Сингулярные гомологии $H_i(X)$ и изоморфизм $\pi_1^{ab}(X, x) \simeq H_1(X)$

Проверьте, что $\partial_i \partial_{i+1} = 0$ для сингулярного граничного гомоморфизма, определённого ниже.

Покажите, что если $X$ линейно связно, то $H_0(X) \simeq \mathbb {Z}$.

Предположим, что линейно связные компоненты пространства $X$ — это $X_j$, $j = 1, \ldots , n$.

Предположим, что $X$ линейно связно с отмеченной точкой $x_0$. Предположим, что у нас есть сингулярная $1$-цепь $C = \sum_{k=1}^{m} n_k \sigma_k$, где $\partial C = 0$ (такая $1$-цепь называется сингулярным $1$-циклом). Для каждого $1$-симплекса $\sigma_k$ в $C$ есть два сингулярных $0$-симплекса, которые отображаются в точки $\sigma_k(1)$ и $\sigma_k(0)$ соответственно. Для каждого $x \in X$ выберем сингулярный $1$-симплекс $\tau_x : \Delta_1 \to X$, являющийся путём из отмеченной точки $x_0$ в $x$. Для каждого $k$ предположим, что $\sigma_k(0) = p$, $\sigma_k(1) = q$, и определим $c_k = \tau_p + \sigma_k - \tau_q$.

Покажите, что из $\partial_1(C) = 0$ следует $\sum_{k=1}^{m} n_k c_k = \sum_{k=1}^{m} n_k \sigma_k$.

Пусть $\sigma_k : \Delta_1 = I \to X$ — сингулярный $1$-симплекс с $\sigma_k(0) = p$, $\sigma_k(1) = q$, и пусть $\tau_p, \tau_q : \Delta_1 \to X$ — пути из отмеченной точки $x_0$ в $p$ и в $q$ соответственно (как в задаче 6.3.4). Рассмотрим петлю $\sigma_k' = \tau_p * \sigma_k * \bar{\tau }_q$ в точке $x_0$, рассматриваемую также как сингулярный $1$-симплекс. Существует непрерывное отображение квадрата $I \times I$ в $X$, которое совпадает с $\sigma_k'$ на $I \times \left\{ 0\right\}$, с $\tau_p$ на $\left\{ 0\right\} \times I$, с $\sigma_k$ на $I \times \left\{ 1\right\}$ и с $\tau_q$ на $\left\{ 1\right\} \times I$: квадрат делится на три части, левая часть отображается с помощью $\tau_p$, средняя часть — с помощью $\sigma_k$, а правая часть — с помощью $\tau_q$, как показано на рисунке 6.1.

Используя рисунок 6.1 как ориентир, постройте отображение квадрата так, чтобы граница отображалась описанным образом.

Гомотопия.

Определим отображение $h$ из непрерывных петель в точке $x_0$ в $S_1(X)$, сопоставляя петле $\gamma$ сингулярный $1$-симплекс $\gamma : \Delta_1 = I \to X$; заметим, что $\partial_1(h(\gamma )) = 0$. Будем обозначать через $\sim$ гомотопность путей (или петель) относительно концевых точек, а через $\sim_{\partial }$ — отношение эквивалентности на $1$-цепях (или $1$-циклах), при котором $c_1 \sim_{\partial } c_2$ тогда и только тогда, когда $c_1 = c_2 + \partial (D)$, где $D$ — некоторая $2$-цепь.

Покажите, что если $\gamma \sim \eta$ для циклов $\gamma , \eta$, то существует такая сингулярная $2$-цепь $D$, что $h(\eta ) - h(\gamma ) = \partial_2(D)$; таким образом, $h(\eta ) \sim_{\partial } h(\gamma )$.

Построение D.

Используя задачу 6.3.6 (где $h$ — определённое там отображение из петель в точке $x_0$ в $S_1(X)$), покажите, что $h$ индуцирует отображение $\bar{h} : \pi_1(X, x_0) \to H_1(X)$.

Используя $h$ и $\sim_{\partial }$ как в упражнении 6.3.6 и $\bar{h}$ как в упражнении 6.3.7, покажите, что $h(\alpha * \beta ) \sim_{\partial } h(\alpha ) + h(\beta )$, и, следовательно, $\bar{h}$ — гомоморфизм.

Диаграмма, показывающая, что \bar{h} — гомоморфизм.

Пусть $e_{x_0}$ обозначает тривиальную петлю в точке $x_0$, и пусть $c_{x_0}^1 = h(e_{x_0})$, где $h$ — отображение из упражнения 6.3.6. Свойство гомоморфизма, установленное в упражнении 6.3.8, влечёт, что $c_{x_0}^1$ является границей. Покажите это непосредственно, показав, что если $c_{x_0}^2$ — сингулярный $2$-симплекс, отображающийся в $x_0$, то $\partial_2(c_{x_0}^2) = c_{x_0}^1$.

Пусть $\bar{\alpha }$ обозначает петлю $\alpha$, пройденную в противоположном направлении. Свойство гомоморфизма $\bar{h}$ (упражнение 6.3.8) вместе с упражнением 6.3.9 влечёт, что $h(\bar{\alpha }) \sim_{\partial } -h(\alpha )$. Покажите это непосредственно, показав, что $h(\bar{\alpha }) + h(\alpha )$ является границей некоторой $2$-цепи.

Используя упражнения 6.3.4--6.3.8, покажите, что $\bar{h}$ (как в упражнении 6.3.7) сюръективно.

Так как $H_1(X)$ — абелева группа, любой элемент коммутанта группы $\pi_1(X, x_0)$ должен переходить в $0$ при отображении $\bar{h}$ из упражнения 6.3.7. Таким образом, $\bar{h}$ пропускается через абелианизацию $\pi_1^{ab}(X, x_0)$ и индуцирует отображение $\bar{h}' : \pi_1^{ab}(X, x_0) \to H_1(X)$. Это индуцированное отображение сюръективно (по упражнению 6.3.11), поэтому, чтобы показать, что оно является изоморфизмом (это теорема 6.3.1: отображение $\bar{h}'$ является изоморфизмом), достаточно показать, что ядро состоит только из единичного элемента.

Пусть дан сингулярный $2$-симплекс $D$, вершины которого отображаются в $x_0$; тогда существует петля в $x_0$, задаваемая как $D_2 * D_0 * \bar{D}_1$, где $D_i = DF_i$, а $F_i$ — три граничных отображения стандартного $2$-симплекса $\Delta_2$ (так что $F_2 * F_0 * \bar{F}_1$ — петля, проходящая против часовой стрелки вдоль границы $\Delta_2$ с базовой точкой в вершине $e_0$).

Покажите, что $F_2 * F_0 * \bar{F}_1$ представляет тривиальный элемент группы $\pi_1(\Delta_2, e_0)$, и что $D$ (через $D_2 * D_0 * \bar{D}_1$) представляет тривиальный элемент группы $\pi_1(X, x_0)$.

Продолжая построения упражнения 6.3.12 (доказательство теоремы 6.3.1 о том, что $\bar{h}' : \pi_1^{ab}(X, x_0) \to H_1(X)$ — изоморфизм): предположим, что $[\alpha ]$ лежит в ядре $\bar{h}$. Чтобы показать, что $[\alpha ]$ лежит в коммутанте группы $\pi_1(X, x_0)$, сначала заменим произвольный сингулярный $2$-симплекс $D$, встречающийся в выражении для $h(\alpha )$ как границы, новым сингулярным $2$-симплексом $D'$, все вершины которого отображаются в $x_0$: возьмём малые треугольные окрестности вершин $D$, не отображающихся в $x_0$, изменим $D$ так, чтобы оно было постоянным на этих окрестностях (отображая каждую в ту точку, в которую $D$ уже отображает данную вершину), затем возьмём отображение симплекса в себя, переводящее усечённые окрестности в вершины и иначе растягивающее оставшуюся часть симплекса так, чтобы заполнить его (построенное путём задания его на границе усечённого симплекса и продолжения конусом из центроида); $D'$ — это композиция этого самоотображения симплекса с $D$. Это построение проиллюстрировано на рисунке 6.4.

Построение D' по D.

Если некоторый член $\sigma$ встречается в $\partial_2 D$, то $D'$ строится так, что $\partial D'$ теперь содержит соответствующий член $\sigma '$ (по крайней мере с точностью до гомотопии относительно концевых точек), где $\sigma '$ обозначает петлевую конструкцию из упражнения 6.3.5, применённую к $\sigma$.

Теперь предположим, что $\alpha$ — петля, для которой $\bar{h}(\alpha ) = 0$. Тогда $h(\alpha ) = \sum_{i=1}^k n_i \partial_2 D_i$ для некоторых сингулярных $2$-симплексов $D_i$ и целых чисел $n_i$. Поскольку $\partial D' = h(\alpha )$ продолжает выполняться после замены каждого $D_i$ на $D_i'$, как описано выше (член $h(\alpha )$ не меняется, а каждый другой член $\sigma$ заменяется на соответствующий $\sigma '$, так что все остальные члены по-прежнему попарно сокращаются), мы можем с самого начала считать, что каждый $D_i$ — сингулярный $2$-симплекс, вершины которого отображаются в $x_0$. Для каждого такого $D_i$ пусть $\gamma_i = D_2^i * D_0^i * \bar{D}_1^i$ — петля в $x_0$, построенная как в упражнении 6.3.12.

Покажите, что в абелианизации $\pi_1^{ab}(X, x_0)$ элементы $[\alpha ]$ и $[\gamma_1]^{n_1} * \cdots * [\gamma_k]^{n_k}$ представляют один и тот же элемент.

Завершите доказательство теоремы 6.3.1 (о том, что индуцированное отображение $\bar{h}' : \pi_1^{ab}(X, x_0) \to H_1(X)$ из упражнения 6.3.12 является изоморфизмом), используя упражнение 6.3.13, чтобы заключить, что $[\alpha ]$ лежит в коммутанте группы $\pi_1(X, x_0)$ всякий раз, когда $[\alpha ]$ лежит в ядре $\bar{h}$.

Докажите теорему 6.3.2: используя теорему 6.3.1 (изоморфизм $\pi_1^{ab}(X, x_0) \simeq H_1(X)$),