Клеточные гомологии двумерного CW-комплекса

Для двумерного CW-комплекса $X$ клеточный цепной комплекс $(C_i^c(X), \partial_i)$, $i = 0, 1, 2$, определяется следующим образом (при этом все старшие $H_i^c(X) = 0$, поскольку в этих размерностях клеток нет). Пусть $C_0^c(X)$ — свободная абелева группа с одной образующей $g_i^0$ для каждой $0$-клетки $e_i^0$, и положим $\partial_0 = 0$. Для каждой $1$-клетки $e_i^1$ выберем стандартную положительную ориентацию отрезка, задающую образующую $g_i^1$ для этой ориентированной $1$-клетки; если она приклеена посредством $f$ так, что $f(1) = e_j^0$, $f(0) = e_k^0$, то $\partial_1(g_i^1) = g_j^0 - g_k^0$. Для каждой $2$-клетки $e_j^2$ выберем стандартную положительную ориентацию клетки, задающую образующую $g_j^2$; когда $2$-клетка приклеена посредством $f_j : S_j^1 \to X^1$, индуцированное отображение на $H_1$ определяет коэффициенты $n_{ij}$ равенства $\partial_2(g_j^2) = \sum_i n_{ij} g_i^1$ путём вычисления степени композиции $f_j$ с отображением, стягивающим всё $X^1$, кроме $1$-клетки $e_i^1$, в точку. Группы клеточных гомологий тогда равны $H_i^c(X) = \ker (\partial_i)/\mathrm{im}(\partial_{i+1})$.

Например, для тора $T$ $2$-клетка приклеена к $X^1$ посредством коммутатора $aba^{-1}b^{-1}$, так что $\partial_2(g^2) = g_a^1 + g_b^1 - g_a^1 - g_b^1 = 0$; поскольку имеется только одна $0$-клетка, также $\partial_1(g_a^1) = \partial_1(g_b^1) = 0$. Таким образом, все граничные отображения равны $0$, что даёт $H_2^c(T) \simeq \mathbb {Z}$, $H_1^c(T) \simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$, $H_0^c(T) \simeq \mathbb {Z}$. Для бутылки Клейна отображение приклеивания $2$-клетки вместо этого следует шаблону $abab^{-1}$, что даёт $\partial_2(g^2) = g_a^1 + g_b^1 + g_a^1 - g_b^1 = 2g_a^1$; таким образом, $\ker (\partial_2) = 0$, так что $H_2^c = 0$, тогда как $H_1^c(X) = \mathbb {Z}(g_a^1) \oplus \mathbb {Z}(g_b^1)/\left\{ 2g_a^1\right\} \simeq \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}$, и снова $H_0^c(X) \simeq \mathbb {Z}$.

См. упражнение 5.3.3.