Банк задач по математике

Задача 6.2.1

(a)(b)

Для $\Delta$ -комплекса $K$ ассоциированный цепной комплекс $(C_i^{\Delta }(K), \partial_i)$ определяется так: $C_i^{\Delta }(K)$ — это свободная абелева группа с одним образующим для каждого $i$ -симплекса $[v_0, \ldots , v_i]$ в структуре $\Delta$ -комплекса (используя порядок на вершинах, задаваемый структурой $\Delta$ -комплекса), и $\partial_0 = 0$ , причём $\partial_i : C_i \to C_{i-1}$ при $i > 0$ определяется на образующих формулой

\partial [v_0, \ldots , v_i] = \sum _{k=0}^{i} (-1)^k [v_0, \ldots , \widehat{v_k}, \ldots , v_i],

где $\widehat{v_k}$ означает, что вершина $v_k$ пропущена, и продолжается по линейности на весь $C_i^{\Delta }(K)$ .

?

(a)

Покажите, что композиция $\partial_1 \partial_2([v_0, v_1, v_2]) = 0$ .

(b)

Покажите, что в общем случае $\partial_i \partial_{i+1} = 0$ .

Примечание.

?

Для части (б): достаточно проверить это на образующем $[v_0, \ldots , v_{i+1}]$ . Для любого $(i-1)$ -симплекса, полученного из него пропуском двух вершин, покажите, что этот член встречается дважды с противоположными знаками в $\partial_i \partial_{i+1}([v_0, \ldots , v_{i+1}])$ .

Задача 6.2.2

(a)(b)

Предположим, что $K$ — линейно связный $\Delta$ -комплекс. Напомним, что $\Delta$ -группы гомологий определяются как $H_i^{\Delta }(K) = \ker (\partial_i)/\mathrm{im}(\partial_{i+1})$ , с использованием цепного комплекса из упражнения 6.2.1.

?

(a)

Покажите, что $K^1$ линейно связен, и, в частности, что для любых двух вершин $v_1, v_2$ существует последовательность направленных рёбер $e_1, e_2, \ldots , e_k$ (являющихся некоторыми из $1$ -симплексов, возможно, с противоположными направлениями), соединяющая $v_1$ с $v_2$ .

(b)

Покажите, что переход к фактору по $\mathrm{im}(\partial_1)$ отождествляет все вершины в $C_0^{\Delta }(K) = \ker (\partial_0)$ , показав, что $[w] - [v] \in \mathrm{im}(\partial_1)$ для любых $v_1, v_2$ . Заключите, что $H_0^{\Delta }(K) = \mathbb {Z}$ , причём образующая приходит от каждой вершины.

Примечание.

?

Для пункта (а): сначала покажите, что добавление симплексов более высокой размерности не меняет линейную связность, так что $K^1$ и $K$ обладают одинаковыми свойствами линейной связности. Затем покажите, что путь, соединяющий две вершины, можно заменить симплициальным путём.

Задача 6.2.3

Предположим, что $K$ — $\Delta$ -комплекс с $n$ компонентами линейной связности $K_1, \ldots , K_n$ . Покажите, что каждая цепная группа $C_i^{\Delta }(K) = C_i^{\Delta }(K_1) \oplus \cdots \oplus C_i^{\Delta }(K_n)$ и что граничные гомоморфизмы уважают это разложение, поскольку $\partial_i : C_i^{\Delta }(K_j) \to C_{i-1}^{\Delta }(K_j)$ . Используйте это, чтобы показать, что $H_i^{\Delta }(K) = H_i^{\Delta }(K_1) \oplus \cdots \oplus H_i^{\Delta }(K_n)$ . Таким образом, вычисление гомологий просто разбивается на вычисление групп гомологий компонент линейной связности. Заключите, что $H_0^{\Delta }(K)$ — свободная абелева группа с $n$ образующими.

?

Задача 6.2.4

Используя структуру $\Delta$ -комплекса бутылки Клейна $K$ с рисунка 5.16, вычислите группы $\Delta$ -гомологий $K$ .

$Структуры \Delta -комплекса для T, K.$ Структуры \Delta -комплекса для T, K.

?

Задача 6.2.5

Используя структуру $\Delta$ -комплекса сферы $S$ из упражнения 5.5.3, вычислите группы $\Delta$ -гомологий $S$ .

?

Задача 6.2.6

Используя структуру $\Delta$ -комплекса проективной плоскости $P$ из упражнения 5.5.4, вычислите группы $\Delta$ -гомологий $P$ .

?

Задача 6.2.7

Покажите, что компактная связная поверхность $M$ без края со структурой $\Delta$ -комплекса удовлетворяет $H_2^{\Delta }(M) \simeq \mathbb {Z}$ , когда она ориентируема в смысле, данном в замечании ниже, и $H_2^{\Delta }(M) \simeq 0$ , когда она неориентируема. Здесь мы используем $0$ для обозначения тривиальной абелевой группы с одним элементом.

?

Примечание.

?

Ориентируемость поверхности, заданной как симплициальный комплекс, формулируется следующим образом. Во-первых, условие того, что пространство является поверхностью (возможно, с краем), формулируется требованием, что для каждого $1$ -симплекса существует либо ровно два $2$ -симплекса, имеющих этот симплекс своей гранью (для внутренней точки), либо ровно один $2$ -симплекс, имеющий этот $1$ -симплекс своей гранью (для точки края). Симплициальный комплекс называется ориентируемым, если можно выбрать ориентацию для каждого $2$ -симплекса так, чтобы для каждого внутреннего $1$ -симплекса два $2$ -симплекса, имеющие его своей гранью, задавали на этом $1$ -симплексе противоположные ориентации. В $\Delta$ -комплексе, где на границе $2$ -симплекса имеются отождествления, также возможно наличие единственного $2$ -симплекса, у которого два ребра, исходящих из одной вершины, отождествлены (это происходит для сферы в упражнении 6.2.5). В случае $\Delta$ -комплекса каждый симплекс имеет ориентацию, задаваемую упорядочением его вершин, и это определяет, как отображаются границы, и соответствующее граничное отображение для $\Delta$ -цепного комплекса. Тогда условие, требуемое для ориентируемости поверхности, состоит в том, что ориентации продолжаются через отождествления. Это переводится в условие, что мы можем выбрать знак $\pm 1$ для каждого упорядоченного $2$ -симплекса так, чтобы любой $1$ -симплекс встречался с противоположными знаками в границах двух различных знаковых $2$ -симплексов либо встречался с обоими знаками в границе одного $2$ -симплекса.

Указание к самому упражнению: покажите, что единственный способ получить $2$ -цикл — это кратное $\sum \epsilon (i) \sigma_i$ , где $\epsilon (i) = \pm 1$ и суммирование идёт по всем $2$ -симплексам. Вы можете использовать тот факт, что связность влечёт, что для любых двух $2$ -симплексов существует цепочка $2$ -симплексов, ведущая от одного к другому через общую грань. Начните с произвольной суммы $\sum n_i \sigma_i$ $2$ -симплексов и покажите, что единственный способ, которым она может быть циклом, — это когда все $\left|n_i\right|$ равны.

Гомологии Δ\DeltaΔ-комплекса

Гомологии $\Delta$ -комплекса