтобы показать, что $I$ сюръективно, возьмите $d \in D$ и рассмотрите $d - r(g(d))$ , показав, что существует $c \in C$ с $d - r(g(d)) = f(c)$ .

Задача 6.5.4

Две короткие точные последовательности $0 \to C \xrightarrow {f} D \xrightarrow {g} E \to 0$ и $0 \to C' \xrightarrow {f’} D' \xrightarrow {g’} E' \to 0$ называются эквивалентными, если существуют вертикальные изоморфизмы $\gamma : C \to C'$ , $\delta : D \to D'$ , $\epsilon : E \to E'$ , такие что получающаяся диаграмма коммутативна (то есть $\delta f = f' \gamma$ и $\epsilon g = g' \delta$ ).

Предположим, что существует коммутативная диаграмма с точными строками,

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & C & \xrightarrow {f} & D & \xrightarrow {g} & E & \to & 0 \\ & & \downarrow {\gamma } & & \downarrow {\delta } & & \downarrow {\epsilon } & & \\ 0 & \to & C’ & \xrightarrow {f’} & D’ & \xrightarrow {g’} & E’ & \to & 0 \end{array}

Покажите, что если $\gamma$ и $\epsilon$ — изоморфизмы, то $\delta$ — тоже изоморфизм, и две короткие точные последовательности эквивалентны.

?

Примечание.

?

Используемый здесь тип рассуждения называется диаграммным поиском (diagram chasing). Вам нужно показать, что $\delta$ одновременно сюръективно и инъективно. Для сюръективности начните с $d' \in D'$ . Возьмите $g'(d') \in E'$ и используйте сюръективность $\epsilon$ , чтобы найти $e \in E$ с $\epsilon (e) = g'(d')$ . Используйте сюръективность $g$ , чтобы найти $d \in D$ с $g(d) = e$ . Затем рассмотрите $d' - \delta (d)$ . Если бы это было $0$ , то $\delta$ было бы сюръективно. Это не обязано быть $0$ , но вы можете использовать коммутативность диаграммы, чтобы показать, что $g'(d' - \delta (d)) = 0$ . Затем используйте точность в $D'$ нижней строки, чтобы показать, что существует $c' \in C'$ с $f'(c') = d' - \delta (d)$ . Используйте сюръективность $\gamma$ , чтобы найти $c$ с $\gamma (c) = c'$ . Затем используйте коммутативность диаграммы, чтобы показать, что $d' - \delta (d) = \delta (f(c))$ , откуда можно заключить, что $d' = \delta (d + f(c))$ . Затем аналогичным диаграммным поиском докажите, что $\delta$ инъективно.

Задача 6.5.5

Продолжая обстановку замечания ниже (связывающий гомоморфизм $\partial : H_k(E) \to H_{k-1}(C)$ ): покажите, что это определение корректно (well defined). Это означает, что если мы выберем другого представителя $e'$ класса $[e] \in H_k(E)$ и пройдём через аналогичные шаги, чтобы определить $[c'] \in H_{k-1}(C)$ , то $[c'] = [c]$ .

?

Примечание.

?

Предположим, что существует короткая точная последовательность $0 \to C \xrightarrow {f} D \xrightarrow {g} E \to 0$ цепных комплексов, то есть для каждого $i \geq 0$ последовательность $0 \to C_i \xrightarrow {f} D_i \xrightarrow {g} E_i \to 0$ является короткой точной последовательностью абелевых групп. Теорема 6.5.1 утверждает, что тогда существует соответствующая длинная точная последовательность в гомологиях,

\cdots \to H_k(C) \xrightarrow {f_*} H_k(D) \xrightarrow {g_*} H_k(E) \xrightarrow {\partial } H_{k-1}(C) \xrightarrow {f_*} \cdots ,

продолжающаяся направо, пока не закончится на $H_0(E) \to 0$ .

Индуцированные отображения $f_*, g_*$ определены как в упражнении 6.5.1: $f_*([c]) = [f(c)]$ . Граничное отображение $\partial : H_k(E) \to H_{k-1}(C)$ определяется следующим образом. Для элемента $[e] \in H_k(E)$ выберем представителя $e \in E_k$ (так что $\partial e = 0$ ). Так как $g$ сюръективно, существует $d \in D_k$ с $g(d) = e$ . Тогда $g(\partial (d)) = \partial (g(d)) = \partial (e) = 0$ , значит, так как последовательность точна, существует $c \in C_{k-1}$ с $f(c) = \partial (d)$ . Более того, $f(\partial (c)) = \partial (f(c)) = \partial \partial (d) = 0$ , и так как $f$ инъективно, это означает $\partial (c) = 0$ , значит $c$ представляет класс гомологий. Определим $\partial ([e]) = [c]$ .

Подсказка для этого упражнения: начните с $e - e' = \partial \epsilon$ . Запишите $\epsilon = g(\delta )$ . Затем покажите, что $g(d - d' - \partial \delta ) = 0$ , и значит $d - d' - \partial \delta = f(\gamma )$ . Проведите диаграммный поиск, чтобы показать, что $c - c' = \partial \gamma$ , и значит $[c] = [c']$ .

Задача 6.5.6

Продолжая обстановку замечания к упражнению 6.5.5 (длинная точная последовательность теоремы 6.5.1 и связывающий гомоморфизм $\partial$ ): покажите, что последовательность точна в $H_k(C)$ .

?

Примечание.

?

Это требует показать, что $\ker (f_*) = \mathrm{im}(\partial )$ . Для этого нужно показать включения в обе стороны. Чтобы показать, что $\mathrm{im}(\partial ) \subset \ker (f_*)$ , используйте тот факт, что если $[c] = \partial ([e])$ , то можно считать $f(c) = \partial (d)$ с $g(d) = e$ . Для другого направления, если $f_*([c]) = 0$ , то $f(c) = \partial d$ . Используйте $d$ , чтобы найти $e$ с $\partial (e) = 0$ и $\partial ([e]) = [c]$ .

Задача 6.5.7

Продолжая обстановку замечания к упражнению 6.5.5: покажите, что последовательность точна в $H_k(D)$ .

?

Примечание.

?

Это требует показать, что $\ker (g_*) = \mathrm{im}(f_*)$ . Для одного направления достаточно использовать $gf = 0$ . Для другого направления предположите, что $g_*([d]) = 0$ , что означает $g(d) = \partial (\epsilon )$ . Выберите $\delta$ так, чтобы $g(\delta ) = \epsilon$ . Затем покажите, что $g(d - \partial (\delta )) = 0$ , и используйте это, чтобы показать, что существует $c$ с $\partial (c) = 0$ и $f_*([c]) = [d]$ .

Задача 6.5.8

Продолжая обстановку замечания к упражнению 6.5.5: покажите, что последовательность точна в $H_k(E)$ .

?

Примечание.

?

Это требует показать, что $\ker (\partial ) = \mathrm{im}(g_*)$ . Чтобы показать, что $\ker (\partial ) \subset \mathrm{im}(g_*)$ , предположите, что $[e] \in H_k(E)$ удовлетворяет $\partial ([e]) = 0$ . Тогда существуют элементы $d, c, \gamma$ с $g(d) = e$ , $f(c) = \partial (d)$ , $c = \partial (\gamma )$ . Затем покажите, что $\partial (d - f(\gamma )) = 0$ и $g_*([d - f(\gamma )]) = [e]$ .

Задача 6.5.9

Докажите теорему 6.5.2 (естественность длинной точной последовательности): предположим, что имеются две короткие точные последовательности цепных комплексов, связанные цепными отображениями $\alpha , \beta , \gamma$ , представленные коммутативной диаграммой

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & C & \xrightarrow {f} & D & \xrightarrow {g} & E & \to & 0 \\ & & \downarrow {\alpha } & & \downarrow {\beta } & & \downarrow {\gamma } & & \\ 0 & \to & C’ & \xrightarrow {f’} & D’ & \xrightarrow {g’} & E’ & \to & 0 \end{array}

Покажите, что соответствующие длинные точные последовательности (теорема 6.5.1) связаны коммутативной диаграммой

\begin{array}{ccccccccccc} \cdots \to & H_k(C) & \xrightarrow {f_*} & H_k(D) & \xrightarrow {g_*} & H_k(E) & \xrightarrow {\partial } & H_{k-1}(C) & \to & \cdots \\ & \downarrow {\alpha _*} & & \downarrow {\beta _*} & & \downarrow {\gamma _*} & & \downarrow {\alpha _*} & & \\ \cdots \to & H_k(C’) & \xrightarrow {f_*’} & H_k(D’) & \xrightarrow {g_*’} & H_k(E’) & \xrightarrow {\partial } & H_{k-1}(C’) & \to & \cdots \end{array}

?

Задача 6.5.10

Покажите, что если имеется длинная точная последовательность абелевых групп,

A \xrightarrow {f} B \xrightarrow {g} C \xrightarrow {h} D \xrightarrow {k} E,

то имеется соответствующая короткая точная последовательность

0 \to \mathrm{coker}(f) \xrightarrow {\bar{g}} C \xrightarrow {\bar{h}} \ker (k) \to 0,

где $\mathrm{coker}(f) = B/\mathrm{im}(f)$ .

?

Задача 6.5.11

(a)(b)(c)

Предположим, что имеется коммутативная диаграмма абелевых групп с точными строками,

\begin{array}{ccccccccccc} A & \xrightarrow {f} & B & \xrightarrow {g} & C & \xrightarrow {h} & D & \xrightarrow {k} & E \\ \downarrow {\alpha } & & \downarrow {\beta } & & \downarrow {\gamma } & & \downarrow {\delta } & & \downarrow {\epsilon } \\ A’ & \xrightarrow {f’} & B’ & \xrightarrow {g’} & C’ & \xrightarrow {h’} & D’ & \xrightarrow {k’} & E’ \end{array}

где $\beta , \delta$ — изоморфизмы, $\alpha$ сюръективно, а $\epsilon$ инъективно.

?

(a)

Покажите, что эта диаграмма индуцирует коммутативную диаграмму

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & \mathrm{coker}(f) & \xrightarrow {\bar{g}} & C & \xrightarrow {\bar{h}} & \ker (k) & \to & 0 \\ & & \downarrow {\bar{\beta }} & & \downarrow {\gamma } & & \downarrow {\bar{\delta }} & & \\ 0 & \to & \mathrm{coker}(f’) & \xrightarrow {\bar{g}’} & C’ & \xrightarrow {\bar{h}’} & \ker (k’) & \to & 0 \end{array}

(используя короткую точную последовательность, связанную с длинной точной последовательностью, упражнение 6.5.10).

(b)

Покажите, что $\bar{\beta }$ и $\bar{\delta }$ являются изоморфизмами.

(c)

Используя упражнение 6.5.4, покажите, что $\gamma$ является изоморфизмом.

Задача 6.5.12

Цепные отображения $F, G : C \to D$ называются цепно-гомотопными, если существует отображение $H_k : C_k \to D_{k+1}$ для каждого $k \geq 0$ такое, что $G_k - F_k = \partial_{k+1}^D H_k + H_{k-1} \partial_k^C$ .

Покажите, что если цепные отображения $F, G$ цепно-гомотопны, то $F$ и $G$ индуцируют одно и то же отображение на гомологиях. Для этого нужно показать, что если $c$ — цикл в $C_k$ , то $G_k(c) - F_k(c)$ является границей.

?

Цепные отображения и гомологии